圆锥曲线常考类型例题精讲


圆锥曲线常考类型例题精讲
考点一 弦的问题 1.(2012 北京) 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F ,且与该抛物线相交于 A 、 B 两点,其
2

中, A 点在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60? ,则 ?OAF 的面积为

. 3

x2 y 2 3 2.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直 2 a b
线于 C 相交于 A、B 两点,若 AF ? 3FB 。则 k = (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

??? ?

??? ?

3.设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相 交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程.

x2 y2 a b

考点二 直线与圆锥曲线的位置关系 1.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其 4 b2


渐近线的距离等于(

A

5

B

4 2

C

3

D5

解:抛物线 y2=12x 的焦点坐标为(3,0) ∵双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 =12x 的焦点重合∴4+ b 2 =9∴ b 2 =5∴双曲线 4 b2

的一条渐近线方程为 y=

5 x ,即 5 x? 2y=0∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 2

|3 5 ? 0|/3=5 故选 A. 2.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线 l,过 M(1,0)且斜率为 与 C 的一个交点为 B,若
2

的直线与 l 相交于 A,

,则 p=_________
2
2

3.直线 3x-4y+4=0 与抛物线 x =4y 和圆 x + ( y ? 1) =1 从左到右的交点依次为 A、 C、 B、 D, 则|AB|/|CD|的值为( ) 解:由已知圆的方程为 x2+(y-1)2=1, 抛物线 x2=4y 的焦点为(0,1) , 直线 3x-4y+4=0 过(0,1)点, 则|AB|+|CD|=|AD|-2, 因为 x 2=4y,3x? 4y+4=0,有 4y2-17y+4=0,设 A(x1,y1) ,D(x2,y2) , 则 y1+y2=17/4,则有|AD|=(y1+y2)+2=25/4,故 |AB| |CD|=1/16,故选 C. 4.已知双曲线 x ?
2
2

y2 ? 1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 的中点在抛物 3

线 y ? 18 x, 上,则实数 m 的值为__________.

令 M(x1,y1),N(x2,y2) 因 MN 垂直于直线 y=x+m 令 MN 所在直线:y=-x+n 将 MN 所在直线方程代入双曲线方程得2x^2+2nx-n^2-3=0 则 x1+x2=-n(韦达定理) 因 M、N 同在直线上 则 y1+y2=-(x1+x2)+2n=3n 于是得到 MN 中点坐标为(-n/2,3n/2) 显然 MN 中点既在直线 y=x+m 上又在抛物线上 则有3n/2=-n/2+m(I) 且有(3n/2)^2=18*(-n/2)(II) 由(II)得 n=-4 由(I)得 m=-8 由(3n/2)^2=18*(-n/2)得到 n(n+4)=0,即 n=0或 n=-4 对应的 m=0或 m=-8

18. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,过点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点.
2

(Ⅰ)若 AF ? 2 FB ,求直线 AB 的斜率; (Ⅱ) 设点 M 在线段 AB 上运动, 原点 O 关于点 M 的对称点为 C , 求四边形 OACB 面 积的最小值. 18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意 F (1,0) ,设直线 AB 方程为 x ? my ? 1 .
2

??? ?

??? ?

………………1 分

将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立,消去 x 得 y ? 4my ? 4 ? 0 . …………3 分 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,所以 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 . ① ………………4 分 因为 AF ? 2 FB , 所以 y1 ? ?2 y2 . ② ………………5 分
M

??? ?

??? ?

y

A

C x

联立①和②,消去 y1 , y2 ,得 m ? ? 所以直线 AB 的斜率是 ?2 2 .

2 . ………6 分 4
………………7 分

O

F

B

(Ⅱ)解:由点 C 与原点 O 关于点 M 对称,得 M 是线段 OC 的中点,从而点 O 与点 C 到 直线 AB 的距离相等, 所以四边形 OACB 的面积等于 2S? AOB . 因为 2S? AOB ? 2 ? ? | OF | ? | y1 ? y2 | ……………… 9 分 ………………10 分 ………………12 分

1 2

? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 4 1 ? m 2 ,

所以 m ? 0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值是 4 .

