2015安徽高考数学理科word版

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至第 2 页,第 II 卷第 3 至 第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1. 答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上 所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的 地方填写姓名和座位号后两位。 2. 答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 答第 II 卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写,要求字体工整、笔 .... 迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签 ... 字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在答题 ................. 卷、草稿纸上答题无效 。 .......... 4. 考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式:
如果事件

A 与 B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? .

标准差 s

?

1? 1 2 2 2 ,其中 x ? ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? . ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ??? ? ? xn ? x ? ? ? ? n n

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有 一项是符合题目要求的。 (1)设 i 是虚数单位,则复数

2i 在复平面内所对应的点位于 1? i

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 (2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 (A) y ? cos x (B) y ? sin x (C) y ? ln x (D) y ? x2 ? 1 (3)设 p :1 < x < 2 , q : 2 x ? 1 ,则 p 是 q 成立的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(4)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y ? ?2 x 的是

(A) x ?
2

y2 x2 y2 x2 ? 1(B) ? y 2 ? 1(C) ? x 2 ? 1(D) y 2 ? ?1 4 4 4 4

(5)已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是 (A)若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 (B)若 m , n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 (C)若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 (D)若 m , n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 (6)若样本数据 x1 , x2 , ??? , x10 的标准差为 8 ,则数据 2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 , ??? , 2 x10 ? 1的标准差 为 (A) 8 (B) 15 (C) 16 (D) 32

(7)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是 (A) 1 ? 3 (B) 2 ? 3 (C) 1 ? 2 2 (D) 2 2 (8) △ ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a , b 满足
2 2 1 1 侧(左)视图

正(主)视图 1 1

??? ? ??? ? AB ? 2a , AC ? 2a ? b ,则下列结论正确的是

2

2

(A) b ? 1 (B) a ? b

俯视图

b ?1 (C) a ?
(9)函数 f ? x ? ?

(D) ? 4a ? b ? ? BC

??? ?

ax ? b

? x ? c?

2

的图像如图所示,则下列结论成立的是

y M O N P x

(A) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (B) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (C) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (D) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0

(10)已知函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? ( A , ? , ? 均为正的常 数)的最小正周期为 ? ,当 x ? 则下列结论正确的是 (A) f ? 2? ? f ? ?2? ? f ? 0? (C) f ? ?2? ? f ? 0? ? f ? 2? (B) f ? 0? ? f ? 2? ? f ? ?2? (D) f ? 2? ? f ? 0? ? f ? ?2?

2? 时,函数 f ? x ? 取得最小值, 3

第Ⅱ卷(非选择题
考生注意事项:

共 100 分)

请用 0.5 毫米黑色墨水笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡上的相应位置.

1? ? (11) ? x3 ? ? 的展开式中 x5 的系数是(用数字填写答案). x? ?
(12)在极坐标系中,圆 ? ? 8sin ? 上的点到直线 ? ? 距离的最大值是. (13)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的 n 为. ( 14 )已知数列 ?an ? 是递增的等比数列, a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8 , 则数列 ?an ? 的前 n 项和等于. (15) 设 x3 ? ax ? b ? 0 ,其中 a , b 均为实数,下列条件中, 使得该三次方程仅有一个实根的是.(写出所有正确条件的编号)

7

? ?? ? R? 3
开始

a=1,n=1 否

|a-1.414|≥0.005? 是 a=1+ 1 1+a

输出n 结束

(1)a ? ?3, b ? ?3 ; (2)a ? ?3, b ? 2 ; (3)a ? ?3, b ? 2 ; (4)a ? 0, b ? 2 ; (5)a ? 1, b ? 2 .
三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. (16)(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中, ?A ?

n=n+1

3? , AB ? 6, AC ? 3 2 ,点 D 在 BC 边上, AD ? BD ,求 AD 的长。 4

(17)(本小题满分 12 分) 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测 后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. (I)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (II)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品 时所需要的检测费用(单位:元),求 X 的分布列和均值(数学期望).

(18)(本小题满分 12 分)

, 2? 处的切线与 x 轴交点的横坐标, 设 n ? N* , xn 是曲线 y ? x 2n? 2 ? 1 在点 ?1
(I)求数列 ?xn ? 的通项公式;
2 2 2 (II)记 Tn ? x1 x2 ? x2 n?1 ,求证: Tn …

1 . 4n

(19)(本小题满分 13 分) 如图所示,在多面体 A 1B 1D 1DCBA 中,四边形 AA 1B 1B ,

A1 E B1 F

D1

ADD1 A1 , ABCD 均为正方形,点 E 为 B1D1 的中点,过点 A1 , D , E 的平面交 CD1 于点 F .
(I)求证: EF //B1C ;

A

(II)求二面角 E ﹣A1D ﹣B1 余弦值.
B C

D

(20)(本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ? a, 0? ,点 B 的 a 2 b2 5 坐标为 ? 0, . b? ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA ,直线 OM 的斜率为 10
设椭圆 E 的方程为 (I)求椭圆 E 的离心率 e ; (II)设点 C 的坐标为 ? 0, ? b? , N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 求椭圆 E 的方程.

7 , 2

(21)(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x ? ax ? b .
2

(I)讨论函数 f ? sin x ? 在 ? ?

? ? ?? , ? 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; ? 2 2?
? ? ??

2 (II)记 f0 ? x ? ? x ? a0 x ? b0 ,求函数 f ? sin x ? ? f 0 ? sin x ? 在 ? ? , ? 上的最大值 D ; ? 2 2?

(Ⅲ)在(II)中,取 a0 ? b0 ? 0 ,求 z ? b ?

a2 满足条件 D ? 1 时的最大值. 4
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