《优化探究》2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2-12_图文

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第十二节
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导数的综合应用
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1.会求闭区间上函数的最大值、最小值 (其中多项式函数一般不 超过三次). 2.会利用导数解决某些实际问题.

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一、函数的最值与导数
1 . 函数y=f(x) 在[a ,b]上的最大值点 x0指的是:函数在这个区间 上所有点的函数值都 不超过 f(x ).
0

2 .函数y=f(x) 在[a ,b]上的最小值点 x0指的是:函数在这个区间
上所有点的函数值都 不小于 f(x0).

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二、生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

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1.极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点取得,

有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,
最值只要不在端点必定是极值. 山 2.求函数在某个闭区间 [a,b]上的最值,只需求出函数在区间[a, 东 b] 内的极值及在区间端点处的函数值,大的是最大值,小的是最小 金 太 阳 值. 书 业 有 限 公 司
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1.函数f(x)=x4-4x+3在区间[-2,3]上的最小值为( A.72 C.-2 解析:f 答案:D B.27 D.0 ′(x) = 4x3 - 4 = 0?x = 1 , 当 x>1 时 f

)

′(x)>0 , x<1 时 f

′(x)<0,故f(x)在[-2,3]上的最小值为f(1),f(1)=1-4+3=0,故选D.

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π? 2.函数 y=x+2cos x 在区间 0,2? ?上的最大值是________. ?
? π? π? π ? ? 解析: y′=1-2sin x, 令 y′=0, 又 x∈ 0,2?, 得 x=6, 则 x∈?0,6? ? ? ? ? ? π π? π? ? ? 时,y′>0;x∈ 6,2?时,y′<0,故函数 y=x+2cos x 在?0,6? ?上单调递 山 ? ? ? 东 ? 金 π? π π ?π ? 增,在?6,2?上单调递减,所以当 x=6时,函数取得最大值,为6+ 3. 太 ? ? 阳 书 π 答案:6+ 3 业 有 限 公 司 ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

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1 39 3 .电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y=3x3- 2 x2- 40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为________.

解析:由y′=x2-39x-40=0, 得x=-1或x=40, 由于0<x<40时,y′<0; 当x>40时,y′>0. 所以当x=40时,y有最小值. 答案:40 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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函数的最值与导数(师生共研)

例 1 a<0.

(2014 年高考江西卷)已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2) x,其中
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(1)当 a=-4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8,求 a 的值.

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解析

(1)当 a=-4 时,由 f
? ? ? ?

2?5x-2??x-2? 2 ′(x)= =0 得 x=5或 x x

2? =2,由 f ′(x)>0 得 x∈ 0,5? ?或 x∈(2,+∞), ? 2? 故函数 f(x)的单调递增区间为 0,5? ?和(2,+∞). ?
? ? ? ?

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?10x+a??2x+a? (2)f ′(x)= ,a<0, 2 x a a 由 f ′(x)=0 得 x=-10或 x=-2. a? 当 x∈ 0,-10? ?时,f(x)单调递增; ? a a? 当 x∈ -10,-2? ?时,f(x)单调递减; ?
? a 当 x∈ -2,+∞? ?时,f(x)单调递增. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

易知 f(x)=(2x+a)

2

a? x ≥0,且 f -2? ?=0. ?

? ? ? ?

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a ①当-2≤1,即-2≤a<0 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1),由 f(1) =4+4a+a2=8,得 a=± 2 2-2,均不符合题意.
? a? a ? ②当 1<-2≤4,即-8≤a<-2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f?-2? ?= ? ?

0,不符合题意. a ③当-2>4,即 a<-8 时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 山 东 处取得, 而 f(1)≠8, 由 f(4)=2(64+16a+a2)=8 得 a=-10 或 a=-6(舍 金 太 去),当 a=-10 时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4) 阳 书 业 =8,符合题意. 有 限 综上,a=-10. 公 司
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规律方法

(1)求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间 (或开

区间)上的最值时,方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的
最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和 极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最

值.
(2)分类讨论时,标准必须统一,分类后要做到无遗漏、不重复, 还要注意不越级讨论,层次分明,能避免分类的题目不要分类. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

(3)分类讨论的步骤:
①确定分类讨论的对象和分类标准. ②合理分类,逐类讨论.

③归纳总结,得出结论.

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1.已知函数f(x)=x3-3ax2+b(x∈R),其中a≠0,b∈R. (1)求函数f(x)的单调区间;
1 3? 山 (2)设 a∈ 2,4? ?,函数 f(x)在区间[1,2]上的最大值为 M,最小值为 m, 东 ? 金 求 M-m 的取值范围. 太 阳 书 业 有 限 公 司
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? ? ? ?

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解析:(1)f ′(x)=3x2-6ax=3x(x-2a), 令f ′(x)=0,得x1=0,x2=2a. ①当a>0时,0<2a,当x变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:

所以函数f(x)的增区间是(-∞,0)和(2a,+∞),减区间是(0,2a).

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②当a<0时,2a<0,当x变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:

所以函数f(x)的增区间是(-∞,2a)和(0,+∞),减区间是(2a,0).

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1 3 (2)由2≤a≤4及(1)知,f(x)在[1,2a]内是减函数,在[2a,2]内是增函数, 又 f(2)-f(1)=(8-12a+b)-(1-3a+b)=7-9a>0, ∴M=f(2)=8-12a+b,m=f(2a)=8a3-12a3+b=b-4a3. ∴M-m=(8-12a+b)-(b-4a3)=4a3-12a+8. 设 g(a)=4a3-12a+8,

山 东 金 ? ? 1 3 ? 太 ∴g(a)在? ? , ?内是减函数. 4? ?2 阳 书 3 ?1? ?3? 1 5 3 11 11 ? ? ? 业 故 g(a)max=g? g ( a ) = g , ∴ ≤ M ? ?=2+ = , ? ?=-1+4× 3= min 2 2 4 16 16 ?2? ?4? 有 限 5 公 -m≤2. 司
2

? 1 3? ?? ∴g ′(a)=12a -12=12(a+1)(a-1)<0 a∈ 2,4??. ??

