山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试 文科数学(一模第2套) Word版含答案

高三自评试卷

数学 (文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考 试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题
一项是符合题目要求的. 1.若 (1 ? i ) z ? ? 2 i , 则复数 z ? A. i B. ? i C. ? 1 ? i

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

D. ? 1 ? i

2. 已知集合 A ? { 0 ,1, 2 ,3 , 4} ,集合 B ? { x | x ? 2 n , n ? A} ,则 A ? B ? A. { 0 } 3. “ k ? B. { 0 , 2 , 4} C. { 2 , 4}
2 2

D. { 0 , 4}

2 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x ? y ? 1 相切”的

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? 4. 若 e1 , e 2 是夹角为 的单位向量,且 a ? ? 2 e1 ? e 2 , b ? 3 e1 ? 2 e 2 ,则 a ? b ?
3

A. 1

B. ? 4

C. ?

7 2

D.

7 2

x 5. 已知函数 f ( x ) ? ( ) ? lo g 2 x ,若 x 0 是函数 y ? f ( x ) 的零点,则当 0 ? x ? x 0 时,函数

1

5

f ( x)

A.恒为正值 6. 若当 x ?
?
4

B.等于 0

C.恒为负值

D.不大于 0
3? 4 ? x) 是

时,函数 f ( x ) ? A sin ( x ? ? )( A ? 0 ) 取得最小值,则函数 y ? f (

-1-

A.奇函数且图象关于点 (

?
2

, 0 ) 对称

B.偶函数且图象关于点 (? , 0) 对称 D.偶函数且图象关于点 (
?
2 , 0 ) 对称

C.奇函数且图象关于直线 x ?

?
2

对称

7. 已知 m 、 n 、 l 是三条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,给出以下命题: ①若 m ? ? , n / / ? ,则 m / / n ;②若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l ,则 m ? n ;③ 若 n / / m , m ? ? ,则 n / /? ;④若 ? / / ? , ? / / ? ,则 ? / / ? .其中正确命题的序号是 A. ②④ B. ②③ C. ③④ D. ①③ 8. 如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径 为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为 A. 4? ? B.
3 2 ?

C. 3?

D. 2?
主视图
a

9. 若 a , b 是任意实数,且 a ? b ,则下列不等式成立的是 .. A. a ? b
2 2

左视图

B.

b a

?1

C. lg( a ? b ) ? 0

D. ( ) ? ( )
3 3

1

1

b

第8题图
俯视图

10. 已知函数 f ( x ) ? 2 ? 1 ,对于满足 0 ? x1 ? x 2 ? 2 的任意
x

x1 , x 2 ,给出下列结论:① ( x 2 ? x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? 0 ;② x 2 f ( x1 ) ? x1 f ( x 2 ) ;

③ f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x 2 ? x1 ;④ A. ①② B. ①③

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

? f(

x1 ? x 2 2

) ,其中正确结论的序号是

C. ②④

D. ③④

11. 等比数列 ? a n ? 中, a1 ? 2 , a 8 ? 4 , f ( x ) ? x ( x ? a1 )( x ? a 2 ) ? ? ? ( x ? a 8 ) , f ? ( x ) 为函数
f ( x ) 的导函数,则 f ? (0) ?

A.0

B. 2

6

C. 2

9

D. 2

12

?x ? y ? 1 ? 0 b?2 ? 12. 已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 0 ,若 0 ? ax ? by ? 2 ,则 的取值范围为 a ?1 ?y ? 0 ?

A. [1, 3]

B. [ , 4 ]
3

2

C. [ , ]
3 3

2 4

D. [ , 4 ]
3

4

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

共 90 分)

-2-

13. 定义某种运算 S ? a ? b ,运算原理如右框 图所示,则式子 ( 2 ta n 的值为
?
1 ?1 ) ? ln e ? lg 1 0 0? ( ) 4 3

开始 输入 a , b 是
a ? b?

;



14. 已知双曲线 x 2 ? ky 2 ? 1 的一个焦点是 ( 5, ) 0 ,则其离心率为 ;

输出 a ( b ? 1)

输出 b ( a ? 1)

结束

15. 在等差数列 { a n } 中, a 2 ? 4 , a 4 ? 12 ,则 数列 { a n } 的前 10 项的和为_______; 16.下列说法中正确的是 (把所有正确说法的序号都填上).[来

2 2 ①“若 a m ? b m ,则 a ? b ”的逆命题为真;

? ? ②线性回归方程 y ? b x ? ? 对应的直线一定经过其样本数据点 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) , a



( x n , y n )中的一个点;
2 2 ③命题“ ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ” ;

④命题“函数 f ( x ) 在 x ? x 0 处有极值,则 f ? ( x ) ? 0 ”的否命题是真命题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ?
?
6 )( x ? R , ? > 0 ) 的最小正周期为 T ? 6? ,且 f ( 2 ? ) ? 2 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 ? , ? ? [0,
?
2 ] , f (3? ? ? ) ? 16 5

, f (3 ? ?

