高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质教案新人教A版选修2_3

少卿足下 :曩者 辱赐书 ,教以 慎于接 物,推 贤进士 为务, 意气勤 勤恳恳 。若望 仆不相 师,而 用流俗 人之言 ,仆非 敢如此 也。仆 虽罢驽 ,亦尝 侧闻长 者之遗 风矣。 顾自以 为身残 处秽, 动而见 尤,欲 益反损 ,是以 独郁悒 而无谁 语。谚 曰:“ 谁为为 之?孰 令听之 ?”盖 钟子期 死,伯 牙 终身不复 鼓琴。 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 一、三维目标 1.知识与技能 (1)能认识杨辉三角,并能利用它解决实际问题. (2)记住二项式系数的性质,并能解决相关问题. 2.过程与方法 通过观察、分析杨辉三角数表的特点,掌握二项式系数的性质. 3.情感、态度与价值观 通过“杨辉三角”的学习,了解中华民族的历史,增强爱国主义意识. 二、重点、难点 重点:二项式系数的性质. 难点:杨辉三角的结构. 教学时从先简单(a+b)1,(a+b)2,(a+b)3 的展开式中系数出发,进一步过渡到杨辉三角的结构,让学 生由浅入深地认识杨辉三角,从而化解难点. 引导学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉,通过例题与练习让学生应用性质解 决问题,更深地理解性质,以强化重点、化解难点. 三、教学建议 本节课是将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来,主要是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的 内容,由它可以直观看出二项式系数的性质,教学时应采用启发探究式教学,让学生在观察中归纳总结二 项式系数的性质,在教学时可以引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质,可以画出它的图象,利用 几何直观,数形结合地进行思考,这对学生发现规律、形成证明思路有很大好处. 四、教学流程 创设问题情境,提出问题.? 引导学生回答所提问题,认识杨辉三角、理解二项式系数性质 .? 通过 例 1 及互动探究,进一步认识杨辉三角的结构特点.? 通过例 2 及变式训练,使学生掌握展开式系数和的 求法.? 通过例 3 及变式训练,使学生掌握二项式系数的综合应用.? 归纳整理,进行课堂小结,整体认 识所学知识.? 完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈、矫正. 课标解读 1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之 间的直觉,并探索其中的规律. 2.掌握二项式系数的性质及其应用. 3.掌握“赋值法”并会灵活运用. 【问题导思】 “杨辉三角”与二项式系数的性质 少卿足下 :曩者 辱赐书 ,教以 慎于接 物,推 贤进士 为务, 意气勤 勤恳恳 。若望 仆不相 师,而 用流俗 人之言 ,仆非 敢如此 也。仆 虽罢驽 ,亦尝 侧闻长 者之遗 风矣。 顾自以 为身残 处秽, 动而见 尤,欲 益反损 ,是以 独郁悒 而无谁 语。谚 曰:“ 谁为为 之?孰 令听之 ?”盖 钟子期 死,伯 牙 终身不复 鼓琴。 (1)观察“杨辉三角”发现规律 ①第一行中各数之和为多少? 第二、三、四、五行呢?由此你能得出怎样的结论? ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系? 第 4 行中 3 与第 2 行各数之间什么关系? 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系? 由此你能得出怎样的结论? 【提示】 (1)①20,21,22,23,24,第 n 行各数之和为 2n-1. ②2=1+1,3=2+1,4=1+3,6=3+3,相邻两行中,除 1 外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和, 设 Crn+1表示任一不为 1 的数,则它“肩上”两数分别为 Crn-1,Crn,所以 Crn+1=Crn-1+Crn. 1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中,每行两端都是 1,与这两个 1 等距离的项的系数相等. (2)在相邻的两行中,除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即 Crn+1=Crn-1+Crn. 2.二项式系数的性质 (1)对称性:在(a+b)n 的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 C0n=Cnn,C1n= Cnn-1,…,Crn=Cnn-r. (2)增减性与最大值 :当 k<n+2 1时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小 n 的,且在中间取得最大值.当 n 是偶数时,中间一项的二项式系数 C2n 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两 n-1 n+1 项的二项式系数 C 2 n,C 2 n 相等,且同时取得最大值. 3.二项式系数的和 (1)C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n. (2)C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1. 与杨辉三角有关的问题 少卿足下 :曩者 辱赐书 ,教以 慎于接 物,推 贤进士 为务, 意气勤 勤恳恳 。若望 仆不相 师,而 用流俗 人之言 ,仆非 敢如此 也。仆 虽罢驽 ,亦尝 侧闻长 者之遗 风矣。 顾自以 为身残 处秽, 动而见 尤,欲 益反损 ,是以 独郁悒 而无谁 语。谚 曰:“ 谁为为 之?孰 令听之 ?”盖 钟子期 死,伯 牙 终身不复 鼓琴。 图 1-3-1 例 1 如图 1-3-1 所示,在“杨辉三角”中,从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列: 1,2,3,3,6,4 ,10,5,…,记其前 n 项和为 Sn,求 S16 的值. 【思路探究】 观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置,或者联系二项式系数的性质,直接对数列 求和即可. 【自主解答】 由题意及杨辉三角的特点可得: S16=(1+2)+(3+3)+(6+4)+(10+5)+…+(36+9) =(C22+C12)+(C23+C13)+(C24+C14)+…+(C29+C19) =(C22+C23+C24+…+C29)+(2+3+ …+9) =C310+ + 2 =164. 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路: (1)观察:对题目进行多角度观察,找出每一行的数与数之间,行与行之间的数的规律. (2)表达:将发现的规律用数学式子表达. (3)结论:由数学表达式得出结论. 本例条件不变,若

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