辽宁省瓦房店市高级中学2016届高三数学上学期期中试题 理

2015—2016 学年度上学期期中考试 高三数学(理科)试题
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.) 1.设 i 为虚数单位,则复数 z ?

A. 第一象限
2.函数 f ( x) ?

5i 的共轭复数在复平面内所对应的点位于( 2?i B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限



1 (log2 x)2 ? 1

的定义域为(



1 A. (0, ) 2

B. (2, ? ?)


1 C. (0, ] ? [2, ? ?) 2

1 D. (0, ) ? (2, ? ?) 2

3.下列结论错误的是(

A. 命题“若 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,则 x ? 4 ”的逆否命题是“若 x ? 4 ,则 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ” B. 命题“若 m ? 0 ,则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根”的逆命题为真命题 C. “ x ? 4 ”是“ x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ”的充分条件 D. 命题“若 m2 ? n 2 ? 0 ,则 m ? 0 且 n ? 0 ”的否命题是“若 m2 ? n2 ? 0 ,则 m ? 0 或 n ? 0 ”

? x ? y ? 4? 0 ? 4.若实数 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 4? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为( ? x ? y ? 2… 0 ?
D. 49 1 5.在等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120,则 a7 ? a5 的值为( 3 A. 8 B. 12 C. 16 D. 72
?



A. 11

B. 24

C. 36



6.已知 e1 , e2 是夹角为 60 的两个单位向量,若 a ? e1 ? e2 , b ? ?4e1 ? 2e2 ,则 a 与 b 的夹角为(



A. 30?

B. 60?

C. 120?

D. 150?


7.对于直线 m , n 和平面 ? , ? , ? ? ? 的一个充分条件是(

A. m ? n , ? ? ? ? m , n ? ? C. m // n , n ? ? , m ? ?
8.若函数 f ( x) ? sin(? ? ?x) ? 3 sin( 值为

B. m ? n , m // ? , n // ? D. m // n , m ? ? , n ? ?

?
2

? ?x) ( x ? R,? ? 0) 满足 f (? ) ? ?2 , f (? ) ? 0 ,且 ? ? ? 的最小

? ,则函数 f ( x) 的单调递增区间为( ) 2 5 ? 5 ? A. [2k? ? ?, B. [2k? ? ?, 2k? ? ](k ? Z) 2k? ? ](k ? Z) 6 6 12 12 ? ? 5 ? C. [k? ? ,k? ? ](k ? Z) D. [k? ? ? ,k? ? ](k ? Z) 3 6 12 12
1

9.设 M 是 ?ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30 .定义 f ( M ) ? (m,n,p) ,其中 m、 n、 p 分别是
?

??? ? ??? ?

1 1 4 ?MBC、?MCA、?MAB 的面积.若 f ( P) ? ( ,x,y ) ,则 ? 的最小值是 2 x y
A. 8 B. 9 C. 16 D. 18

y

10.已知函数 f ( x ) 的大致图象如图所示,则函数 y ? f ( x) 的解析式为(

A. f ( x) ? x ?

ln( x ) x2 ln( x ) ? x

B. f ( x) ? x ?

ln( x ) x2 ln( x ) ? x

O

第 10 题

x

C. f ( x) ? x 2 ?

D. f ( x) ? x ?

11.已知四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在球 O 的球面上,底面 ABCD 是矩形,平面 PAD 垂直于平面 ABCD , 在 ?PAD 中, PA ? PD ? 2 , ?APD ? 120 , AB ? 2 ,则球 O 的外接球的表面积等于
o

A. 16?

B. 20?

C. 24?

D. 36?

12. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 R , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? 1 , 且 对 任 意 的 实 数 x,y ? R , 等 式

f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) 成立,若数列 ?an ? 满足 f (an ?1 ) ?

