[原创]第一讲 集合的概念与运算(学生版)2013高考)


第一讲 集合的概念与运算 学习目的: 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念。了解空集和全集的意义,了解属
于、包含、相等关系的意义,能正确进行“集合语言”“数学语言” 、 “图形语言” 的相互转化. 学习重点: 交集、并集、补集的定义与运算. 学习难点: 交集、并集、补集的定义及集合的应用.

【知识概要】
新课标学习目标: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题, 感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 知识点 1 集合

知识点 2 集合与集合之间的关系

知识点 3 集合的运算

补充的有关结论: (1)对偶原理: C U A ? C U B ? C U ( A ? B ) , C U A ? C U B ? C U ( A ? B ) 。 (2)有限集合 A ? B 中元素个数的计算公式:
Card ( A ? B ) ? Card ( A ) ? Card ( B ) ? Card ( A ? B )

【基础题典例】
例 1 (集合的表示)用列举法表示下列集合 (1) {x∈N|且 (3) {
6 2? x ?

9 9? x

∈N};

(2) { x | (4) { y |

6 2? x

?

Z, x ? Z}
2

N| x ? N}
2

y ? ?x ? 6
? a b

, x ? N, y ? N}
2

(5) {( x , y ) | 且b
? 3}

y ? ?x ? 6

, x ? N, y ? N}

(6){ x | x

, a ? Z, | a |?

, b ? N*,

例 2 (集合的概念)设含有三个实数的集合可表示为{a, a+d, a+2d},也可表示为{a, aq, aq },其中 a、d、q∈R,求常数 q.
2

-1-

例 3 (元与集合的关系) 若 A={2, 4, a3-2a2-a+7}, B={1, a+1, a2-2a+2, a3+a2+3a+7},且 A∩B={2, 5},试求实数 a 的值.

1 2

(a2-3a-8),

例 4 (子集的概念与计算) (1)求{1, 2} ? A ? {1, 2, 3, 4, 5}的所有集合 A。 (2)已知 A ? B,且 A ? C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合 A 共有多少 个?

例 5 (集合的基本运算) (1)设集合
B ? {( x , y ) | y ? 5 ? x
2

A ? {( x , y ) | y ? x

2

?1

, x ? R,
2

y?

R},集合

, x ? R, y ? R},求 A ?
2

B

。 R},集合 D
? {y | y ? 5 ? x

(2)设集合 C 求C ? D 。

? {y | y ? x

? 1 , x ? R, y ?

, x ? R, y ? R},

例 6 (集合与集合的关系) 集合 A={x|x2 -ax+a2 -19=0},B={x|log2(x2 -5x+8)=1}, C={x|x2+2x-8=0},求当 a 取什么实数时,A∩B ? 和 A∩C= ? 同时成立
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例 7 (集合与方程)设 A ? { x x ? 4 x ? 0 }, B ? { x x ? 2 ( a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 }, 若 B ? A ,求
2 2 2

实数 a 的取值范围

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例 8 ( 集 合 与 不 等 式 )

函 数 f ?x ? ?

2?

x? 7 x? 2

的 定 义 域 为 A ,

g ? x ? ? lg ? ? 2 x ? b ? ? a x ? 1 ? ? 的定义域为 B 。 ( b ? 0, a ? R ) ? ?

(1)求 A ;

(2)若 A ? B ,求 a , b 的取值范围。

例 9 ( 集 合 与 解 析 几 何 )

设 A={(x,y)|y2 - x - 1=0},B={(x,y)|4x2+2x -
?
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2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在 k、b∈ N ,使得(A∪B)∩C= ? ,证明此结论

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例 值范围。

10










2







A ? { x ? 2 ? x ? a } , B ? { y y ? 2 x ? 3, x ? A } , C ? { z z ? x , x ? A } , 且 C ? B , 求实数 a 的取

-2-

例 11 (集合与数列) 已知{an}是等差数列,d 为公差且不为 0,a1 和 d 均为实数,它的 前 n 项和记作 Sn,设集合 A={(an,
Sn n

)|n∈N*},B={(x,y)|

1 4

x2-y2=1,x,y∈R} 试问下列结论是否
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正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明 (1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B 至多有一个元素; (3)当 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ ?
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【综合题典例解析】
例1 用列举法表示集合 A
? {a | 关于

x 的方程

x? a x
2

?2

? 1 有唯一实数解}

例 2 已知集合 A={ (x, |x2+mx-y+2=0}, (x, |x-y+1=0, y) B={ y) 0≤x≤2}, 如果 A∩B≠ ? , 求实数 m 的取值范围
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例 3 已知全集 I=R, A={x|x2-3x+2≤0}, B={x|x2-2ax+a≤0, a∈R},且 A∩B=B,求 a 的取 值范围.

例4

已知集合 A ? t t 使 ?x x ? 2 tx ? 4 t ? 3 ? 0 ? ? R ,集合
2

?

?

B ? t t使 x x

?

?

2

? 2 tx ? 2 t ? 0 ? ? ,其中 x , t 均为实数.

?

?

2 (1)求 A ? B ; (2)设 m 为实数, g ? m ? ? m ? 3 ,求 M ? ?m g ? m ? ? A ? B ? .



5


2


? y
2


? 1} ,问:



A ? {( x , y ) ax ? y ? 1}, B ? {( x , y ) x ? ay ? 1}, C ? {( x , y ) x

当 a 取何值时,( A ? B ) ? C 为恰有 2 个元素的集合?说明理由,若改为 3 个元素集合,结论 如何?

-3-

例 6 设 f(x)=x2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}. (1)求证:A ? B; (2)如果 A={-1, 3},求 B.

例7 则
1 1? a

设 S 为满足下列两个条件的实数所构成的集合: (1) 1 ? S

(2)若 a ? S ,

? S 。 解答下列问题:
n

(1)若数列 ? 2 ? ( ? 1)
?

? 中的项都在 S 中,求 S 中所含元素个数最少的集合 S
?

?



(2)在集合 S 中,任取三个元素 a , b , c ,求使 a ? b ? c ? ? 1 的概率; (3)集合 S 中所含元素的个数一定是 3 n 个吗?( n ? N )若是,请给出证明;若不是, 请说明理由。

例 8
B ,即 A ?

对于函数 y ? f ( x ) ,若 f ( x ) ? x ,则称 x 为函数的不动点;对于函数 y ? f ( x ) ,若

f ( f ( x )) ? x , 则称 x 为函数的稳定点。 记函数 y ? f ( x ) 的不动点与稳定点的集合分别为 A 和

?x

f ( x ) ? x? , B ?
2

?x

f ( f ( x )) ? x ? .

(1)求证: A ? B 。 (2)若 f ( x ) ? a x ? 1( a ? R , x ? R ) ,且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

-4-


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