2017届江西省玉山县第一中学高三上学期第二次月考数学(文)试题

玉山一中 2016—2017 学年第一学期高三第二次月考

文科数学
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求

的.
1.已知全集U ={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,5},则 CU A =( A.{2,4} B.{1,3,5} C.{1,2,3,4,5} ) 2.已知命题 p: ?x ∈(0, ?? ) , sin x ? x ,则( A. ? p : ?x ∈(0, ?? ) , sin x ? x C. ? p : ?x ∈ ? ??,0? , sin x ? x A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 ) D.?

B. ? p : ?x0 ∈(0, ?? ) , sin x0 ? x0 D. ? p : ?x0 ∈ ? ??,0? , sin x0 ? x0 ) D. 2 x ? y ? 1 ? 0 ) C. 2 x ? y ? 1 ? 0

3.与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x2 的切线方程是(

4.已知数列的前 4 项为 2,0,2,0,则依次归纳该数列的通项不可能是( A. an ? (?1)n?1 ? 1 C. an ? cos(n ? 1)? ? 1 B. an ? ?

?2, n为奇数

?0, n为偶数 n? D. an ? 2sin 2
) D.75 ) 3? C.? ?0,4?

5.设{an } 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15,a1a2a3 ? 80, 则 a11 ? a12 ? a13 ? ( A.105 B.120
2

C.90 3? B. ? ?0,4?

6. 已知函数 f(x)=2ax +4(a-3)x+5 在区间(- ? ,3)上是减函数,则 a 的取值范围是( A. ? 0, ? 4

? ?

3? ?

D. ? ??, ? 4

? ?

3? ?

3 7.观察 ( x2) ? ? 2 x ,( x 4 ) ?? 4 x ,(cos )x ? ?sin ?

x ,若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足
) D. f ?( x ) ) ) C. ? f ?( x)

f (? x) ? f ( x) , f ?( x)为f ( x) 的导函数,则 f ?(? x) =(
A. f ( x ) B. ? f ( x)

8.已知函数 f (x) ? ln( x ? x 2 ? a ?b ? ( 1), 若实数 a , b 满足 f (a) ? f (b ?2) ?0, 则 A.-2 A.必要而不充分条件 C.充要条件 10.函数 f ( x) ? B.-1 C.0 B. 充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 D.2 9.对于函数 y ? f (x ), x ?R , “ y ?| f ( x) | 的图象关于 y 轴对称”是“ y ? f ( x) 是奇函数”的(

sin x 的图象可能是( ln( x ? 2)





1第

A.

B.

C.

D.

11.已知 e 是自然对数的底数,函数 f (x) ?e x ? x ? 2 的零点为 a ,函数 g (x) ? ln x ? x ?2 的零点为 b ,则下 列不等式成立的是( ) A. f (1) ? f (a) ? f (b) B. f (a) ? f (b) ? f (1) C. f (a) ? f (1) ? f (b) D. f (b) ? f (1) ? f (a) ) D.?2, ??? 12.设函数 f ( x ) 在 R 上存在导数 f ?( x ) ,对任意的 x ? R ,有 f (?x) ? f (x) ? x 2 ,且 x ? (0, ??) 时,

f ?( x) ? x.若f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a, 则实数a 的取值范围为(
A.?1, ?? ? B. ? ??,2? C. ? ??,1?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上). 13.已知函数 f (x) ? ?

?3x ( x ? 0)

? 1 ? , 则f ?f ( ) ? ? _________________. ,( x ?0) ? 2 ? ?log 2 x
若 ? p 是 q 的充分不必充要条件,则实数 a 的取值范围是 .

14.设 p : x ?a ? 3, q :( x ? 1 )(2 x ? 1 ) ? 0,

15.已知数列?an ? 的首项为 3,?bn ? 为等差数列,且 bn ? an ?1 ? an ( n ?N *),若 b 3 ? ? 2,b 10 ? 12 ,

则a10 ? _________
16.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分 展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义:能够将圆 O 的周长和面积同时平分的函数称为这个 圆的“优美函数”.给出下列命题: ①对于任意一个圆 O,其“优美函数”有无数个; ②函数 f ( x) ? ln( x 2 ?

x 2 ? 1) 可以是某个圆的“优美函数”;

③正弦函数 y ? sin x 可以同时是无数个圆的“优美函数”; ④函数 y ? f ( x) 是“优美函数”的充要条件为函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形. 其中正确的命题是 (写出所有正确命题的序号)
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
2 17.已知,命题 p : “函数 y ? lg( x ?2 ax ?2 ? a) 的值域为 R ” ,命题 q :“ ?x ? [0,1] , x ? 2 x ? a ? 0 ”

若命题“ p ? q ”是真命题,求实数 a 的取值范围



2第

18.已知函数 f ( x) ?log a (1 ? ) x ? log (1 a

? ), x 其中a 0? 且a 1? .

(1)判断 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)若 f ( ) ? 2 ,求使 f ( x) ? 0 成立的 x 的集合.

3 5

19.已知等差数列?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a3 ? a5 ? a4 ? 8 . (1)求 S7 的值; (2)若 a1 ? 2且a3 , ak ? 1 , Sk 成等比数列,求正整数 k 的值.

20.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? CD AD , // BC , ADC ?

?? PAB

? 90 ,?

