广东省2012届高三数学 第14章第1节 数列的概念复习课件 文_图文

考纲要求

高考展望 数列是每年高考的必考内容.近年来, 广东卷的题量均为一个小题和一个解答 题.其特点是小题简单,解答题位置靠 后.复习备考应从“注意思想方法,强化运 算能力,重点知识、重点复习”的角度做好 充分准备.(1)考查数列的有关概念,等差、 等比数列的性质将作为基本题型出现在选择 题或填空题中.(2)有关数列的解答题常用到 函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类 讨论、整体代换等数学思想.(3)对于给出递 推关系式求通项公式的问题,要掌握观察法、 递推法、公式法、归纳猜想法、待定系数法 等基本数学方法.(4)数列求和中常考查公式 法、裂项相消法和错位相减法.(5)等差、等 比数列的混合运算,识别数列的等差或等比 关系以及数列与函数、不等式结合的问题应 是2012年高考值得重点关注的.

①了解数列的概念和简单的表示方 法(列表、图象、通项公式). ②了解数列是自变量为正整数的一 类函数. ③理解等差数列、等比数列的概 念. ④掌握等差数列、等比数列的通项 公式与前n项和公式. ⑤能在具体的问题情景中识别数列 的等差关系或等比关系,并能用有 关知识解决相应的问题. ⑥了解等差数列与一次函数、等比 数列与指数函数的关系.

1.写出下面数列的一个通项公式:   1 9 25 ? ? ? ? ?1?1,3, 7,15,31, ? 2 ? , 2, , 8, , 2 2 2
解析: ? 联想数列2, 4,8,16,32, ,可得所求数列的通项 ? ?1 公式为an ? 2n ? 1. 1 4 9 16 25 ? ? ? ? 2 ? 将数列的各项都统一成分数 , , , , , , 2 2 2 2 2 2 n ?1 n 可得该数列的通项公式为an ? ? ?1? ? . 2

1 n ? n ? 1? 15, ,则数列?an ?的通项公式可以是an ?   ? . 2

  2.若数列?an ?中,a1 ? 1,a2 ? 3,a3 ? 6,a4 ? 10,a5 ?

解析:a2 ? a1 ? 2,a3 ? a2 ? 3,a4 ? a3 ? 4,a5 ? a4 ? 5, ?,an ? an ?1 ? n,将各式相加得an ? a1 ? 2 ? 3 ? 4 ??? n, 1 所以an ? n ? n ? 1?. 2

3.在数列?an ?中,若a1 ? 1,an ?1 ? 2an ? 3(n ? 1),则该数列 an ?  ?1 ? 3 2n 的通项公式是 .
解析: 由已知可得a1 ? 1 ? 2 ? 3,a2 ? 5 ? 2 ? 3,
2 3

a3 ? 13 ? 24 ? 3,a4 ? 29 ? 25 ? 3. 所以an ? 2n ?1 ? 3.

4.设数列?an ?的前n项和为S n,且S n ?1 ? S n ? an (n ? N* ),则 数列?an ? 一定是 ? C ? A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列

解析:因为an ? Sn ?1 ? Sn ? an ?1,故数列?an ? 是常数列.

  5.数列?an ?中,an ? ?2n 2 ? 29n ? 3,则此数列最大项的 值是 ? A.107

B ?
B.108 1 C.108 8 D.109

29 2 292 解析:因为an ? ?2(n ? ) ? 3 ? ,所以,当n ? 7时, 4 8 an最大且等于108,故选B.

数列的概念

例题1:已知数列{an}的通项公式为 an=n2-5n-14(n∈N*). (1)求a2,a3,a4; (2)判断22是不是这个数列中的项,若是,是第几项? 若不是,说明理由; (3)求该数列中的最小项及相应的项数; (4)当n取何值时,该数列前n项的和Sn取得最小值?

解析: ? a2 ? ?20,a3 ? ?20,a4 ? ?18. ?1

? 2 ? 设22是该数列的第n项.由n
故22是该数列的第9项.

2

? 5n ? 14 ? 22,

得n ? 9(另一根n ? ?4 ? 0,不合题意,舍去). 5 2 81 ? 3?因为an ? n ? 5n ? 14 ? (n ? ) ? , 2 4 所以,当n ? 2或3时,an的最小值为 ? 20
2

?an ? n 2 ? 5n ? 14 ? 0 ? 4 ?由 ?an ?1 ? ? n ? 1?2 ? 5? n ? 1? ? 14 ? 0, ? ?n ? N * ? 解得n ? 6或7.即n取6或7时,S n取得最小值.