1 * , (n ? N ) ,且 a1 ? f (0) ,则下列结论成 1 f( ) 1 ? an

立的是(



A. f (a2013 ) ? f (a2016 ) C. f (a2016 ) ? f (a2015 )

B. f (a2014 ) ? f (a2015 ) D. f (a2014 ) ? f (a2016 )

二、填空题(本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.若 lg 2 , lg(2 ?1) , lg(2 ? 3) 成等差数列,则 x 的值等于________.
x x
2 2 14. 36 的 所 有 正 约 数 之 和 可 按 如 下 方 法 得 到 : 因 为 36 ? 2 ? 3 , 所 以 36 的 所 有 正 约 数 之 和 为

(1 ? 3 ? 32 ) ? (2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ) ? (22 ? 22 ? 3 ? 22 ? 32 ) ? (1 ? 2 ? 22 )(1 ? 3 ? 32 ) ? 91 ,参照上述方法,可求得
200 的所有正约数之和为
. 2 15.某几何体的三视图如右图 ,则此几何体的体积为 16.已知 f ( x) ? x ? e , (其中 e 为自然对数的底数) ,方程
x

2 2
2 1

2 2

2 2

.

2 值范围为 . 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、 证 明过程或演算步骤.)
2

f ( x) ? tf ( x) ? 1 ? 0 (t ? R ) 有四个实数根,则实数 t 的取
2

2

2 2

17. (本小题满分 10 分)

? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 . 已知向量 a ? (sin x, ?1) , b ? ( 3 cos x,
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边, 其中 A 为锐角, a ? 2 3 , c ? 4 ,且 f ( A) ? 1, 求 A , b 和 ?ABC 的面积 S .

?

?

1 2

18. (本小题满分 12 分) 已知如图几何体,正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相垂直, AF ? 2 AB ? 2 AD ? 2 ,M 为 AF 的中点,BN ? CE , 垂足为 N . (Ⅰ)求证: CF // 平面 BDM ; (Ⅱ)求二面角 M ? BD ? N 的大小.

F

E

M A D N C

B

19. (本小题满分 12 分) 已知首项都是 1 的数列 ?an ? , ?bn ? (bn ? 0,n ? N* ) 满足 bn ?1 ? (Ⅰ)令 cn ?

an ?1bn . an ? 3bn

an ,求数列 ?cn ? 的通项公式; bn

(Ⅱ)若数列 ?bn ? 为各项均为正数的等比数列,且 b32 ? 4b2 ? b6 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

20.(本小题满分 12 分) 如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛 B 与小岛 A 、小 距都为 5n mile ,与小岛 D 相距为 3 5n mile .小岛 A 对小岛 B 与 D 的视

C
岛 C相 角为钝

3 D . 5 (Ⅰ)求小岛 A 与小岛 D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积; (Ⅱ)记小岛 D 对小岛 B 与 C 的视角为 ? ,小岛 B 对小岛 C 与 D 的视角 n s i( 2 ?)? ? 的值.
角,且 sin A ?

A

B

为? , 求

21.(本小题满分 12 分) 数列 ?an ?, ?bn ?的每一项都是正数, a1 ? 8 , b1 ? 16 ,且 an , bn , an ?1 成等差数列, bn , an ?1 , bn ?1 成等比数

2, 3? . 列, n ? 1,
3

(Ⅰ)求 a2 , b2 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ?, ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 2 ? ?? ? ? . a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 7

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 2ln x (其中 a 是实数). (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;

1 ,求 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的取值范围.(其 ) ? a ? 5 ,且 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) e * 中 e 为自然对数的底数, n ? N ).
(Ⅱ)若设 2( e ?

4

20152016 学年度上学期期中考试 高三理科数学参考答案 一、选择题 1~6:CDBACC 二、填空题 13. log2 5 三、解答题 7~12:CADABD 14. 465 15. 2 16. (??, ?

e2 ?? ) e

17.解:(Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 ? a ? a ? b ? 2

? ? ?

?2

? ?

1 ? 2 ,???????????????????2 分 2 1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) .??????4 分 2 2 2 2 2 6 2? ? ? .??????????????????????5 分 因为 ? ? 2 ,所以 T ? 2 ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?
(Ⅱ) f ( A) ? sin(2 A ? 因为 A ? (0, ) , 2 A ?

