辽宁省瓦房店市高级中学2016届高三数学上学期期中试题 文

2015-2016 学年度上学期期中考试 高三数学(文)试题
时间:120 分钟 满分:150 分 说明:本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。第Ⅰ卷为选择题,一律答在答题卡上; 第Ⅱ卷为主观题,按要求答 在试卷相应位置上。 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题的四个选项中,只有一 项是符合题目要 求的,请将正确选项填涂在答题卡上) 1.已知集合 M ? {x | y ? lg(2 ? x)}, N ? { y | y ? 1 ? x ? A. M ? N B. N ? M C. M ? N

x ? 1} ,则 D. N ? M
2

( ) )



2. 已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 a ? bi ? 2 ? bi ,则 ? a ? bi ? ? ( A . 3 ? 4i B . 3 ? 4i C . 4 ? 3i 3. 在△ABC 中,C=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足 A. [ ,1]

D 4 ? 3i . 等于( D.4 )

1 2

B.2

C.3

4.如图几何体的主(正)视图和左(侧)视图都正确的是(

2 2 5. 命题 p:若 sin x ? sin y ,则 x ? y ;命题 q: x ? y ? 2 xy ,下列命题为假命题的是(

)

A. q
2

B. ?p
2

C. p或q D. p且q 的最小值是( )

6 关于 x 的不等式 x ﹣4ax+3a <0(a>0)的解集为(x1,x2) ,则 A. B. C. D.

7.“ k ? ?1 ”是“直线 l : y ? kx ? 2k ? 1 在坐标轴上截距相等”的( A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.我们知道, 在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值,此定值为 A.

)条件.

3 a ,类比上述结论,在棱长为 a 2

6 a 3

B.

5 a 2

C.

2 2 a 3

D. a

1

9.已知函数 f(x)=3sin(? x则 f(x) 的取值范围是( A. ?- 3 ,3? ? ? 2 ? ?

?
6

)(? >0) 和 g(x)=2 cos (2x+? )+1 的图象的对称轴完全相同,若 x ? [0,
C. ?- 3 , 3 ? ? ? 2 2? ?
? ? D. ? - 3 , 3 ? ? 2 2 ?

?
2

],

) B. ? -3,3?

10.若 a, b, c 均为单位向量, a ? b ? ? A.1 11. 数 列 {an } 中, a1 ? 最小值为 A. 236 B.

1 , c ? x a ? yb ( x, y ? R ) ,则 x ? y 的最大值是( 2
C. 2 D. 2



3

1 1 ? an , an ?1 ? (其中 n ? N* ) ,则使得 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 72 成立的 n 的 2 1 ? an
B. 238 C. 240 D. 242

12. 已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,对于 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,当

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] >0,给出下列命题: x1 ? x 2 ① f (3) ? 0 ;②直线 x ? ?6 是函数 y ? f ( x) 的图象的一条对称轴; ③函数 y ? f ( x) 在[-9,-6]上为增函数;④函数 y ? f ( x) 在[- 9,9]上有四个零点;

x1 , x 2 ? [0,3], 且 x1 ? x2 时 ,都有

其中所有正确的命题的序号为__________ A.②③④ B. ①②③ C.①②④ D. .①③④

第Ⅱ卷 非选择题 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13. 若 f ?x ? ? x 是幂函数,且满足
?

f ?4 ? 1 ? 3 ,则 f ( ) = f ?2 ? 2

?3 x ? y ? 2 ? 0 m ? 14. 设 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 0 ,若目标函数 z ? x ? y (m ? 0) 的 最 大 值 为 2 , 则 2 ? x ? 0, y ? 0 ?
y ? sin(mx ?

?
3

) 的图象向右平移

? 后的表达式为___________. 6
2

15. 如果不等式 5 ? x ? 7 x ? 1 和不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 有相同的解集,则实数 a, b 的值分别为 ___________. 16 . 设 过 曲 线 f ? x ? ? ?e x ? x ( e 为 自 然 对 数 的 底 数 ) 上 任 意 一 点 处 的 切 线 为 l1 , 总 存 在 过 曲 线

g ? x ? ? ax ? 2 cos x 上一点处的切线 l2 ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为



三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分)已知命题 P:函数 y ? log a (2 x ? 1) 在定义域上单调递增;
2

命题 q:不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立, 若 p 且 ?q 为真命题求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)

? ? ? ? 已知 a ? ( 3 sin x, m ? cos x) , b ? (cos x, ?m ? cos x) , 且 f ( x) ? a ? b .
(1) 求函数 f ( x) 的解析式;并求其最小正周期和对称中心。 (2) 当 x ? ? ?

? ? ? ? 时, f ( x) 的最小值是-4 , 求此时函数 f ( x) 的最大值, 并求出相应的 x 的值. , ? 6 3? ?

