安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《归纳推理》(北师大版选修2-1)


理解教 材新知

第 四 章

§2

把握热 点考向

知识点 一 知识点 二 知识点三 知识点 四 考点一 考点二 考点三

应用创新演练

已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).
问题1:多项式的加减实质是合并同类项,类比想一想 复数如何加减. 提示:两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚 部分别相加(减),即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

问题2:类比向量的加法,复数的加法满足交换律和结
合律吗? 提示:满足.

1.加(减)法法则 设a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)是任意复数,则:(a +bi)±(c+di)= (a±c)+(b±d)i . 2.运算律 对任意的z1,z2,z3∈C,有 z1+z2= z2+z1 (交换律); (z +z )+z = z1+(z2+z3) (结合律).
1 2 3

问题1:复数的加减类似于多项式加减,试想:复数

相乘是否类似两多项式相乘?
提示:是. 问题2:复数的乘法是否满足交换律、结合律,以及 乘法对加法的分配律? 提示:满足.

问题3:试举例验证复数乘法的交换律. 提示:若z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i, z2z1=(c+di)(a+bi)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 故z1z2=z2z1.

复数的乘法

(1)定义:(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i
(2)运算律: ①对任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 结合律 z z1·2= z2·1 z (z z (z1·2)·3= z1· 2·3) z z

.

乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)= z1z2+z1z3 ②复数的乘方:任意复数z,z1,z2和正整数m,n,有 n n mzn= zm+n ,(zm)n= zmn ,(z z )n= z1 z 2 z .
1 2

观察下列三组复数: (1)z1=2+i;z2=2-i; (2)z1=3+4i;z2=3-4i; (3)z1=4i;z2=-4i.

问题1:每组复数中的z1与z2有什么关系?
提示:实部相等,虚部互为相反数. 问题2:试计算每组中的z1z2,你发现了什么规律吗? 提示:z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和.

共轭复数 当两个复数的 实部 相等, 虚部 互为相反数时,这

样的两个复数叫做 共轭复数 . 复数 z 的共轭复数用 z 来表示, 也就是当 z=a+bi 时, z = a-bi .于是 z z =a2+b2= |z|2 .

我们知道实数的除法是乘法的逆运算,类似地,复数的 除法也是复数乘法的逆运算,给出两个复数 a+bi,c+di(c a+bi +di≠0).若(c+di)(x+yi)=a+bi,则 x+yi= 叫做复 c+di 数 a+bi 除以 c+di 的商.

问题1:根据乘法运算法则和复数相等的概念,请用a, b,c,d表示出x,y.
提示:由(c+di)(x+yi)=a+bi 得 xc-yd+(xd+yc)i=a+bi. ? ?x=ac+bd, ?xc-yd=a, c2+d2 ? ? 即? ∴? ?xd+yc=b. ? ? bc-ad ?y= c2+d2 . ?

问题2:运用上述方法求两个复数的商非常繁琐,有更 简便的方法求两个复数的商吗? 提示:可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后,再 进行运算.

复数的除法法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0), z1 a+bi ac+bd bc-ad 则 = = + i(c+di≠0). z2 c+di c2+d2 c2+d2

1.复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减

法和乘法相类似,但应注意在乘法中必须把i2换成-1,
再把实部、虚部分别合并. 2.复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除 法可以直接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将 两复数的商写成分式,然后分母实数化(分子、分母同乘 分母的共轭复数).

[例1]

计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);

(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R). [思路点拨] [精解详析] 利用复数加减运算的法则计算. (1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)

=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.

(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i =-a+(4b-3)i.

[一点通]

复数加、减运算的方法技巧

(1)复数的实部与实部相加、减,虚部与虚部相

加、减.
(2)把i看作一个字母,类比多项式加、减中的合 并同类项.

1.计算(1+ 2i)+(-2- 3i)-(3-2i).
解:(1+ 2i)+(-2- 3i)-(3-2i) =[-1+( 2- 3)i]-(3-2i) =-4+(2+ 2- 3)i.

2.若(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i,求实数x,y的值.
解:原式化为 3y-10yi+(-2x+xi)=1-9i. 即(3y-2x)+(x-10y)i=1-9i.
?3y-2x=1, ? ∴? ?x-10y=-9, ? ?x=1, ? ∴? ?y=1. ?

[例 2]

计算:

(1)(1-i)(1+i)+(-1+i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i; (3)(-2+3i)÷ (1+2i)+i5; ?3-4i??2+2i?2 ?1-i?2 ? ? (4) +? . 1+i? 4+3i ? ?