?

? 5? ? ? ? ? (? , ) ,所以 2 A ? ? , A ? . ?????7 分 2 6 6 6 6 2 3 1 2 2 2 2 2 则 a ? b ? c ? 2bc cos A ,所以 12 ? b ? 16 ? 2 ? 4b ? ,即 b ? 4b ? 4 ? 0 ,则 b ? 2 ??9 分 2 1 1 ? 从而 S ? bc sin A ? ? 2 ? 4 ? sin 60 ? 2 3 .???????????????10 分 2 2 18. (Ⅰ)证明:连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OM . 因为 M 为 AF 中点, O 为 AC 中点,所以 FC // MO , 又因为 MO ? 平面 MBD , FC ? 平面 MBD , 所以 FC // 平面 MBD .???????????????????????4 分 (Ⅱ)因为正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相垂直,所以 AF ? 平面 ABCD . 以 A 为原点,以 AD , AB , AF 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系. z 4 2 1, ) , C (11 , , 0) , M (0, 0, 1) , B(0, 1, 0) , D(1, 0, 0) , N ( , E F 5 5 ? ? 设平面 BDM 的法向量为 p ? ( x,y,z) , ? ? ??? ? ? ? p ? BD ? 0 ? M ? , p ? (111) , , .??????????6 分 ? ? ???? ? ? ? ? p ? BM ? 0 ? N A B 设平面 BDN 的法向量为 q ? ( x,y,z ) , y ? ??? ? D ? C ?q ? BD ? 0 ? x , q ? (11 , , ? 2) .????????????????8 分 ? ? ???? ? ?q ? BN ? 0 ? ? ? ?? ? p?q 设 p 与 q 的夹角为 ? , cos ? ? ? ? ? ? 0 ????????????????????10 分 p?q
?
所以二面角 M ? BD ? N 的大小为 90 .?????????????????????12 分 19. 解: (Ⅰ)由题意可得, an?1 ? bn ? an ? bn?1 ? 3bn ? bn?1 ,
?

?

6

) ? 1,

两边同除以 bn ? bn?1 ,得 又 cn ?

an?1 an ? ?3, bn?1 bn

an ,?cn?1 ? cn ? 3 ,?????????????????????????3 分 bn
5

又 c1 ?

a1 ? 1 ,? 数列 ?cn ? 是首项为 1 ,公差为 3 的等差数列. b1

(Ⅱ)设数列 ?bn ? 的公比为 q(q ? 0) , Q b32 ? 4b2 ? b6 ,?b12q4 ? 4b12 ? q6 , 整理得: q ?
2

?cn ? 1 ? 3(n ?1) ? 3n ? 2 , n ? N* .??????????????????????5 分

1 1 1 n ?1 * ,? q ? ,又 b1 ? 1 ,? bn ? ( ) , n ? N ,?????????7 分 4 2 2 1 an ? cn ? bn ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ?????????????????????????8 分 2 ? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an 1 1 1 1 ? 1? ( )0 ? 4 ? ( )1 ? 7 ? ( ) 2 ? ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ????① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? Sn ? 1? ( )1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ????② ?????9 分 2 2 2 2 2

①—②得:

1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? 3 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? 3 ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 1 ? 3 ? [ ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ] ? (3n ? 2) ? ( ) n 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 2 ? 1 ? 3? 2 ? (3n ? 2) ? ( ) n ??????????????????10 分 1 2 1? 2 1 1 ? 1 ? 3 ? [1 ? ( ) n ?1 ] ? (3n ? 2) ? ( ) n 2 2 1 n 1 ? 4 ? (6 ? 3n ? 2) ? ( ) ? 4 ? (3n ? 4) ? ( ) n 2 2 1 n ? Sn ? 8 ? (6n ? 8) ? ( ) ???????????????????????????12 分 2 3 3 2 4 20.解: (Ⅰ)? sin A ? ,且角 A 为钝角,? cos A ? ? 1 ? ( ) ? ? . 5 5 5 2 2 2 在 ?ABD 中,由余弦定理得, AD ? AB ? 2 AD ? AB ? cos A ? BD , 4 ? AD 2 ? 52 ? 2 AD ? 5 ? (? ) ? (3 5) 2 ,? AD2 ? 8 AD ? 20 ? 0 ,解得 AD ? 2 或 AD ? ?10 (舍) , 5 ? 小岛 A 与小岛 D 之间的距离为 2n mile .??????????????????????2 分 ? A , B , C , D 四点共圆,? 角 A 与角 C 互补. 3 4 ? sin C ? , cos C ? cos(180? ? A) ? ? cos A ? . 5 5 2 2 2 ? BDC 在 中,由余弦定理得, CD ? CB ? 2CD ? CB ? cos C ? BD , 4 ? CD 2 ? 52 ? 2CD ? 5 ? ? (3 5) 2 ,?CD2 ? 8CD ? 20 ? 0 , 5 解得 CD ? ?2 (舍)或 CD ? 10 .??????????????????????????4 分 1 1 ? S四边形ABCD ? S?ABC ? S?BCD ? AB ? AD ? sin A ? CB ? CD ? sin C ? 18 , 2 2 ? 四个小岛所形成的四边形的面积为 18 平方 n mile .??????????????????6 分 5 3 5 BC BD 5 ? ? (Ⅱ)在 ?BCD 中,由正弦定理, ,即 sin ? . 3 ,解得 sin ? ? sin ? sinC 5 5
6

? DC 2 ? DB2 ? BC 2 ,?? 为锐角,? cos ? ?
又? sin(? ? ? ) ? sin(180 ? C ) ? sin C ?
?

2 5 .?????????????????8分 5

3 , 5 4 cos(? ? ? ) ? cos(180? ? C ) ? ? cos C ? ? .?????????????????????10 分 5 2 5 .?????12 分 ? sin(2? ? ? ) ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? ) ? 25 21.解:(Ⅰ)由题意得 2b1 ? a1 ? a2 ,可得 a2 ? 2b1 ? a1 ? 24 .
2 a2 ? 36 .??????????????????????????2 分 b1 (Ⅱ)因为 an , bn , an ?1 成等差数列,所以 2bn ? an ? an?1 ,————————①

2 由 a2 ? b1b2 ,可得 b2 ?

因为 bn , an ?1 , bn ?1 成等比数列,所以 a2 ? bnbn?1 , n?1 因为 ?an ?, ?bn ?的每一项都是正数,所以 an ?1 ? bnbn ?1 ,————————②

2 时, an ? bn ?1bn ,————————③ 于是,当 n…
将②③代入①式,可得 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 , 因此数列 { bn } 是首项为 4 ,公差为 2 的等差数列, 所以 bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 2 ,于是 bn ? 4(n ? 1)2 ,???????????????6 分

2 时, an ? 4n(n ? 1) 由③式,可得当 n…
当 n ? 1 时, a1 ? 8 ,满足上式,所以对一切正整数 n ,都有 an ? 4n(n ? 1) .????????8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,所证明的不等式为

1 1 1 1 2 ? ? ?? ? 2 ? . 7 23 47 4n ? 4n ? 1 7 1 2 1 1 ? ( ? ) 【方法 1】首先证明 2 4n ? 4n ? 1 7 n n ? 1 1 2 2 ? 2 即证 2 ,即证 n ? n ? 2 ? 0 ,即证 (n ? 1)(n ? 2) ? 0 , 4n ? 4n ? 1 7 n ? 7 n 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 ?? ? 2 ? ? [( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? ? ? . 2 时, ? ? 所以当 n… 7 23 47 4 n ? 4n ? 1 7 7 2 3 n n ?1 7 7 2 7 1 2 当 n ? 1 时, ? . 7 7 1 1 1 2 综上所述:对一切正整数 n ,有 ? ?? ? ? .??????????????12 分 a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 7 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ). 【方法 2】 2 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n ? 3 (2n ? 1)(2n ? 3) 4 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 3 时, ? ? ? ? ? 2 当 n… 7 23 47 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 4n ? 4n ? 1 7 23 4 5 9 7 11 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) 7 23 4 5 7 2 ? 7 1 1 1 1 2 1 2 当 n ? 1 时, ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? . 7 7 7 23 7 7 7 1 1 1 2 ? ?? ? ? .?????????????12 分 综上所述:对一切正整数 n ,有 a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 7
7

