广东省揭阳一中2013-2014学年下学期高二年级第一次阶段考试数学试卷(文科)

广东省揭阳一中 2013-2014 学年下学期高二年级第一次阶段考试数学试卷 (文科)
一、选择题 1.设 f ( x) ? 10 x ? 5 ,则 f (1) 等于(
'

) C.10 D.15 ( D. )

A.0

B.5

2. 掷一枚质地均匀的骰子,则掷得点数为 1 的概率是 A.

1 6

B.

1 2


C.

1 3`

1 4

3.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距是( 12 4

A.8
2

B.4

C. 2 2 )

D.2

4. x ? 1 是 x ? 3x ? 2 ? 0 的(

A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分必要条件

x3 ? 4 x ? 4在 ?0,3? 的最大值为 ( 5. 函数f ( x) ? 3
A.1 B.4 C.5 D. -



4 3

6、执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

)

A.-3

1 B.- 2

1 C. 3

D.2 ( ) D.以上都不正确

7.事件 A,B 的概率分别为 p1 , p2 ,且 p1 ? p2 则

A. P( A ? B) ? p1

B. P( A ? B) ? p2 C. P( A ? B) ? p2 ? p1
)。

8、一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

1

A. 2? ? 2 3 C. 2? ?

B. 4? ? 2 3 D. 4? ?

2 3 3
3

2 3 3
( )

9.函数 f ( x) ? x ? x ? 1 在 ? 0, 4 ? 上零点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3

10.已知 0< a <b,且 f (x)=

1 ? log 5 x ,则下列大小关系式成立的是( ). 5x
B、f (

A、 f (b)< f (

a?b )<f ( ab ) 2 a?b )<f ( a ) 2
?

a?b )<f (b)< f ( ab ) 2 a?b )<f ( ab ) 2

C、f ( ab )< f ( 二、填空题

D、 f ( a )< f (

11.已知平面向量 a ? (1, 2), b ? (2, ?m), 且 a ? b ,则 a ? b = 12.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递减区间是____ 13. 已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? bx ? c 与直线 y ? 0 在原点处相切,则 f ( x)=
3 2

?

?

?

?

?

14. 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3x ? 2b 有极值,则 a 的取值范围为
3 2

三、解答题 15. (12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 且 f (2? ) ? 2 (1)求 ? 和 A 的值;

?
6

) ( x ? R, A ? 0, ? ? 0 )的最小正周期为 T ? 2? ,

2

(2)设 ? , ? ? ?0,

? 16 11? 20 ? ?? , f (? ? ) ? , f (? ? ,求 cos( ? ? ?) )? ? 6 5 6 13 ? 2?

16.(12 分)已知:等差数列{ a n }中, a 4 =14,前 10 项和 S10 ? 185 . (1)求 a n ; (2)数列{ bn }满足 bn

? a2n 求此数列的前 n 项和 Gn .

??1 ? x ? 2 17.(14 分)在平面直角坐标 xoy 中,不等式组 ? 表示的平面区域为 W,从区域 W ?0 ? y ? 2

中随机任取一点 M(x,y). (1)若 x ? R, y ? R ,求 | OM |? 1 的概率; (2)若 x ? Z , y ? Z ,求点 M 位于第一象限的概率. 18. (14 分)设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围.
2

? 3 , F2 0, 3 , 点 P 在 椭 圆 上 且 满 足 19. ( 14 分 ) 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 是 F1 0,

?

?

?

?

PF1 ? PF2 ? 4 .
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设椭圆 C 的上下顶点分别为 A1 、 A2 ,右顶点为 B ,圆 E 与以线段 OA1 为直径的圆关 于直线 A2 B 对称.求圆 E 的标准方程; 20.(14 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? (1 ? x) f ( x) (1)求 y ? f ( x) 在点(1,0)处的切线方程; (2)判断 h( x) ? g ?( x) 及 g ( x) 在区间 (1, ??) 上的单调性;
2 x ?2

(3)证明: x ? e x

2

?1

在 (1, ??) 上恒成立

3

参考答案 一、选择题 1-10 CAAAB 二、填空题 11.(3,1) 15.解:依题意得 12. (0, ) DDCBA

1 e

13. x ? 3x
3

2

14.a>1 或 a<-1

(1)? ?

2? 2? ? ? 1..........................................................................................(2分) T 2?

? f ( x) ? A sin( x ? ) 6 ?2 6 ? A ? 2 ? 2 ? 4.....................................................................................................(4分) (2)由( 1)得f ( x) ? 4sin( x ? ).......................................................................... (5分) 6 ? f (? - ) ? 4sin(? - ? ) ? 4sin ? ............................................................ (6分) 6 6 6 由f (2? ) ? 2, 得A sin

?

?

?

?

?

?

11? 11? ? ) ? 4sin( ? ? ? ) ? 4sin( ? ? 2? ) ? 4sin ? ................... (7分) 6 6 6 ? ? 16 16 ? f (? ? ) ? 4sin ? ? ? ? ? ? 6 5 5 由已知 ? ,得 ? ? f ( ? ? 11? ) ? 20 ?4sin ? ? 20 ? ? 6 13 13 ? ? f (? ? 4 ? sin ? ? ? ? 5 得? .....................................................................................................(9分) 5 ?sin ? ? ? 13 ?

? 3 12 又??,? ? [0, ],? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? , cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ........(11分) 2 5 13
3 12 4 5 56 ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? .......................(12分) 5 13 5 13 65
16.解析:(1)、由 ?