………………13 分

19 (本小题共 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到定点 F (0, ) 的距离比点 P 到 x 轴的距离大

1 4

1 , 设动点 P 的轨迹为曲线 C , 直线 l : y ? kx ? 1 交曲线 C 于 A, B 两点, 是线段 AB M 4
的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)证明:曲线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅲ)若曲线 C 上存在关于直线 l 对称的两点,求 k 的取值范围. 19 (共 13 分) (Ⅰ) 解: 由已知, 动点 P 到定点 F (0, ) 的距离与动点 P 到直线 y ? ?

1 4

1 的距离相等. 4 1 为准线 4

由抛物线定义可知,动点 P 的轨迹为以 (0, ) 为焦点,直线 y ? ? 的抛物线. 所以曲线 C 的方程为 y ? x .
2

1 4

………………3 分

(Ⅱ)证明:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 由?

? y ? x2 , ? y ? kx ? 1,

得 x ? kx ? 1 ? 0 .
2

所以 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 . 设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 因为 MN ? x 轴, 所以 N 点的横坐标为
2

k . 2

k . 2

由 y ? x ,可得 y ' ? 2 x 所以当 x ?

k 时, y ' ? k . 2

所以曲线 C 在点 N 处的切线斜率为 k ,与直线 AB 平行.…………8 分 (Ⅲ)解:由已知, k ? 0 . 设直线 l 的垂线为 l ' : y ? ?
2 代入 y ? x ,可得 x ?
2

1 x?b. k
(*)

1 x ?b ? 0 k

若存在两点 D( x3 , y3 ), E ( x4 , y4 ) 关于直线 l 对称, 则

x3 ? x4 y ? y4 1 1 , 3 ?? ? 2 ?b 2 2k 2 2k x3 ? x4 y3 ? y4 , ) 在 l 上, 2 2 1 1 1 1 ? b ? k (? ) ? 1 , b ? ? 2 . 2 2k 2k 2 2k

又(

所以

由方程(*)有两个不等实根 所以 ? ? ( ) 2 ? 4b ? 0 ,即

1 k

1 2 ?2? 2 ? 0 2 k k
………………13 分

所以 考点二

2 2 1 或k ? . ? 2 ,解得 k ? ? 2 2 2 k

轨迹问题

18. (本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a, b) (a ? b ? 0) 为动点,
F1 , F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1的左右焦点.已知△ F1 PF2 为等腰三角形. a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; ( Ⅱ ) 设 直 线 PF2 与 椭 圆 相 交 于 A, B 两 点 , M 是 直 线 PF2 上 的 点 , 满 足
????? ????? A M ? B M ? ? ,求点 M 的轨迹方程. 2

18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,考查 用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想, 考查解决问题能力与运算能力. 满分 13 分. (I)解:设 F1 (?c, 0), F2 (c, 0)(c ? 0) 由题意,可得 | PF2 |?| F1 F2 |,
2 2 即 (a ? c) ? b ? 2c.

c c , ? 1 ? 0, 得 ? ?1 (舍) a a c 1 1 或 ? . 所以 e ? . a 2 2
整理得 2( ) ?
2

c a

(II)解:由(I)知 a ? 2c, b ? 3c, 可得椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c ,
2 2 2

直线 PF2 方程为 y ? 3( x ? c). A,B 两点的坐标满足方程组 ?

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 , ? ? y ? 3( x ? c ). ?

消去 y 并整理,得 5 x ? 8cx ? 0.
2

解得 x 1 ? 0, x2 ?

8 c. 5

8 ? ? x2 ? 5 c, ? x1 ? 0, ? ? 得方程组的解 ? ? 3 3 ? y1 ? ? 3c, ? ? y2 ? c. ? 5 ?
不妨设 A( c,

8 5

3 3 c), B(0, ? 3c) 5

设点 M 的坐标为 ( x, y ), 则 AM ? ( x ? c, y ?

???? ?

8 5

? 3 3 ???? c), BM ? ( x, y ? 3c) , 5

由 y ? 3( x ? c), 得c ? x ?

3 y. 3

于是 AM ? (

???? ?

8 3 3 8 3 3 y ? x, y ? x), 15 5 5 5

???? ? ???? ???? ? ? BM ? ( x, 3x). 由 AM ? BM ? ?2,
即(

8 3 3 8 3 3 y ? x) ? x ? ( y ? x) ? 3x ? ?2 , 15 5 5 5
2

化简得 18 x ? 16 3xy ? 15 ? 0.