[思路点拨]
计算.

按照复数的乘法与除法运算法则进行

[精解详析]

(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)

=1-i2+(-1+i) =2-1+i=1+i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i

=(-2+11i+5)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i.

-2+3i 5 ?-2+3i??1-2i? (3)原式= +i = +(i2)2· i 1+2i ?1+2i??1-2i? 4+7i 4 12 = +i= + i. 5 5 5 ?3-4i??2+2i?2 1-i 2 (4) +( ) 4+3i 1+i ?3-4i?· -2i 8i = + 2i 4+3i 8?4+3i? = -1 4+3i =8-1 =7.

[一点通]

(1)复数的乘法可以把i看作字母,按多项式的乘法法
则进行,注意把i2化成-1,进行最后结果的化简;复数 的除法先写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母 的共轭复数,并进行化简. (2)im(m∈N+)具有周期性,且最小正周期为4,则:

①i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N+);
②i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N+).

3.(2011· 浙江高考)若复数z=1+i,i为虚数单位,则(1+ z)· z= A.1+3i C.3-i B.3+3i D.3 ( )

解析:∵(1+z)· z=z+z2=1+i+(1+i)2=1+i+2i=1
+3i. 答案:A

4.(2012· 山东高考)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数

单位),则z为
A.3+5i C.-3+5i B.3-5i D.-3-5i

(

)

11+7i ?11+7i??2+i? 15+25i 解析:z= = = =3+5i.故选 A. 5 2-i ?2-i??2+i?

答案: A

5.计算: (1)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i); ? 2+ 2i?3?4+5i? (2) . ?5-4i??1-i?

解:(1)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i) =(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i) =24-8i-6i-2+28-21i-4i-3

=47-39i.

? 2+ 2i?3?4+5i? 2 2?1+i?3i?5-4i? (2) = ?5-4i??1-i? ?5-4i??1-i? 2 2?1+i?4i = 2 = 2(1+i)4i = 2i[(1+i)2]2= 2i(2i)2=-4 2i.

[例 3] 1+3i,求 z.

已知 z∈C,z 为 z 的共轭复数,若 z· -3i z = z

[精解详析]

设 z=a+bi(a,b∈R),

则 z =a-bi(a,b∈R), 由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i, 即 a2+b2-3b-3ai=1+3i,
?a2+b2-3b=1, ? 则有? ?-3a=3, ? ?a=-1, ? 解得? ?b=0, ? ?a=-1, ? 或? ?b=3. ?

所以 z=-1 或 z=-1+3i.

[一点通]

已知关于 z 和 z 的方程,求 z 的问题,解题

的常规思路为设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,代入所 给等式,利用复数相等的充要条件,转化为方程组求解.

-3+i 6.(2012· 新课标全国卷)复数 z= 的共轭复数是 2+i ( A.2+i C.-1+i B.2-i D.-1-i )

-3+i ?-3+i??2-i? 解析:z= = =-1+i,所以 z =-1-i. 2+i ?2+i??2-i?

答案: D

1 7.已知复数 z1=5+i,z2=i-3,且 z = z 1+ z 2,求复数 z.
解:由已知得: z 1=5-i, z 2=-3-i, 1 ∴ z = z 1+ z 2=(5-i)+(-3-i)=2-2i, 1 1 1 1 1 ∴z= = × = + i. 2-2i 2 1-i 4 4

1.复数的四则运算顺序与实数运算顺序一致,即先算 平方,再算乘除,最后算加减,同时要注重复数运算中的 1+i + 独特技巧,如:(1± =± i) 2i, =i,i4n=1,i4n 1=i, 1-i
2

i4n 2=-1,i4n 3=-i(n∈N+)等,在解题中可使运算简化.





2.解决共轭复数问题时,除用共轭复数定义解题外, 也常用下列结论简化解题过程. ①z· =|z|2=| z |2; z ②z∈R? z =z; ③z≠0,z 为纯虚数? z =-z.


相关文档

安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《类比推理》(北师大版选修2-1)
安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《数学证明》(北师大版选修2-1)
安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《综合法与分析法》(北师大版选修2-1)
安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《条件概率与独立事件》(北师大版选修2-1)
安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《椭圆及其标准方程》(北师大版选修2-1)
安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《曲线与方程》(北师大版选修2-1)
安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《流程图》(北师大版选修2-1)
安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《反证法》(北师大版选修2-1)
安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《双曲线及其标准方程》(北师大版选修2-1)
安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《空间向量运算的坐标表示》(北师大版选修2-1)
电脑版