100测评网高一数学复习福建省南靖一中高二2008~2009学年文科上学期期末考试试卷(选修1-1)

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南靖一中高二 2008~2009 学年文科上学期期末考试试卷
一、选择题 1、命题“ ? x∈Z,使 x +2x+m≤0”的否命题是( A. ? x∈Z,使 x +2x+m>0 C. ? x∈Z,都有 x +2x+m≤0 2、双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( 10 2
2 2 2


2

B. ? x∈Z,都有 x +2x+m>0 D. 不存在 x∈Z,使 x +2x+m>0 )A. 3 2 B. 4 2 C. 3 3 D. 4 3 )
2

3、函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的( A
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必要条件

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必要非充分条件

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充要条件 )

4、动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A
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双曲线

B

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双曲线的一支

C

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两条射线

D

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一条射线 )

3) 处的切线的倾斜角为( 5、曲线 y ? x3 ? 2x ? 4 在点 (1,

A.30° B.60° 2 2 x y ? ? 1 的焦点 F1 6、椭圆 25 9 F1 PF2 的面积为( ) A 9 B 12
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C.45°
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D.120°

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F2 ,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ? PF2 ,则△
C 10 D 8

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奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

7、f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数, 若 f ( x) , g ( x) 满足 f ' ( x) ? g ' ( x) , 则 f ( x) 与 g ( x) 满足( A f ( x) ? g ( x)
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) B f ( x) ? g ( x) 为常数函数
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C f ( x ) ? g ( x) ? 0
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D f ( x) ? g ( x) 为常数函数
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8、抛物线 y ? 2x 2 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称,且 1 x1 ? x 2 ? ? ,则 m 等于( ) 2

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3 2

B

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2

C

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5 2

D 3
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9 、函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在
y

y ? f ?( x)

( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有
b

极小值点( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4 2 10、过抛物线 y ? ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 1 1 与 FQ 的长分别为 p、q,则 ? 等于 ( ) p q 1 4 A2a B C 4a D 2a a
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a

O

x

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11、设椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,离 2 m n

1 心率为 ,则此椭圆的方程为( 2


x2 y 2 ?1 C. ? 48 64 x2 y 2 ?1 D. ? 64 48

x2 y 2 ?1 A. ? 12 16

x2 y 2 ?1 B. ? 16 12

12、如果函数 y=f(x)的图象如下图,那么导函数 y ? f / ( x) 的图象可能是(



欢迎登录 《100 测评网》 www.100ceping.com 进行学习检测, 有效提高学习成绩. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分. ) 13、 椭圆
x2 y2 ? ? 1 的两焦点为 F1, F2, 一直线过 F1 交椭圆于 P、 Q, 则△PQF2 25 9

的周长为 ___________. 14、过原点作曲线 y ? ex 的切线,切线的斜率为 15 、 过 点 M (3,?1) 且 被 点 M 平 分 的 双 曲 线 为 .
2

.
x ? y2 ?1 的 弦 所 在 直 线 方 程 4

16 、 如图,函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A, B, C 的坐标分别为
(0,,,,, 4) (2 0) (6 4) , 函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数 f ?(1) ? _________.
y 4 3 2 1 O A C

B 1 2 3 4 5 6

x

三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) , 长轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A B 两点,求线段 AB 的中点坐标
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18、 (本小题满分 12 分)求函数 f(x)=

2x

x

2

?1

-2 的极值。

19 、 (本小题满分 12 分) 已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 ,求抛物线的方程
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欢迎登录 《100 测评网》 www.100ceping.com 进行学习检测, 有效提高学习成绩. 20、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? m2 x ? 1(m 为常数, 且 m>0) 有极大值 9. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为-5 的直线是曲线 y ? f ( x) 的切线,求此直线方程.

21、 (本小题满分 12 分)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右 顶点为 ( 3,0) (1)求双曲线 C 的方程; ( 2 )若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B ,且

OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点). 求 k 的取值范围.

22、 (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3a2 x ? 1(a,b ? R) 在 x ? x1 ,

x ? x2 处取得极值,且 x1 ? x2 ? 2 .
(Ⅰ )若 a ? 1 ,求 b 的值,并求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ )若 a ? 0 ,求 b 的取值范围.