? a4 ? 14 ? S10 ? 185
??????2 分



? a1 ? 3d ? 14, ? ? 1 10a1 ? ?10 ? 9 ? 9d ? 185, ? ? 2

4

?a1 ? 5 ? ?d ? 3

??????4 分 ????6 分
n

? an ? 3n ? 2

(2)、由已知, bn ? 3 ? 2 ? 2 ????8 分

? Gn ? 3(21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 2n ? 6(2n ? 1) ? 2n

? 3 ? 2 n?1 ? 2n ? 6, (n ? N *) ??????12 分
17.(1)如图,所有点 M 构成的平面区域的面积为: 3 ? 2 ? 6 ,--------------2 分

其中满足 | OM |? 1 的 M 点构成的区域为:

{( x, y) | x 2 ? y 2 ? 1, ?1 ? x ? 2, 0 ? y ? 2} ,---3 分
其面积为: 6 ?

?
2

,--------------------------5 分

记“ | OM |? 1 ”为事件 A,则 P( A) ?

6?

2 ? 1 ? ? ,--------------7 分 6 12

?

(2)在区域 W 中,满足 x ? Z , y ? Z 的点 M(x,y)有:(-1,0),(0,0), (1,0),(2,0),(-1,1),(0,1),(1,1),(2,1),(-1,2),(0,2),(1,2), (2,2) 共有 12 个,-----------------------------------------10 分 其中落在第一象限的有:(1,1),(2,1),(1,2),(2,2)共 4 个,--------12 分 记“点 M 位于第一象限”为事件 B,则 P( B) ?
2 18.解:(Ⅰ) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,

4 1 ? .---------------------14 分 12 3

因为函数 f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

5

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, --------------3 分 ?24 ? 12a ? 3b ? 0.
3 2

解得 a ? ?3 , b ? 4 .----------5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? 8c ,

f ?( x) ? 6 x 2 ? 18x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) .
当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以,当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,--------------8 分 又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c .

3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c .---------------10 分 则当 x ? ? 0, 3? ,有 f ( x) ? c 恒成立, 因为对于任意的 x ? ? 0,
2

所以 解得

9 ? 8c ? c2 ,

c ? ?1 或 c ? 9 ,

因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) .------------------------14 分 19.解:(1)∵ PF1 ? PF2 ? 4 > F1 F2 ∴ 2a ? 4,

a ? 2, -----------------------------------------------2 分
∵c ? 3 ∴ b ? a ? c ? 1 ------------------------------------3 分
2 2 2
2

∴椭圆 C 的标准方程为 x ?

y2 ? 1 . -----------------------------4 分 4

(2)以线段 OA1 为直径的圆的圆心为 (0,1) ,半径为 1 .-----------------5 分 点 A2 (0, ?2), B(1,0) ,∴直线 A2 B 的方程为 y ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 2 ? 0 .--------7 分 设点 (0,1) 关于直线 A2 B 的对称点为 ( x1 , y1 ) ,则

? x1 ? 0 y1 ? 1 2? ? ?2?0 ? 2 2 ? ,-----------------------9 分 ? y ?1 ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? x1
化简得 ?

? 2 x1 ? y1 ? 5 ? 0 ,-----------------------10 分 ? x1 ? 2 y1 ? 2 ? 0

6

12 ? x ? 1 ? ? 5 解得 ? ,----------------------12 分 1 ?y ? ? 1 ? 5 ?
∴圆 E 的标准方程为

(x ?

12 2 1 ) ? ( y ? )2 ? 1 .-------------------------------------14 分 5 5
????1 分 ????2 分 ??????3 分 ????4 分 ????5 分

1 20.解:(1) f ? ( x) ? (ln x)? ? x
? 切线的斜率为k ? f ?(1) ? 1
? 切线方程为y-0=x-1 即y=x-1
(2) g ( x) ? (1 ? x) f ( x) ? ln x ? x ln x

? g ?( x) ?

1 ? ln x ? 1 x

? h?( x) ? ?

x ?1 ? 0 在 (1, ??) 上恒成立 x2

??????6 分 ??????7 分 ??????8 分 ??????9 分

? h( x) 在 (1, ??) 上单调递减 ? g ?( x) ? g ?(1) ? 0
g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增
2 x ?2

(3) x ? e x

2

?1

即 ln x ?

2x ? 2 ????????????10 分 x2 ? 1

? x ? 1? x 2 ? 1 ? 0

?只需证(x 2 ? 1) ln x ? 2 x ? 2 即(x 2 ? 1) ln x ? 2 x ? 2 ? 0在(1, +?)上恒成立????11分

) ln x ? 2 x ? 2, 设函数 H(x)=(x ? 1
2

则 H ?( x) ? 2 x ln x ?

( x ? 1)2 ?0在 (1, +?)上恒成立????12分 x

? H(x)在 (1, ??) 上单调递增 ? H(x)>H(1)=0
??????????13 分
7

(x 2 ? 1 ) ln x ? 2 x ? 2 ? 0 即 f ( x) ?

2x ? 2 在 (1, ??) 上恒成立????14 分 x2 ? 1

8


相关文档

广东省揭阳一中2013-2014学年下学期高二年级第一次阶段考试数学试卷(文科,有答案)
广东省揭阳一中2013-2014学年下学期高二年级第一次阶段考试生物试卷(有答案)
广东省揭阳一中2013-2014学年下学期高二年级第一次阶段考试政治试卷(有答案)
广东省揭阳一中2013-2014学年下学期高二年级第一次阶段考试语文试卷(有答案)
广东省揭阳一中2013-2014学年下学期高二年级第一次阶段考试历史试卷(有答案)
广东省揭阳一中2013-2014学年下学期高二年级第一次阶段考试生物试卷
广东省揭阳一中2013-2014学年高一下学期第一次阶段考试数学试卷Word版含答案
电脑版