5? 2

)??

20 13

,求 cos(? ? ? ) 的值.

18. (本小题满分 12 分)有一个不透明的袋子,装有 4 个完全相同的小球,球上分别编有数 字 1, 2, 3, 4 . (Ⅰ)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除 的概率;

-3-

(Ⅱ)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为 a ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个 球,该球的编号为 b ,求直线 a x ? b y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ?
2 2

1

有公共点的概率.

16 19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, N 是 PB 中

点,过 A 、 N 、 D 三点的平面交 PC 于 M . (Ⅰ)求证: PD / / 平面 AN C ; (Ⅱ)求证: M 是 P C 中点; (Ⅲ)若 P D ? 底面 ABCD , P A ? A B , BC ? BD , 证明:平面 PBC ⊥平面 ADMN . 20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ,g ( x ) ? ax ? b ,
x

P M D C N

A

B 函

数 f (x ) 的图象与 x 轴的交点也在函数 g (x) 的图象上,且在此点有公切线. (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)试比较 f ( x ) 与 g ( x ) 的大小. 21. 本小题满分 13 分) ( 已知数列 ?a n ?( n ? N ) 是首项为 a , 公比为 q ? 0 的等比数列,S n
*

是数列 ?a n ? 的前 n 项和,已知 12 S 3 , S 6 , S 12 ? S 6 成等比数列. (Ⅰ)当公比 q 取何值时,使得 a 1 , 2 a 7 ,3 a 4 成等差数列; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求 T n ? a 1 ? 2 a 4 ? 3 a 7 ? ? ? na 3 n ? 2 . 22. (本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xo y 中,已知点 A ( ? 1, 0 ), B (1, 0 ) ,动点 C 满 足: ? ABC 的周长为 2 ? 2 2 ,记动点 C 的轨迹为曲线 W . (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)曲线 W 上是否存在这样的点 P :它到直线 x ? ? 1 的距离恰好等于它到点 B 的距离?若存 在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)设 E 曲线 W 上的一动点, M (0, m ) , ( m ? 0 ) ,求 E 和 M 两点之间的最大距离.

-4-

高三自评试卷

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. DBACA CABDC DB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 13 14.
5

15. 180

16.③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意得 ? ? ∴ f ( x ) ? A sin(
x 3 ? 2? T ? 2? 6? ? 1 3

, …………………………………………………2 分

?
6

) 2? 3 ?

由 f ( 2 ? ) ? 2 得 A sin( ∴ f ( x ) ? 4 sin (
x 3 ?

?
6

) ? 2 ,即 A sin

5? 6

? 2 ,∴ A ? 4 …………………………4 分

?
6

) 16 5 1

…………………………………………………6 分 得 4 sin [ (3? ? ? ) ?
3

(Ⅱ)由 f (3? ? ? ) ? ∴ co s ? ? 由 f (3 ? ? ∴ sin ? ?
4

?
6

]?

16 5

,即 4 sin(? ?

?
2

)?

16 5

, 又∵ ? ? [0,
)?? 20 13

?
2

] ,∴ sin ? ? 1 5? 2

3 5 )? 12 13 4 5

…………………………………………8 分
?
6 ]? ? 20 13

5 5? 2 5 13

得 4 sin [ (3 ? ?
3

,即 sin ( ? ? ? ) ? ?

5 13

, 又∵ ? ? [0,

?
2

] ,∴ co s ? ?

…………………………………………10 分
? 12 13 ? 3 5 ? 5 13 ? 63 65

从而 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 18. (本小题满分 12 分)

………………12 分

解: (Ⅰ)用 ( a , b ) ( a 表示第一次取到球的编号, b 表示第二次取到球的编号)表示先后二 次取球构成的基本事件,则基本事件有:(1, 2 ) ,(1, 3) ,(1, 4 ) ,( 2,1) ,( 2, 3) ,( 2, 4 ) ,(3,1) ,
(3, 2 ) , (3, 4 ) , ( 4,1) , ( 4, 2 ) , ( 4, 3) ,共 12 个………………………………3 分

设“第一次球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除”为事件 A , 则事件 A 包含的基本事件有: ( 2,1) , ( 2, 4 ) , ( 4, 2 ) ,共有 3 个; ……………………5 分
? P ( A) ?