答案:
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的. )

1、命题“ ? x∈Z,使 x +2x+m≤0”的否命题是( B )
A. ? x∈Z,使

2

x

2

+2x+m>0

B. ? x∈Z,都有 x +2x+m>0

2

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C. ? x∈Z,都有

x

2

+2x+m≤0

D. 不存在 x∈Z,使 x +2x+m>0

2

2、双曲线
A. 3 2

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( D ) 10 2
B. 4 2 C. 3 3 D. 4 3

3、函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的( C) A
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充要条件

4、动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( D ) A
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一条射线

3) 处的切线的倾斜角为( C ) 5、曲线 y ? x3 ? 2x ? 4 在点 (1,
A.30°
2

B.60°
2

C.45°
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D.120°

x y ? ? 1 的焦点 F1 25 9 F1 PF2 的面积为( B ) A 8 B 9 C

6、椭圆

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F2 ,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ? PF2 ,则△
10 D 12

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新疆

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奎屯

新疆

7、f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数, 若 f ( x) , g ( x) 满足 f ' ( x) ? g ' ( x) , 则 f ( x) 与 g ( x) 满足( B ) A f ( x) ? g ( x)
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B f ( x) ? g ( x) 为常数函数
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C f ( x ) ? g ( x) ? 0
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D f ( x) ? g ( x) 为常数函数
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8 、抛物线 y ? 2x 2 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称,且 1 x1 ? x 2 ? ? ,则 m 等于( A) 2 3 5 A B 2 C D 3 2 2
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9、函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点(A)
a
y

y ? f ?( x)

b

O

x

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1个

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4

10、过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的 长分别为 p、q,则 A2a

1 1 ? 等于 ( C ) p q 1 B 2a

C 4a

D

4 a

11、设椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,离心率为 2 m n

1 ,则此椭圆的方程为( B ) 2
A.

x2 y 2 ? ?1 12 16

B.

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 48 64

D.

x 6

12、如果函数 y=f(x)的图象如下图,那么导函数 y ? f / ( x) 的图象可能是( A )

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分. ) 13、椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两焦点为 F1,F2,一直线过 F1 交椭圆于 P、Q,则△PQF2 的周长 25 9

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为 ___________. 20
x

[解析]:△PQF2 的周长=4 a .e .
x ? y 2 ? 1 的弦所在直线方程为 4
2

14、过原点作曲线 y ? e 的切线,切线的斜率为 15、 过点 M (3,?1) 且被点 M 平分的双曲线

3 x ? 4 y ? 5 ? 0 [解析]: 由‘点差法’ 可得斜率为 ?

3 4

16 、 如 图 , 函 数 f ( x) 的 图 象 是 折 线 段 ABC , 其 中 A,B,C 的 坐 标 分 别 为
(0,,,,, 4) (2 0) (6 4) , 函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数 f ?(1) ? _________. ?2
y 4 3 2 1 三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )
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A

C

O

B 1 2 3 4 5 6

x

17、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长 轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A B 两点,求线段 AB 的中点坐标
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解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c= 2 2 ,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是:

? x2 2 x2 ? ? y ?1 2 2 ? y ? 1 .联立方程组 ? 9 ,消去 y 得, 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 . 9 ? ? y ? x?2 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),AB 线 段 的 中 点 为 M( x0 , y0 ) 那 么 : 18 1 x ? x2 9 x1 ? x2 ? ? , x0 = 1 ? 所 以 y0 = x0 +2= . 也 就 是 说 线 段 AB 中 点 坐 标 为 2 5 5 5 9 1 (- , ). 5 5
18、 (本小题满分 12 分)求函数 f(x)=

2x

x

2

?1

-2 的极值。

解:由于函数 f(x)的定义域为 R f'(x)=

( 2 x ?1 ) ?4x

2

2

(x2?1 )
-1

2

?