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) 4n ? 4n ? 1 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 当 n? 4 时, ? ? ? ? 2 7 23 4n ? 4n ? 1 7 23 47 2 7 9 9 11 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? . 7 23 47 14 7 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 当 n ? 1 时, ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? ;当 n ? 3 时, ? ? ? ? ? ? . 7 7 7 23 7 7 7 7 23 47 7 14 14 7
【方法 3】
2

综上所述:对一切正整数 n ,有

1 1 1 2 ? ?? ? ? .??????????????12 分 a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 7
2 2 x 2 ? ax ? 2 ? , x x

22.解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ? ?) , f ?( x) ? 2 x ? a ? 令 g ( x) ? 2 x2 ? ax ? 2 , ? ? a ? 16 ,对称轴 x ?
2

a 4 时, f ?( x)… 0, (1)当 ?? 0 ,即 ?4剟

a , g (0) ? 2 , 4

? ?) ,无单调递减区间. 于是,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,
(2)当 ? ? 00 ,即 a ? ?4 或 a ? 4 时, ? ?) ,无减区间. ①当 a ? ?4 时, f ?( x) ? 0 恒成立,于是, f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 , x2 ? , 4 4 当 x ? (0,x1 ) ? ( x2, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( x1,x2 ) 时, f ?( x) ? 0 . 于是, f ( x ) 的单调递增区间为 (0,x1 ) 和 ( x2, ? ?) ,单调递减区间为 ( x1,x2 ) . ? ?) ,无单调递减区间. 综上所述:当 a? 4 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, 当 a ? 4 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0,x1 ) 和 ( x2, ? ?) ,单调递减区间为 ( x1,x2 ) .???4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,若 f ( x ) 有两个极值点,则 a ? 4 , a 且 x1 ? x2 ? ? 0 , x1 x2 ? 1 ,?0 ? x1 ? 1 ? x2 ?????????????????????6 分 2 1 1 2 ) ? a ? 5, 又? 2x1 ? ax1 ? 2 ? 0 , a ? 2( x1 ? ) , 2( e ? x1 e 1 1 1 1 1 ,?????????????8 分 ? e? ? x1 ? ? 2 ? ,又 0 ? x1 ? 1,解得 ? x1 ? 2 x1 2 e e 2 2 于是, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ax1 ? 2 ln x1 ) ? ( x2 ? ax2 ? 2 ln x2 )
②当 a ? 4 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ?
2 ? ( x12 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 2(ln x1 ? ln x2 ) x a ? ( x1 ? x2 ) ? ? a( x1 ? x2 ) ? 2 ln 1 2 x2 1 1 ? ?( x1 ? ) ? ( x1 ? ) ? 4ln x1 x1 x1 1 ? 2 ? x12 ? 4ln x1 ????????????????????????10 分 x1

1 ?2( x 2 ? 1) 2 1 1 2 ? ? x ? 4 l n x h ( x ) ? ? 0 恒成立, ( ? x ? ) ,则 x2 x3 2 e 1 1 1 1 ? h( x) 在 ( , ) 上单调递减,? h( ) ? h( x) ? h( ) , 2 2 e e
令 h( x ) ?

8

1 15 ? 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 4 ln 2 , e 4 1 15 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的取值范围为 (e ? ? 2, ? 4 ln 2) .??????????????????12 分 e 4
即e?

9

20152016 学年度上学期期中考试 高三理科数学参考答案 一、选择题 1~6:CDBACC 二、填空题 13. log2 5 三、解答题 7~12:CADABD 14. 465 15. 2 16. (??, ?

e2 ?? ) e

17.解:(Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 ? a ? a ? b ? 2

? ? ?

?2

? ?