19. (本小题满分 12 分)已知 x ? 1 是 f ? x ? ? 2 x ? (1)求函数 f ? x ? 的单调减区间; (2)设函数 g ? x ? ? f ? x ? ?

b ? ln x 的一个极值点 x

3? a ,若函数 g ? x ? 在区间 ?1, 2? 内单调递增,求 a 的取值范围 x

20. (本小题满分 12 分)在三角形 ?ABC 中, 2sin 2 A cos A ? sin 3 A ? 3 cos A ? 3 (1)求角 A 的大小 (2)已知 a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,若 a ? 1 且 sin A ? sin ? B ? C ? ? 2sin 2C , 求三角形 ?ABC 的面积。

21.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?a n ? 是递增数列, a 2 a 5 ? 32, a 3 ? a 4 ? 12 ,又数列 ?bn ? 满足 bn ? 2 log 2 a n ?1 , S n 是数 列 ?bn ? 的前 n 项和 (1) 求 S n ; (2) 若对任意 n ? N ? ,都有

Sn Sk 成立,求正整数 k 的值 ? an ak

22.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? ln e x ? a ( a 为常数, e 为自然对数的底数)是实数集

?

?

R 上的奇函数,函数 g ? x ? ? ? f ? x ? ? sin x 在区间 ? ?1,1? 上是减函数.
(1)求实数 a 的值;
2

(2)若 g ? x ? ? t ? ?t ? 1 在 x ? ? ?1,1? 上恒成立,求实数 t 的取值范围;

3

(3)讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. f ? x?

4

2015-2016 学年 度上学期期中考试高三文数答案 一、选择题: 1-5 BACBD 6-10 CBAAD 二、填空: 13、 11-12 BC

1 3

14、 y ? sin 2 x

15、-4、-9 16、[﹣1,2]

三、解答题: 17.∵命题 P 函数

y ? log a (2 x ? 1) 在定义域上单调递增;

∴a>1?????????????????2 分 又∵命题 Q 不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立; ∴ a ? 2 ???????????????4 分
a?2?0 ? 或? ,? ?2 ? a ? 2 ????6 分 2 ?? ? 4(a ? 2) ? 16(a ? 2) ? 0

综上所述: ?2 ? a ? 2 ?????????????????8 分 ∵p 且 ?q 为真命题

?p 真 q 假

?a ? 1  ??   ? a ? ?2,??? ?????????????10 分 ?a ? ?2或a ? 2
? ? 18.解: (1) f (x ) ? a ? b ? ( 3 sin x , m ? cos x ) ? (cos x , ?m ? cos x )
即 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? m 2 ? sin(2 x ? 最小正周期为 ? 对称中心为 ?

?
6

)?

1 ? m 2 ???????3 分 2

? k? ? 1 ? ? , ? m 2 ??k ? Z ? ???????6 分 ? 2 12 2 ?

(2) f ( x) ?

? 1 3 sin 2 x 1 ? cos 2 x ? ? m 2 ? sin(2 x ? ) ? ? m 2 6 2 2 2

由 x? ? ?

? ? ? 5? ? ? ? ? ? ?, ? 1 ? , ? ? 2 x ? ? ? ? , ? , ? sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? , 6 ? 6 6 ? 6 ? 6 3? ? 2 ?

1 1 ?? ? ? m 2 ? ?4 , ? m ? ?2 ???????10 分 2 2 1 5 ? ? ? ? f ( x) max ? 1 ? ? 4 ? ? , 此时 2 x ? ? , x ? .???????12 分 2 2 6 2 6

19 解(1)因为 x ? 1 是 f ( x ) ? 2 x ?

b ? ln x 的一个极值点,所 f ?(1) ? 0, b ? 3 ,经检验,适合题意,所以 b ? 3 x

----------------------------------------------------2 分
5

定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 2 ?

3 1 2 x2 ? x ? 3 3 ? ? 0, ? 0, ? ? x ? 1 ------------4 分 2 2 x x x 2
-------------------------------------6 分

所以函数的单调递减区间为 (0,1] (2) g ? x ? ? f ? x ? ?

3? a a 1 a ? 2 x ? ln x ? , g ? ? x ? ? 2 ? ? 2 --------8 分 x x x x 1 a 因为函数在 ?1, 2? 上单调递增,所以 g ? ? x ? ? 0 恒成立,即 2 ? ? 2 ? 0 恒成立 x x
所以 a ? ?2 x ? x,即 a ? ?2 x ? x
2 2

?

?

max

--------10 分

而在 ?1, 2? 上 ?2 x ? x
2

?

?

max

=-3
-------12 分

所以 a ? ?3 20.解: (1)

? 2sin 2 A cos A ? sin 3 A ? 3 cos A ? 2sin 2 A cos A ? sin ? 2 A ? A? ? 3 cos A

?? ? sin 2 A cos A ? cos 2 Asin A ? 3 cos A ? sin A ? 3 cos A ? 2sin ? A ? ? 3? ?

?? ?? 3 ? ? ------------------------3 分 ? 2sin ? A ? ? ? 3,?sin ? A ? ? ? 3? 3? 2 ? ?
? A ? ? 0, ? ? ,? A ?
(2)

?