? 2( x ? 1)(x ? 1) 2 2

( x ?1)
1

令 f'(x)=0得 x=-1 或 x=1 列表: x (-∞,-1) (-1,1) (1, ∞ )

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f' (x) f(x) ↘ 0 极小值
+

0 极大值





由上表可以得到 当 x=-1 时函数有极小值为-3;当 x=1 时函数有极大值为-1 19、 (本小题满分 12 分)已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1

截得的弦长为 15 ,求抛物线的方程

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特级教师 王新敞
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? y 2 ? 2 px , 消去 y 得 解:设抛物线的方程为 y 2 ? 2 px ,则 ? ? y ? 2x ?1

4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x2 ?

p?2 1 , x1 x2 ? 2 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (

p?2 2 1 ) ? 4 ? ? 15 , 2 4



p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2, 或6 ? y 2 ? ?4x,或y 2 ? 12x 4

20、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? m2 x ? 1 (m 为常数,且 m>0)有极 大值 9. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为-5 的直线是曲线 y ? f ( x) 的切线,求此直线方程. 解:(Ⅰ) f ’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则 x=-m 或 x= 当 x 变化时,f ’(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f’(x) f (x) (-∞,-m) + -m 0 极大值 (-m,

1 m, 3
(

1 m) 3

1 m 3
0 极小值

1 m ,+∞) 3
+



从而可知,当 x=-m 时,函数 f(x)取得极大值 9,即 f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,依题意知 f ’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1 或 x=- 又 f(-1)=6,f(-

1 . 3

1 68 68 1 )= ,所以切线方程为 y-6=-5(x+1),或 y- =-5(x+ ), 3 27 27 3

即 5x+y-1=0,或 135x+27y-23=0. 21、 (本小题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2, 0) , 右顶点为 ( 3,0) (1)求双曲线 C 的方程;

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(2)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2(其 中 O 为原点). 求 k 的取值范围. 解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a ? 0, b ? 0). 由已知得

a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 22 , 得b 2 ? 1. 故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 由直线 l 与双曲 (Ⅱ) 将 y ? kx ? 2代入 3
2 ? 1 ?1 ? 3k ? 0, 2 2 线交于不同的两点得 ? 即 k ? 且k ? 1. 2 2 2 3 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.



设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则

x A ? xB ?

6 2k ?9 , x A xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A x B ? y A y B ? 2, 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

而 x A xB ? y A y B ? x A xB ? (kxA ? 2 )(kxB ? 2 ) ? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1
② 由①、②得

于是

1 3k 2 ? 7 ? 3k 2 ? 9 ? 2 , 即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1

1 3 3 ? k 2 ? 1. 故 k 的取值范围为 (?1,? ) ? ( ,1). 3 3 3
22、 (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3a x ? 1(a,b ? R) 在 x ? x1 , x ? x2
3 2 2

处取得极值,且 x1 ? x2 ? 2 . (Ⅰ )若 a ? 1 ,求 b 的值,并求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若 a ? 0 ,求 b 的取值范围.

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解: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3a2 .① · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 3x2 ? 2bx ? 3 ; 由题意知 x1,x2 为方程 3x ? 2bx ? 3 ? 0 的两根,所以 x1 ? x2 ?
2

4b2 ? 36 . 3

由 x1 ? x2 ? 2 ,得 b ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
2 2 从而 f ( x) ? x ? 3x ? 1 , f ?( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ?1) .

, 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (?∞, ? 1) 当 x ? (?11)

(1,∞ ? ) 时, f ?( x) ? 0 .

, 单调递减,在 (?∞, ? 1) , (1,∞ ? ) 单调递增.· 故 f ( x ) 在 (?11) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
(Ⅱ)由①式及题意知 x1,x2 为方程 3x ? 2bx ? 3a ? 0 的两根,
2 2

所以 x1 ? x2 ?

4b2 ? 36a3 2 2 .从而 x1 ? x2 ? 2 ? b ? 9a (1? a) , 3a
? ? 2? ? . ……………………… 10 3?

由上式及题设知 0 ? a ≤1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 考虑 g (a) ? 9a ? 9a , g ?(a) ? 18a ? 27a ? ?27a ? a ?
2 3
2

分 故 g (a ) 在 ? 0, ? 单调递增, 在? , 从而 g (a ) 在 ? 0, 1? 单调递减, 1? 的极大值为 g ? 又 g (a ) 在 ? 0, 1? 上只有一个极值,所以 g ?

? ?

2? 3?

?2 ? ?3 ?

?2? 4 ?? . ?3? 3

?2? 4 1? 上的最大值,且最小值 ? ? 为 g (a) 在 ? 0, ?3? 3

为 g (1) ? 0 .所以 b ? ?0, ? ,即 b 的取值范围为 3
2

? 4? ? ?

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