1 AD ? 1, PA ? 2 2 PBD . (1)证明:平面 PAB ? 平面 ( 2 )求三棱锥 E ? PDC 的体积。 BC ? CD ? AE ?

21.设椭圆 C :

x2 y 2 a 2b 2 2 2 C ? ? 1( a ? b ? 0) x ? y ? ,定义椭圆 的“相关圆”方程为 .若抛物线 a 2 b2 a 2 ? b2

y 2 ? 4x 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合,且椭圆 C 短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形
(1)求椭圆 C 的方程和“相关圆” E 的方程;

E 上任意一点 P 的直线 l :y ? kx ? m 与椭圆交于 A , B 两点, O 为坐标原点, (2) 过 “相关圆” 若 OA ? OB ,
证明原点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求 m 的取值范围.



3第

22.已知函数 f (x) ? a ln x ?ax ?3(a ? R ). (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象在点 (2, f(2)) 处的切线的倾斜角为 45° ,对于任意的 t ?[1,2] ,

m ] 在区间 (t,3) 上总不是单调函数,求 m 的取值范围; 2 ln2 ln3 ln4 ln n 1 ? ? ????? ? (n ? 2, n ? N *). : (3)求证 2 3 4 n n
函数 g ( x) ? x ? x [ f ?( x) ?
3 2



4第

玉山一中 2016—2017 学年第一学期高三第二次月考

文科数学答案
一选择题 ABCDABCDABCC 二 填空题 (﹣ ? ,﹣4]∪[ ,+ ? ) 三.解答题 17.解:∵函数 y=lg(x2+2ax+2﹣a)的值域为 R, ∴U=x2+2ax+2﹣a 能取遍所有正数, ∴△ ? 0, ∴a2+a﹣2 ? 0. 解得 a ? ﹣2 或 a ? 1, 对于命题 q:∵ ?x ∈[0,1],x2+2x+a ? 0, ∴a ? ﹣x2﹣2x 对 x∈[0,1]恒成立, ∵x∈[0,1]时,﹣x2﹣2x ? 0, ∴a ? 0. ∵命题“p∨q”是真命题, ∴实数 a 的取值范围是 a ? ﹣2 或 a ? 0 18.解: (1)要使函数有意义,则 解得﹣1<x<1, 即函数 f(x)的定义域为(﹣1,1) ; ∵f(﹣x)=loga(﹣x+1)﹣loga(1+x)=﹣[loga(x+1)﹣loga(1﹣x)]=﹣f(x) , ∴f(x)是奇函数. (2)若 f( )=2, ∴loga(1+ )﹣loga(1﹣ )=loga4=2, 解得:a=2, ∴f(x)=log2(1+x)﹣log2(1﹣x) , 若 f(x)>0,则 log2(x+1)>log2(1﹣x) , ∴x+1>1﹣x>0, 解得 0<x<1, 故不等式的解集为(0,1) . 19. 解: (1)∵在等差数列{an},有 a3+a5=a4+8. ∴2a4=a4+8, ∴a4=8, ∴S7= =7a4=56. , 21 ①③

(2)由(1)知 a4=8,a1=2,
页 5第

∴2+3d=8,解得公差 d=2. ∴an=2+2(n﹣1)=2n, ∴Sn= =n2+n.

∵a3,ak+1,Sk 成等比数列, ∴ ,即(2k+2)2=6(k2+k) , 整理得 k2﹣k﹣2=0,k∈N*. 解得 k=﹣1(舍去)或 k=2. 故 k=2. 20.证明: (1)∵PA⊥CD,∠PAB=90° ,AB 与 CD 相交, ∴PA⊥平面 ABCD, ∵BD ? 平面 ABCD, ∴PA⊥BD, 由 AE= AD 则 ED= AD 则 ED=BC=CD,又∠ADC=90° ,可得∠BAD=∠BDA=45° , ∴∠ABD=90° ,∴BD⊥AB,∵PA∩AB=A, ∴BD⊥平面 PAB,∵BD ? 平面 PBD, ∴平面 PAB⊥平面 PBD. (2)

1 3

21.解:(1)因为若抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0)与椭圆 C 的一个焦点重合,所以 c=1 又因为椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形,所以 b=c=1 故椭圆 C 的方程为 ,“相关圆”E 的方程为

证明:(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 联立方程组 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0

△ =16k2m2﹣4(1+2k2) (2m2﹣2)=8(2k2﹣m2+1)>0,即 2k2﹣m2+1>0



由条件 OA⊥OB 得 3m2﹣2k2﹣2=0 所以原点 O 到直线 l 的距离是



6第

由 3m2﹣2k2﹣2=0 得

为定值 , 或

此时要满足△ >0,即 2k2﹣m2+1>0,又 即 22.解: (1) ,所以 ,即

当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+ ? ) ; 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+ ? ) ,减区间为(0,1]; 当 a=0 时,f(x)无单调区间 (2) ∴ ∴g'(x)=3x2+(m+4)x﹣2 ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=﹣2 ∴ 由题意知:对于任意的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立, 所以有: ,∴ 得 a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+2x﹣3 ,

(3)令 a=﹣1 此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以 f(1)=﹣2, 由(1)知 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+ ? )上单调递增, ∴当 x∈(1,+ ? )时 f(x)>f(1) ,即﹣lnx+x﹣1>0, ∴lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+ ? )成立, ∵n ? 2,n∈N*,则有 0<lnn<n﹣1, ∴ ∴



7第


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