反思小结:本题考查数列的基本概念.数列是一种特殊 的函数,数列的通项公式就是相应的解析式,但必须注 意自变量应取正整数.一般的,判断某个数是不是数列 中的项,是将此数代入该数列的通项公式,若求出的n是 正整数,则此数是该数列中的项,否则不是.已知数列 的通项公式,求前n项的和S n取得最小(或最大)值时的n值 ? an ? 0 ? an ? 0 的方法是:由 ? (或 ? )得到n 的取值范围后, ? an ?1 ? 0 ? an ?1 ? 0 再取正整数.

n 拓展练习:已知数列?an ?的通项公式为an ? 2 . n ?1 ?1? 0.98是不是它的项?2 ? 判断此数列的单调性. ?
n2 解析: ? 令 2 ? 0.98,解得n ? 7. ?1 n ?1 所以0.98是此数列的第7项. ? n ? 1?2 n2 2n ? 1 ? 2 ? >0, ? 2 ?因为an ?1 ? an ? 2 2 2 ? n ? 1? ? 1 n ? 1 [? n ? 1? ? 1]? n ? 1? 所以an ?1>an .故此数列是递增数列.

2

给出数列{an}的前n项和Sn,求通项公式

例题2:已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-4n+1,求数列 {an}的通项公式.
解析:当n ? 1时,a1 ? S1 ? ?2; 当n ? 2时,an ? S n ? S n ?1 ? n ? 4n ? 1 ? ? n ? 1? ? 4 ? n ? 1?
2 2

?1 ? 2n ? 5. 由于a1 ? ?2不适合此式, ??2 ? n ? 1? 所以an ? ? . ?2n ? 5 ? n ? 2, n ? N*?

反思小结:已知数列?an ?的前n项和S n,求通项公式an 的方法是:首先求出a1,再由an ? S n ? S n ?1 (n ? 2)求an . 但这样求得的an是从第2项开始的,未必是数列的通 项公式,所以必须验证a1是否适合,如果适合,则写 成an ? S n ? S n ?1 (n ? N* ),否则,只能写成 ? a1 ? n ? 1? an ? ? 的形式. ? S n ? S n ?1 ? n ? 2,n ? N*?

拓展练习:已知函数f ? x ? ? x 2 ? 4x ? 4,设数列?an ?的 前n项和S n ? f ? n ?.设各项均不为零的数列?bn ?中,所 有满足bi ? i ?1<0的整数i的个数称为这个数列?bn ?的变 b 4 号数.令bn ? 1 ? (n ? N* ),求数列?bn ?的变号数. an 解析: 由已知得S n ? n 2 ? 4n ? 4.
当n ? 1时,a1 ? S1 ? 1; 当n ? 2时,an ? S n ? S n ?1 ?? n ? 1?2 ? 4 ? n ? 1? ? 4 ? ? ? n ? 4n ? 4 ? ? ? ? ? 2n ? 5.
2

由于a1 ? 1不适合此式, ?1 ? n ? 1? 所以an ? ? , ?2n ? 5? n ? 2, n ? N*? ??3? n ? 1? ? 从而bn ? ? . 4 ?1 ? 2n ? 5 ? n ? 2, n ? N*? ? 4 4 8 当n ? 3时,bn ?1 ? bn ? ? ? >0, 2n ? 5 2n ? 3 ? 2n ? 5?? 2n ? 3? 所以,当n ? 3时,数列?bn ? 递增.

1 4 而b4 ? ? <0,又由1 ? >0,得n ? 5, 3 2n ? 5 可知b4 ? 5<0. b 即当n ? 3时,有且只有一个变号数.又b1 ? ?3, b2 ? 5,b3 ? ?3,即b1 ? 2<0,b2 ? 3<0, b b 所以此时的变号数为2.综上,得数列?bn ?的变号数为3.

数列与函数结合

9 n 例题3:已知数列?an ?的通项公式an ? ? n ? 1??( ) (n ? N* ), 10 试问?an ? 有没有最大项?若有,求最大项的项数;若没有, 说明理由.

解析: 易知a1不是数列?an ?的最大项,所以an若取最大值 ?an ? an ?1 应满足 ? (n ? 2,n ? N* ). ?an ? an ?1

9 n 9 n ?1 9 n n ?8 而an ? an ?1 ? ? n ? 1??( ) ? ? n ? 2 ??( ) ? ( ) ? , 10 10 10 10 故由an ? an ?1 ,得n ? 8. 9 n 9 n ?1 9 n ?1 9 ? n 又an ? an ?1 ? ? n ? 1??( ) ? n?( ) ? ( ) ? , 10 10 10 10 故由an ? an ?1 ,得n ? 9. 所以,当n ? 8或n ? 9时,a8、a9两项都是数列?an ?中 的最大项.

反思小结:因为an是n的函数,且an是一个一次函数 ? n ? 1? 9 n 与一个指数函数( ) 的积,不容易确定其增减性,故从比 10 较an ?1与an的大小入手.

拓展练习: 若数列?an ? 是递增数列,且an ? n 2 ? ? n(n ? N* ), 求实数l的取值范围.
解析:因为数列?an ? 是递增数列,故对任意n ? N*,都 有an ?1>an 恒成立. 因为an ?1 ? an ? [? n ? 1? ? ? ? n ? 1?] ? (n 2 ? ? n) ? ? ? 2n ? 1>0
2

恒成立,即?> ? ? 2n ? 1? 对任意n ? N*恒成立. 而 ? ? 2n ? 1?的最大值是 ? 3,故?> ? 3. 所以?的取值范围是(?3, ?). ?