? ? 4? ?? , 3 ?3 3

? 2? ? ? ,? A ? ;---- --------6 分 ? ,? A ? ? 3 3 3 ?

?sin A ? sin ? B ? C ? ? 2sin 2C,?sin ? B ? C ? ? sin ? B ? C ? ? 4sin C cos C

? 2sin B cos C ? 4sin C cos C,?cos C ? 0或 sin B ? 2sin C ,
① 当 cos C ? 0时, C=

?
2

? 3 , , ?B ? , ? b ? a tan B=
6 3

1 1 3 3 - ------------------------9 分 ? S?ABC ? ab ? ?1? ? 2 2 3 6

当 sin B ? 2sin C时, ,由正弦定理可得 b ? 2c
2 2 2 又由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A, 可得 1 ? 4c ? c ? 4c ?
2 2 2

1 1 ,? c 2 ? 2 3

1 1 3 3 ? S?ABC ? bc sin A ? ? ? 2 3 2 6
综上,? S?ABC ?

3 -----------------------12 分 6
6

21.解: (Ⅰ)因为 a 2 a 5 ? a 3 a 4 ? 32 , a 3 ? a 4 ? 12 ,且 ?a n ? 是递增数列, 所以 a 3 ? 4, a 4 ? 8 ,所以 q ? 2, a1 ? 1 ,所以 a n ? 2 n ?1 ????2 分 所以 bn ? 2 log 2 a n ?1 ? 2 log 2 n ? 2n . 所以 S n ? 2 ? 4 ? ? +2n ? (2)令 Cn ? ???? ???? 4 分 6分

n(2 ? 2n) ? n2 ? n . 2
则.

Sn n2 ? n ? n?1 an 2

Cn?1 ? Cn ?

S n?1 S n ?n ? 1??n ? 2? n?n ? 1? ?n ? 1??2 ? n? . ???9 分 ? ? ? n?1 ? an?1 an 2n 2 2n

所以 当 n ? 1 时, c1 ? c2 ; 当 n ? 2 时, c3 ? c2 ; 当 n ? 3 时, cn?1 ? cn ? 0 ,即 c3 ? c4 ? c5 ? ? . 所以 数列 {cn } 中最大项为 c 2 和 c3 . 所以 存在 k ? 2 或 3 ,使得对任意的正整数 n ,都有 22.解:(1)? f ( x) ? ln(e ? a ) 是奇函数,
x

Sk Sn ? . ak an

??? ?12 分

? f (? x) ? ? f ( x) ,即 ln(e ? x ? a ) ? ? ln(e x ? a ) 恒成立,

? (e ? x ? a )(e x ? a ) ? 1,?1 ? ae ? x ? ae x ? a 2 ? 1 .即 a (e x ? e ? x ? a ) ? 0 恒成立, 故a ? 0 ??? ?3 分 (2)由(l)知 g ( x) ? ? f ( x) ? sin x ,? g '( x) ? ? ? cos x, x ? ? ?1,1?
? 要使 g ( x) ? ? f ( x) ? sin x 是区间 ? ?1,1? 上的减函数,则有 g '( x) ? 0 恒成立,? ? ? ?1 .
又? g ( x) max ? g (?1) ? ?? ? sin1,?要使 g ( x) ? t ? ?t ? 1 在 x ? ? ?1,1? 上恒成立,
2

只需 ?? ? sin1 ? t 2 ? ? t ? 1 在 ? ? ?1 时恒成立即可.

? (t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0 (其中 ? ? ?1 )恒成立即可.
令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t ? sin1 ? 1 ? 0(? ? ?1) ,则 ?
2

?t ? 1 ? 0, ?t ? 1 ? 0, 即? 2 ?h(?1) ? 0, ?t ? t ? sin1 ? 0,

而 t 2 ? t ? sin1 ? 0 恒成立,? t ? ?1 ??? ?7 分 (3)由(1)知方程 令 f1 ( x) ?

ln x ln x ? x 2 ? 2ex ? m ,即 ? x 2 ? 2ex ? m , x f ( x)

ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m x 1 ? ln x ? f '1 ( x) ? x2
7

当 x ? ? 0, e ? 时, f '1 ( x) ? 0,? f1 ( x) 在 ? 0, e ? 上为增函数; 当 x ? [e, ??) 时, f '1 ( x) ? 0,? f1 ( x) 在 [e, ??) 上为减函数;

1 . e 而 f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m ? ( x ? e) 2 ? m ? e 2
当 x ? e 时, f1 ( x) max ?

当 x ? ? 0, e ? 时 f 2 ( x) 是减函数,当 x ? [e, ??) 时, f 2 ( x) 是增函数,

? 当 x ? e 时, f 2 ( x) min ? m ? e 2 . 1 1 故当 m ? e 2 ? ,即 m ? e 2 ? 时,方程无实根; e e 1 1 当 m ? e 2 ? ,即 m ? e 2 ? 时,方程有一个根; e e 1 1 当 m ? e 2 ? ,即 m ? e 2 ? 时,方程有两个根.??? ?12 分 e e

8


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