1 ? 2 ,???????????????????2 分 2 1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) .??????4 分 2 2 2 2 2 6 2? ? ? .??????????????????????5 分 因为 ? ? 2 ,所以 T ? 2 ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?
(Ⅱ) f ( A) ? sin(2 A ? 因为 A ? (0, ) , 2 A ?

?

? 5? ? ? ? ? (? , ) ,所以 2 A ? ? , A ? . ?????7 分 2 6 6 6 6 2 3 1 2 2 2 2 2 则 a ? b ? c ? 2bc cos A ,所以 12 ? b ? 16 ? 2 ? 4b ? ,即 b ? 4b ? 4 ? 0 ,则 b ? 2 ??9 分 2 1 1 ? 从而 S ? bc sin A ? ? 2 ? 4 ? sin 60 ? 2 3 .???????????????10 分 2 2 18. (Ⅰ)证明:连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OM . 因为 M 为 AF 中点, O 为 AC 中点,所以 FC // MO , 又因为 MO ? 平面 MBD , FC ? 平面 MBD , 所以 FC // 平面 MBD .???????????????????????4 分 (Ⅱ)因为正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相垂直,所以 AF ? 平面 ABCD . 以 A 为原点,以 AD , AB , AF 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系. z 4 2 1, ) , C (11 , , 0) , M (0, 0, 1) , B(0, 1, 0) , D(1, 0, 0) , N ( , E F 5 5 ? ? 设平面 BDM 的法向量为 p ? ( x,y,z) , ? ? ??? ? ? ? p ? BD ? 0 ? M ? , p ? (111) , , .??????????6 分 ? ? ???? ? ? ? ? p ? BM ? 0 ? N A B 设平面 BDN 的法向量为 q ? ( x,y,z ) , y ? ??? ? D ? C ?q ? BD ? 0 ? x , q ? (11 , , ? 2) .????????????????8 分 ? ? ???? ? ?q ? BN ? 0 ? ? ? ?? ? p?q 设 p 与 q 的夹角为 ? , cos ? ? ? ? ? ? 0 ????????????????????10 分 p?q
?
所以二面角 M ? BD ? N 的大小为 90 .?????????????????????12 分 19. 解: (Ⅰ)由题意可得, an?1 ? bn ? an ? bn?1 ? 3bn ? bn?1 ,
?

?

6

) ? 1,

两边同除以 bn ? bn?1 ,得 又 cn ?

an?1 an ? ?3, bn?1 bn

an ,?cn?1 ? cn ? 3 ,?????????????????????????3 分 bn
10

又 c1 ?

a1 ? 1 ,? 数列 ?cn ? 是首项为 1 ,公差为 3 的等差数列. b1

(Ⅱ)设数列 ?bn ? 的公比为 q(q ? 0) , Q b32 ? 4b2 ? b6 ,?b12q4 ? 4b12 ? q6 , 整理得: q ?
2

?cn ? 1 ? 3(n ?1) ? 3n ? 2 , n ? N* .??????????????????????5 分

1 1 1 n ?1 * ,? q ? ,又 b1 ? 1 ,? bn ? ( ) , n ? N ,?????????7 分 4 2 2 1 an ? cn ? bn ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ?????????????????????????8 分 2 ? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an 1 1 1 1 ? 1? ( )0 ? 4 ? ( )1 ? 7 ? ( ) 2 ? ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ????① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? Sn ? 1? ( )1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ????② ?????9 分 2 2 2 2 2

①—②得:

1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? 3 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? 3 ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 1 ? 3 ? [ ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ] ? (3n ? 2) ? ( ) n 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 2 ? 1 ? 3? 2 ? (3n ? 2) ? ( ) n ??????????????????10 分 1 2 1? 2 1 1 ? 1 ? 3 ? [1 ? ( ) n ?1 ] ? (3n ? 2) ? ( ) n 2 2 1 n 1 ? 4 ? (6 ? 3n ? 2) ? ( ) ? 4 ? (3n ? 4) ? ( ) n 2 2 1 n ? Sn ? 8 ? (6n ? 8) ? ( ) ???????????????????????????12 分 2 3 3 2 4 20.解: (Ⅰ)? sin A ? ,且角 A 为钝角,? cos A ? ? 1 ? ( ) ? ? . 5 5 5 2 2 2 在 ?ABD 中,由余弦定理得, AD ? AB ? 2 AD ? AB ? cos A ? BD , 4 ? AD 2 ? 52 ? 2 AD ? 5 ? (? ) ? (3 5) 2 ,? AD2 ? 8 AD ? 20 ? 0 ,解得 AD ? 2 或 AD ? ?10 (舍) , 5 ? 小岛 A 与小岛 D 之间的距离为 2n mile .??????????????????????2 分 ? A , B , C , D 四点共圆,? 角 A 与角 C 互补. 3 4 ? sin C ? , cos C ? cos(180? ? A) ? ? cos A ? . 5 5 2 2 2 ? BDC 在 中,由余弦定理得, CD ? CB ? 2CD ? CB ? cos C ? BD , 4 ? CD 2 ? 52 ? 2CD ? 5 ? ? (3 5) 2 ,?CD2 ? 8CD ? 20 ? 0 , 5 解得 CD ? ?2 (舍)或 CD ? 10 .??????????????????????????4 分 1 1 ? S四边形ABCD ? S?ABC ? S?BCD ? AB ? AD ? sin A ? CB ? CD ? sin C ? 18 , 2 2 ? 四个小岛所形成的四边形的面积为 18 平方 n mile .??????????????????6 分 5 3 5 BC BD 5 ? ? (Ⅱ)在 ?BCD 中,由正弦定理, ,即 sin ? . 3 ,解得 sin ? ? sin ? sinC 5 5
11

? DC 2 ? DB2 ? BC 2 ,?? 为锐角,? cos ? ?
又? sin(? ? ? ) ? sin(180 ? C ) ? sin C ?
?

2 5 .?????????????????8分 5

3 , 5 4 cos(? ? ? ) ? cos(180? ? C ) ? ? cos C ? ? .?????????????????????10 分 5 2 5 .?????12 分 ? sin(2? ? ? ) ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? ) ? 25 21.解:(Ⅰ)由题意得 2b1 ? a1 ? a2 ,可得 a2 ? 2b1 ? a1 ? 24 .
2 a2 ? 36 .??????????????????????????2 分 b1 (Ⅱ)因为 an , bn , an ?1 成等差数列,所以 2bn ? an ? an?1 ,————————①

2 由 a2 ? b1b2 ,可得 b2 ?

因为 bn , an ?1 , bn ?1 成等比数列,所以 a2 ? bnbn?1 , n?1 因为 ?an ?, ?bn ?的每一项都是正数,所以 an ?1 ? bnbn ?1 ,————————②

2 时, an ? bn ?1bn ,————————③ 于是,当 n…
将②③代入①式,可得 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 , 因此数列 { bn } 是首项为 4 ,公差为 2 的等差数列, 所以 bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 2 ,于是 bn ? 4(n ? 1)2 ,???????????????6 分

2 时, an ? 4n(n ? 1) 由③式,可得当 n…
当 n ? 1 时, a1 ? 8 ,满足上式,所以对一切正整数 n ,都有 an ? 4n(n ? 1) .????????8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,所证明的不等式为

1 1 1 1 2 ? ? ?? ? 2 ? . 7 23 47 4n ? 4n ? 1 7 1 2 1 1 ? ( ? ) 【方法 1】首先证明 2 4n ? 4n ? 1 7 n n ? 1 1 2 2 ? 2 即证 2 ,即证 n ? n ? 2 ? 0 ,即证 (n ? 1)(n ? 2) ? 0 , 4n ? 4n ? 1 7 n ? 7 n 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 ?? ? 2 ? ? [( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? ? ? . 2 时, ? ? 所以当 n… 7 23 47 4 n ? 4n ? 1 7 7 2 3 n n ?1 7 7 2 7 1 2 当 n ? 1 时, ? . 7 7 1 1 1 2 综上所述:对一切正整数 n ,有 ? ?? ? ? .??????????????12 分 a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 7 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ). 【方法 2】 2 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n ? 3 (2n ? 1)(2n ? 3) 4 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 3 时, ? ? ? ? ? 2 当 n… 7 23 47 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 4n ? 4n ? 1 7 23 4 5 9 7 11 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) 7 23 4 5 7 2 ? 7 1 1 1 1 2 1 2 当 n ? 1 时, ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? . 7 7 7 23 7 7 7 1 1 1 2 ? ?? ? ? .?????????????12 分 综上所述:对一切正整数 n ,有 a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 7
12