数列的概念命题以选择、填空题居多,主要从四个方 面考查:一是理解数列的定义及分类,能用函数的观 点认识数列;二是会用通项公式写出数列的任意项, 也要会根据给出数列的前几项归纳出数列的一个通项 公式;三是会根据递推公式写出数列的前几项,并归 纳出数列的通项公式;四是会由数列的前n项和公式求 出数列的通项公式.值得注意的是,数列与函数、不 等式结合的题目在近几年的高考试卷中频频出现. 1.数列是一种特殊的函数,其定义域是正整数集(或它 的一个非空真子集{1,2,3,…,n});数列中的项必须是 数.2.数列的图象是一列孤立的点.

3.根据数列的前几项写出数列的通项公式.

?1? 要观察、分析给出的数的特征,找出数列的一个构成 ? ?n ?,2n ? 1?,2 ?,? ?1? ? 等一些特殊的数列,对求通项 ? ?
2 n n

1 规律,归纳(猜想)出通项公式.如果能记住诸如?n?, }, { n

公式是很有帮助的,再学会一些基本的变形就会如虎添 1 1 5 13 翼了.例如:数列 , , , , 中,分母的规律是明显 ? ? 2 4 8 16 的:;第3个数出现了"? " 号,第1个数也应该有 "? " 号, 2n 故有 ? ?1? ;从第2项开始,分子比分母小3,第1项若变
n

为 ? 1,也比分母小3,这样就找到了分子的规律:n ? 3, 2 2n ? 3 所以an ? ? ?1? ? . 2n
n

? 2 ? 要注意的是并非所有的通项公式都存在,数列的通项
公式也未必唯一.例如:数列1, 0,1, 0,1, 0, 的通项公式可 ? ?1? n是奇数 ? 1 ? ??1?n n? 以是an ? ,也可以是an ?| sin | 或 an ? ? 等. 2 2 ?0? n是偶数 ? 4.由递推关系求数列的通项公式,方法有二:

?1? 求出数列的前几项,再猜想出数列的一个通项公式,
但做解答题时要用数学归纳法证明所得公式的正确性.

? 2 ? 将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列 的直接用公式求(后面再介绍);变成an ?1 ? an ? f ? n ? 型的
用累加法;变成 an ?1 ? f ? n ? 型的用累乘法. an

5.由数列的前n项和公式求数列的通项公式,方法有二:

?1?已知Sn ? f ? n ?的用an ? Sn ? Sn ?1求an ,但要注意n ? 2 这一条件,而a1 ? S1.例如:已知数列?an ?的前n项和 2 S n ? n ? n ? 1,求数列?an ?的通项公式.an ? S n ? S n ?1 ? 2 ? n ? 1? ( n ? 2).因为a1 ? S1 ? 1不适合上式,
?1? n ? 1? 所以an ? ? . ?2? n ? 1?? n ? 2,n ? N*? S n的递推关系,再求an .

? 2 ?已知an与Sn的关系式,可用an ? Sn ? Sn ?1转化为an或

1.(2010?   陕西卷)对于数列?an ?,“an ?1> an (n ? 1, 2, )”是 ? “?an ? 为递增数列”的(    ) A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:当an ?1 ? an (n ? 1, 2, )时, ? 因为 an ? an,所以an ?1 ? an,所以?an ? 为递增数列. 当?an ? 为递增数列时,若该数列为 ? 2, 0,1, 则a2 ? a1 不成立,即知an ?1 ? an (n ? 1, 2, )不一定成立. ? 故综上知,an ?1 ? an (n ? 1, 2, )" 是 "?an ? 为递增数列”的充 " ? 分不必要条件.答案:B

2.(2010? 徽卷)设数列?an ?的前n项和S n ? n ,则a8的 安
2

值为 ? A A. 15

?
B. 16 C. 49 D. 4 6

解析: 8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15.答案:A a

  3.(2010? 辽宁卷)已知数列?an ? 满足a1 ? 33,an ?1 ? an ? 2n, an 则 的最小值为 __________ . n

解析:因为an ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ?2 ? ??? ? a2 ? a1 ? ? a1 ? 2[1 ? 2 ??? ? n ? 1?] ? 33 ? 33 ? n 2 ? n, an 33 33 所以 ? ? n ? 1.设f ? x ? ? ? x ? 1? x ? 0 ?. n n x ?33 由f ? ? x ? ? 2 ? 1 ? 0,则可得f ? x ? 在(, ?)上单调递增,在 ? x (0,33)上单调递减.因为n ? N*,所以,当n ? 5或6时,有 a5 53 a6 63 21 an 最小值.又因为 ? , ? ? , 所以, 的最小值 5 5 6 6 2 n a 6 21 21 为 ? .答案: 6 2 2

选题感悟:本节内容在考试试题中主要考查观察、归纳、 猜想、推理、转化等能力,有三个方面的立意:一是给 出数列的关系式(有一定规律的一列数或数阵、通项公式、 递推公式、前n项和公式等)求通项公式或特殊项;二是 判断数列的类型;三是用函数思想(单调性、最值等)、方 程思想或不等式方法解决问题.以小题形式出现居多,但 也不排除数列与函数结合的解答题.


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