3 12

?

1 4

………………………………………………………………………6 分

(Ⅱ)基本事件有: (1,1) , (1, 2 ) , (1, 3) , (1, 4 ) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) , ( 2, 3) , ( 2, 4 ) , (3,1) ,

-5-

(3, 2 ) , (3, 3) , (3, 4 ) , ( 4,1) , ( 4, 2 ) , ( 4, 3) , ( 4, 4 ) ,共 16 个……………………8 分

设“直线 a x ? b y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ?
2 2

1 16

有公共点”为事件 B ,

由题意知:

1 a ?b
2 2

?

1 4

即 a ? b ? 16
2 2

则事件 B 包含的基本事件有:(1, 4 ) ,( 2, 4 ) ,(3, 3) ,(3, 4 ) ,( 4,1) ,( 4, 2 ) ,( 4, 3) ,( 4, 4 ) , 共有 8 个; …………………………………………………………………………………11 分
? P(B) ?

8 16

?

1 2

………………………………………………………12 分

19. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连结 BD , AC ,设 BD ? AC ? O ,连结 NO ? ABCD 是平行四边形 ? O 是 BD 中点,在 ? P B D 中,又 N 是 PB 中点 ? PD // NO …………………………………………………3 分 又 NO ? 平面 AN C , PD ? 平面 AN C ? PD / / 平面 AN C ……………………………………4 分 (Ⅱ)? 底面 ABCD 为平行四边形,? A D / / B C
? B C ? 平面 A D M N , A D ? 平面 A D M N ? B C / / 平面 A D M N ………………………………………6 分

P M D C N
O

A

B

因平面 PBC ? 平面 A D M N ? M N
? B C // M N ……………………………………………………………………………………7 分

又 N 是 PB 中点 ? M 是 P C 中点………………………………………………………………………………8 分 (Ⅲ)? P A ? A B , N 是 PB 中点 ? PB ? AN …………………………………………………………………………………9 分
? B C ? B D , A D // B C , ? AD ? BD ? P D ? 底面 ABCD , A D ? 底面 ABCD ,

? P D ? A D ,? PD ? BD ? D
? AD ? 面 PBD ? P B ? A D ………………………………………………………………………………11 分

? AD ? AN ? A
? PB ? 面 ADM N ? PB ? 面 PBC ? 平面 P B C ⊥平面 A D M N

………………………………………………………………12 分

20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? ln x 的图象与 x 轴的交点坐标是 (1, 0) , 依题意,得 g (1) ? a ? b ? 0 ① …………………………………………………1 分

-6-

又 f ?( x ) ? 1 , g ?( x) ? a ? b2 , ? f (x ) 与 g (x) 在点 (1, 0) 处有公切线,
x ∴ g ?(1) ? f ?(1) ? 1 即 a ? b ? 1
x



………………………………………………4 分 ……………………………………………………5 分

由①、②得 a ? 1 , b ? ? 1
2

2

(Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则
F ( x ) ? ln x ? ( 1 1 1 1 x? ) ? ln x ? x ? 2 2x 2 2x

∴ F ?( x) ? 1 ? 1 ? 1 2 ? ? 1 ( 1 ? 1) 2 ? 0
x 2 2x 2 x

∴ F (x ) 在 (0, ? ? ) 上为减函数………………………………………………………………6 分 当 0 ? x ? 1 时, F ( x) ? F (1) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? 1 时, F ( x) ? F (1) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? 1 时, F ( x) ? F (1) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) . 综上可知,当 0 ? x ? 1 时,即 f ( x) ? g ( x) ;当 x ? 1 时,即 f ( x) ? g ( x) .………………12 分 21. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)由题意可知, a ? 0 ①当 q ? 1 时,则 12 S 3 ? 36 a , S 6 ? 6 a , S 12 ? S 6 ? 6 a , 此时不满足条件 12 S 3 , S 6 , S 12 ? S 6 成等比数列;…………………………………………1 分 ②当 q ? 1 时,则 12 S 3 ? 12 ?
3

a (1 ? q )
3

1? q
12

,S6 ?

a (1 ? q )
6

1? q
6

, S 12 ? S 6 ?

a (1 ? q 1? q

12

)

?

a (1 ? q )
6

1? q

a (1 ? q ) a (1 ? q ) a (1 ? q ) a (1 ? q ) 2 [ ? ]?[ ] 由题意得: 12 ? 1? q 1? q 1? q 1? q
6

化简整理得: (4 q ? 1)(3 q ? 1)(1 ? q )(1 ? q ) ? 0
3 3 3 6

解得: q ? ?
3

1 4

, 或q

3

?