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) 4n ? 4n ? 1 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 当 n? 4 时, ? ? ? ? 2 7 23 4n ? 4n ? 1 7 23 47 2 7 9 9 11 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? . 7 23 47 14 7 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 当 n ? 1 时, ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? ;当 n ? 3 时, ? ? ? ? ? ? . 7 7 7 23 7 7 7 7 23 47 7 14 14 7
【方法 3】
2

综上所述:对一切正整数 n ,有

1 1 1 2 ? ?? ? ? .??????????????12 分 a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 7
2 2 x 2 ? ax ? 2 ? , x x

22.解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ? ?) , f ?( x) ? 2 x ? a ? 令 g ( x) ? 2 x2 ? ax ? 2 , ? ? a ? 16 ,对称轴 x ?
2

a 4 时, f ?( x)… 0, (1)当 ?? 0 ,即 ?4剟

a , g (0) ? 2 , 4

? ?) ,无单调递减区间. 于是,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,
(2)当 ? ? 00 ,即 a ? ?4 或 a ? 4 时, ? ?) ,无减区间. ①当 a ? ?4 时, f ?( x) ? 0 恒成立,于是, f ( x ) 的单调递增 区间为 (0,

a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 , x2 ? , 4 4 当 x ? (0,x1 ) ? ( x2, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( x1,x2 ) 时, f ?( x) ? 0 . 于是, f ( x ) 的单调递增区间为 (0,x1 ) 和 ( x2, ? ?) ,单调递减区间为 ( x1,x2 ) . ? ?) ,无单调递减区间. 综上所述:当 a? 4 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, 当 a ? 4 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0,x1 ) 和 ( x2, ? ?) ,单调递减区间为 ( x1,x2 ) .???4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,若 f ( x ) 有两个极值点,则 a ? 4 , a 且 x1 ? x2 ? ? 0 , x1 x2 ? 1 ,?0 ? x1 ? 1 ? x2 ????????????????? ????6 分 2 1 1 2 ) ? a ? 5, 又? 2x1 ? ax1 ? 2 ? 0 , a ? 2( x1 ? ) , 2( e ? x1 e 1 1 1 1 1 ,?????????????8 分 ? e? ? x1 ? ? 2 ? ,又 0 ? x1 ? 1,解得 ? x1 ? 2 x1 2 e e 2 2 于是, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ax1 ? 2 ln x1 ) ? ( x2 ? ax2 ? 2 ln x2 )
②当 a ? 4 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ?
2 ? ( x12 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 2(ln x1 ? ln x2 ) x a ? ( x1 ? x2 ) ? ? a( x1 ? x2 ) ? 2 ln 1 2 x2 1 1 ? ?( x1 ? ) ? ( x1 ? ) ? 4ln x1 x1 x1 1 ? 2 ? x12 ? 4ln x1 ????????????????????????10 分 x1

1 ?2( x 2 ? 1) 2 1 1 2 ? ? x ? 4 l n x h ( x ) ? ? 0 恒成立, ( ? x ? ) ,则 x2 x3 2 e 1 1 1 1 ? h( x) 在 ( , ) 上单调递减,? h( ) ? h( x) ? h( ) , 2 2 e e
令 h( x ) ?

13

1 15 ? 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 4 ln 2 , e 4 1 15 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的取值范围为 (e ? ? 2, ? 4 ln 2) .??????????????????12 分 e 4
即e?

14


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