? ? ? ?

? ? ? ?

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生活中的优化问题(师生共研)
例2 某开发商用9 000万元在市区购买一块土地,用于建一幢写

字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米.已知该写字楼第 一层的建筑费用为每平方米4 000元,从第二层开始,每一层的建筑费 用比其下面一层每平方米增加100元. (1)若该写字楼共x层,总开发费用为y万元,求函数y=f(x)的表达 式;(总开发费用=总建筑费用+购地费用) 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建
为多少层?

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解析

(1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为 4 000×2 000

=8 000 000(元)=800(万元), 从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多 100×2 000=200 000(元)=20(万元), 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项,20 为公差的 等差数列, 所以函数表达式为 x?x-1? y=f(x)=800x+ 2 ×20+9 000 =10x2+790x+9 000(x∈N*).

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(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为 5?10x2+790x+9 000? f?x? g(x)=2 000x×10 000= x
? 900 =50 x+ x +79? ? ? ? ? ? ?

g

900? ′(x)=50 1- x2 ? ′(x)=0 及 x∈N*得,x=30. ?,由 g ?

? ? ? ?

易知当 x=30 时,g(x)取得最小值. 该写字楼建为 30 层时,每平方米平均开发费用最低.

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规律方法

(1)解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,

把“问题情景”转化为数学语言,抽象为数学问题,选择合适的求解 方法,而最值问题的应用题,写出目标函数利用导数求最值是首选的 方法,若在函数的定义域内函数只有一个极值点,该极值点即为函数

的最值点.
(2)利用导数解决优化问题的步骤: ①审题,设未知数.②结合题意列出函数关系式.③确定函数的

定义域.④在定义域内求极值、最值.⑤下结论.

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2.(2014 年泰安模拟)某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元
? 21? 585 ? 2 (6<x<11),年销售为 u 万件,若已知 8 -u 与?x- 4 ? ? 成正比,且售价为 ? ?

10 元时,年销量为 28 万件. (1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式; (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.

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? 21? 585 ? 2 解析:(1)设 8 -u=k?x- 4 ? ? , ? ?

∵售价为 10 元时,年销量为 28 万件,
? 21? 585 ? 2 ∴ 8 -28=k?10- 4 ? ? ,解得 k=2. ? ?

21? 585 ?2 2 x - ∴u=-2 =- 2 x +21x+18. ? + 4? 8 ∴y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6<x<11).

? ? ? ?

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(2)y ′=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9). 令y ′=0,得x=2(舍去)或x=9, 显然,当x∈(6,9)时,y ′>0; 当x∈(9,11)时,y ′<0. ∴函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是递增的,在(9,11)上 是递减的. ∴当x=9时,y取最大值,且ymax=135, ∴售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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导数在不等式中的应用(师生共研)
x+a 例 3 (2015 年西安模拟)已知函数 f(x)= 2 (a≠0,a∈R). x +3a2 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a=1 时,若对任意 x1,x2∈[-3,+∞),有 f(x1)-f(x2)≤m 成 立,求实数 m 的最小值. -?x-a??x+3a? 解析 f′(x)= . ?x2+3a2?2

令 f′(x)=0,解得 x=a 或 x=-3a.

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(1)当a>0时,f′(x),f(x)随着x的变化如下表:

函数f(x)的单调递增区间是 (-3a,a),函数f(x)的单调递减区间是
(-∞,-3a),(a,+∞).

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当a<0时,f ′(x),f(x)随着x的变化如下表:

函数 f(x)的单调递增区间是 (a,-3a),函数f(x)的单调递减区间是 (-∞,a),(-3a,+∞).

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(2)当 a=1 时,由(1)得 f(x)得(-3,1)上的增函数,是(1,+∞)上的减 函数. x+1 又当 x>1 时,f(x)= 2 >0, x +3 1 1 所以 f(x)在[-3,+∞)上的最小值为 f(-3)=-6,最大值为 f(1)=2.

山 东 2 所以对任意 x1,x2∈[-3,+∞),f(x1)-f(x2)≤f(1)-f(-3)=3. 金 太 所以对任意 x1,x2∈[-3,+∞),使 f(x1)-f(x2)≤m 恒成立的实数 m 阳 书 业 2 的最小值为3. 有 限 公 司
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规律方法

利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的

基本方法是构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数的单调性,或者函
数的最值证明函数h(x)>0,其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么 地方可以等于零,这往往就是解决问题的一个突破口. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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3 . (2013 年高考新课标全国卷 Ⅰ) 设函数 f(x) = x2 + ax + b , g(x) = ex(cx+ d) ,若曲线 y= f(x) 和曲线 y= g(x) 都过点 P(0,2) ,且在点 P处有相 同的切线y=4x+2. (1)求a,b,c,d的值; (2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.

解析:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.
而f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c =4.

从而a=4,b=2,c=2,d=2.

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(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).

设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则
F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1). 由题设可得F(0)≥0,即k≥1.

令F′(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.
①若 1≤k<e2 ,则- 2<x1≤0 ,从而当 x∈( - 2 , x1) 时, F′(x)<0 ;当 x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞) 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

上单调递增,故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2
-x-4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.

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② 若 k = e2 , 则 F′(x) = 2e2(x + 2)·(ex - e - 2) . 从 而 当 x> - 2 时 , F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时, F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立. ③若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2 时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 综上,k的取值范围是[1,e2]. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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