18 x 2 ? 15 3 10 x 2 ? 5 代入c ? x ? y, 得c ? ? 0. 将y? 3 16 x 16 3 x
所以 x ? 0. 因此,点 M 的轨迹方程是 18 x ? 16 3xy ? 15 ? 0( x ? 0).
2

19. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A( ? 2, 0) , B( 2, 0) , E 为动点,且直线 EA 与 直线 EB 的斜率之积为 ?

1 . 2

(Ⅰ)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F (1,0) 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M , N .若点 P 在 y 轴上,且

PM ? PN ,求点 P 的纵坐标的取值范围.
19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设动点 E 的坐标为 ( x, y ) ,依题意可知

y y 1 ? ?? , 2 x? 2 x? 2

整理得

x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2) . 2
………5 分 ………6 分

x2 所以动点 E 的轨迹 C 的方程为 ? y 2 ? 1( x ? ? 2) . 2
(II)当直线 l 的斜率不存在时,满足条件的点 P 的纵坐标为 0 . 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 ? y 2 ? 1 并整理得, 2

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 .

? ? 8k 2 ? 8 ? 0 .

4k 2 2k 2 ? 2 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
设 MN 的中点为 Q ,则 xQ ?

2k 2 k , , yQ ? k ( xQ ? 1) ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1
………9 分

所以 Q(

2k 2 k ,? 2 ) . 2 2k ? 1 2k ? 1

由题意可知 k ? 0 ,

1 2k 2 ? ? (x ? 2 ) . 又直线 MN 的垂直平分线的方程为 y ? 2k 2 ? 1 k 2k ? 1 k

令 x ? 0 解得 yP ?

k 2k ? 1
2

?

1 1 2k ? k

.

.………10 分

当 k ? 0 时,因为 2k ?

1 2 1 ; ? ? 2 2 ,所以 0 ? yP ? 4 k 2 2 1 2 1 . ?? ? ?2 2 ,所以 0 ? yP ? ? 4 k 2 2
.………12 分

当 k ? 0 时,因为 2k ?

综上所述,点 P 纵坐标的取值范围是 [ ? 19.(本小题共 13 分)

2 2 , ]. 4 4

.………13 分

在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P( x, y), M ( x, ?4) ,以线段 PM 为直径的圆经过 原点 O . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 W 的方程; (Ⅱ)过点 E (0, ?4) 的直线 l 与轨迹 W 交于两点 A, B ,点 A 关于 y 轴的对称点为 A ' ,试判 断直线 A ' B 是否恒过一定点,并证明你的结论. 19.(共 13 分) 解: (I)由题意可得 OP ? OM , 分 所 以

……………………………2

??? ???? ? ? O ? ?0 P

O ,

M 即

(x

? ,? y

)x

(

………………………………4 分 即 x ? 4 y ? 0 ,即动点 P 的轨迹 W 的方程为 x ? 4 y
2 2

……………5 分

(II)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 4 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 A '(? x1 , y1 ) . 由

? y ? kx ? 4 ? 2 ? x ? 4y



y







x2 ? 4kx ? 16 ? 0



………………………………6 分 则

? ? 16k 2 ? 64 ? 0





|k ?

|

.

2

………………………………7 分

x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 16
…………………………………9 分 直线 A ' B : y ? y2 ?

.

y2 ? y1 ( x ? x2 ) x2 ? x1

?y ? ?y ? ?y ?

y2 ? y1 ( x ? x2 ) ? y 2 x2 ? x1 x2 2 ? x12 1 ( x ? x2 ) ? x2 2 4( x1 ? x2 ) 4

x2 ? x1 x 2 ? x1 x2 1 2 x? 2 ? x2 4 4 4 x ?x xx ? y? 2 1 x? 1 2 4 4
……………………………………12 分 即y?

x2 ? x1 x?4 4
以 , 直 线



A' B









(0, 4)

.

……………………………………13 分 考点三 定点,定值

21. (2007 陕西理 21)已知椭圆 C: 到右焦点的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; .

(a>b>0)的离心率为

短轴一个端点

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 答案:

,求△AOB 面积

(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 ,依题意

, (Ⅱ)设 (1)当 (2)当

所求椭圆方程为 , 轴时, . .

.

与 轴不垂直时,设直线

的方程为

.

由已知 把

,得 代入椭圆方程,整理得

. ,

,

.

.

当且仅当 综上所述

,即 .

时等号成立.当

时,

,



最大时,

面积取最大值

.


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