1 3

, 或 q ? ? 1 ………………………………………………………4 分

当 q ? ? 1 时, a1 ? 3 a 4 ? ? 2 a , 2 a 7 ? 2 a ,? a1 ? 3 a 4 ? 2(2 a 7 ) ,不满足条件; 当q ? ?
3

1 4

时, a1 ? 3 a 4 ? a (1 ? 3 q ) ?
3

a 4

, 2(2 a 7 ) ? 4 aq ?
6

a 4



3

即? a1 ? 3 a 4 ? 2(2 a 7 ) ,所以当 q ? ? 当q ?
3

2 2

时,满足条件
6

1 3

时, a1 ? 3 a 4 ? a (1 ? 3 q ) ? 2 a , 2 (2 a 7 ) ? 4 a q ?
3

4a 9

? a1 ? 3 a 4 ? 2(2 a 7 ) ,从而当 q
3

3

?

1 3

时,不满足条件

综上,当 q ? ?

2 2

时,使得 a 1 , 2 a 7 ,3 a 4 成等差数列.……………………………………8 分

-7-

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: na 3 n ? 2 ? n ( ? 所以 T n ? a ? 2 ? ( ? 则?
1 4 Tn ? (? 1 4

1 4

)
2

n ?1

a 1 4
1 4 ) a ? ? ? ( n ? 1)( ?
3

1 4

)a ? 3 ? (?
1 4
2

1 4

) a ? ? ? ( n ? 1)( ?

)

n?2

a ? n(?
1 4 )
n ?1

1 4

)

n ?1

a …………①
1 4 ) a …②
n

)a ? 2 ? (?

) a ? 3 ? (?

a ? n(?

①-②得: T n ? a ? ( ?
4 ? 4 5 a?( 4 ? n )( ? a?( 1 ) a ? 4 5
n

5

1 4

)a ? (?

1 4

) a ? (?
2

1 4

) a ? ? ? (?
3

1 4

)

n ?1

a ? n(?

1 4

) a

n

所以 T n ?

5 16 25

4 16 25

n )( ?

1 4

) a .……………………………………………………13 分
n

22. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设 C ( x , y ) ,∵ ? ABC 的周长为 2 ? 2 2 ,
? A C ? A B ? B C ? 2 ? 2 2 ,又 AB ? 2 ,? AC ? BC ? 2 2 ? 2 ……………2 分

根据椭圆的定义知,动点 C 的轨迹是以 A 、B 为焦点,长轴长为 2 2 的椭圆(除去与 x 轴的两个 交点). 从而 a ? ∴W :
x
2

2, c ? 1 ,b ? a ? c ? 1
2 2 2

? y ? 1, ( y ? 0)
2

………………………………………………………………4 分
2

2

(Ⅱ)假设存在点 P 满足题意,则点 P 为抛物线 y ? 4 x 与曲线 W : 点,
2 ? y ? 4x 2 ? 2 由? x 消去 y 得: x ? 8 x ? 2 ? 0 2 ? 2 ? y ? 1( y ? 0 ) ?

x

2

? y ? 1, ( y ? 0) 的交
2

2

………………………………………6 分

解得 x ? 3 2 ? 4 , x ? ? 3 2 ? 4 (舍去) 由 x ? 3 2 ? 4 代人抛物线的方程得 y ? ? 2 3 2 ? 4 所以存在两个点 (3 2 ? 4, 2 3 2 ? 4 ) 和 (3 2 ? 4, ? 2 3 2 ? 4 ) 满足题意.…………8 分
x
2

(Ⅲ)设 E ( x , y ) ,则

? y ? 1, ( y ? 0) ? x ? 2 ? 2 y ( ? 1 ? y ? 1 ,且 y ? 0 )
2
2 2

2

ME ?

x ? ( y ? m) ?
2 2

2 ? 2 y ? ( y ? m)
2

2

?

? ( y ? m ) ? 2 m ? 2 ……………10 分
2 2

若 ? m ? ? 1 即 m ? 1 时,在 y ? ? 1 时, M E

max

?

m ? 2m ? 1 ? m ? 1 ;
2

若 ? 1 ? ? m ? 0 即 0 ? m ? 1 时,在 y ? ? m 时, M E

max

?

2 m ? 2 ………………13 分
2

-8-

-9-


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