辽宁省瓦房店市高级中学2016届高三数学10月月考试题 文

辽宁省瓦房店市高级中学 2016 届高三数学 10 月月考试题 文
一.选择题(共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1. 设全集 U ? R ,集合 A ? {x || x |? 1} , B ? {x | log2 x ? 1} ,则 A. (0,1] B. [ ?1,1] C. (1,2] D. (??,?1) ? [1,2] )
U

A ? B 等于(



2. 设 i 是虚数单位,若复数 a ? A.-3 B.-1 C.1

10 (a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为( 3?i
D.3

3. 已知命题 p : ?x ? 0, x ? A. p 是假命题 C. p ? (?q) 是真命题

4 1 ? 4 ;命题 q : ?x0 ? (0,?? ), 2 x0 ? ,则下列判断正确的是( x 2 开始 B. q 是真命题
D. (?p) ? q 是真命题
输入 n



4.已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为 MOD(n, m) , 其结果为 n 除以 m 的余数,例如 MOD(8,3) ? 2 . 右面是一个算法的程序框图,当输入的值为 25 时, 则输出的结果为( A. 4 B. 5 ) C. 6 D. 7

i?2

MOD(n, i) ? 0?




输出 i

i ? i ?1

结束

5.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 m // ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? ; C.若 m // ? , n ? ? , m ? n ,则 ? // ? ; 6.若 ? ? (0, A.



B.若 m // ? , n ? ? , m // n ,则 ? ? ? ; D.若 m // ? , n ? ? , m // n ,则 ? // ? ;

?
2

) ,且 cos 2 ? ? cos(
B.

?
2

? 2? ) ?
1 4

1 2

1 3

C.

3 ,则 tan ? ? ( 10 1 D. 5



?x ? 2 ? 7.设 x, y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 1 ,则下列不等式恒成立的是( ? y ? x ?1 ?
A. x ? 3 8.设函数 f ? x ? ? a ( )
?x



B. y ? 4

C. x ? 2 y ? 8 ? 0

D. 2 x ? y ? 1 ? 0

则 g ? x ? ? loga ? x ? k ? 的图象是 ? ka x ? a ? 0且a ? 1? 在? ??, ? ?? 上既是奇函数又是减函数,

1

9.若 log4 (3a ? 4b) ? log2 A. 6+2 3

ab, 则a ? b的最小值是 (
C.

) D. 6+4 3

B. 7+2 3

7+4 3

10.已知圆 C : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 和两点 A( ? m,0 ) ,B (m,0) ( m ? 0 ) ,若圆 C 上存在点 P,使得 ?APB ? 90 ? , 则 m 的最大值为( A.7 B. 6 ) C. 5 D. 4

11.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: f ? x ? ? f ? ? x ? ? 1, f ? 0? ? 4 ,则不等式 ex f ? x ? ? ex ? 3(其中 e 为自然对数的 底数)的解集为( A. )

? 0, ???

B.

? ??,0? ? ?3, ???

C.

? ??,0? ? ? 0, ???

D.

?3, ???

12.设 F1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若点 P 在双曲线右支上,满足 PF1 ? 4 PF2 , a 2 b2
)A.

则该双曲线离心率的最大值为(

4 3

B.

5 3

C.2

D.

7 3

二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录 的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨)的几组对应数据,根据 上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为

x

3 2.5

4

5 4

6 4.5

y

t

? y ? 0.7 x ? 0.35 ,那么表中 t 的值为____
14. ?ABC 的三边长分别是 a, b, c, b ? 4, c ? 3, D 为 BC 边的中点,AD=

37 ,则 a ? _______ 2

15. 平面向量 a, b 满足 a ? 2, a ? b ? 4 ,且向量 a 与向量 a ? b 的夹角为 16. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 ,且数列 三.解答题(共 6 大题,共 70 分) 17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

? ,则 b 为_____. 3
n
n

? S ? 也为等差数列,则数列 ?a ? 的通项公式 a =
n

3 sin ?x cos ?x ? cos 2 ?x ?

1 (? ? 0) 经化简后利用 2
2

“五点法”画其在某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:

x
f ( x)

① 0

2 ? 3
1 0

5 ? 3
-1 0

? ? (Ⅰ)请直接写出①处应填的值,并求函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的值域; ? ? 2 3? ?
(Ⅱ) ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 f ? A ? 18. (本小题满分 12 分)某区工商局、消费者协会在 3 月

? ?

??

,求 ?ABC 的面积. ? ? 1, b ? c ? 4, a ? 7 , 3?

15 号举行了以“携手共治,畅享消费”为主题的大型宣传

频率 — 组距

咨询服务活动,着力提升消费者维权意识.组织方从参加 0.03 活动的群众中随机抽取 120 名群众,按他们的年龄分组: 0.02 第 1 组 [20,30) ,第 2 组 [30, 40) ,第 3 组 [40,50) ,第 4 0.01 20 30 40 50 60 70 年龄

m

0.005 组 [50,60) ,第 5 组 [60,70] ,得到的频率分布直方图如图所示.

(Ⅰ)若电视台记者要从抽取的群众中选 1 人进行采访,求被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率; (Ⅱ)已知第 1 组群众中男性有 2 人,组织方要从第 1 组中随机抽取 3 名群众组成维权志愿者服务队,求至少有两名 女性的概率. 19.(本小题满分 12 分)如图,三角形 ABC 中, AC ? BC ? 平面 ABC ,若 G, F 分别是 EC , BD 的中点. (Ⅰ)求证: GF / / 平面 ABC ; (Ⅱ)求证: AC ⊥平面 EBC ; (Ⅲ)求几何体 ADEBC 的体积.

2 AB , ABED 是边长为1 的正方形,平面 ABED ⊥ 2

20. (本题满分 12 分)已知椭圆 C:

x2 y2 ? =1(a>b>0) a 2 b2

的离心率为

1 ,以原点为圆点,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x-y+ 6 =0 相切。 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E,证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q; 21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ?

a ?1 ? ln x . x
3

(1)若 a ?

1 ,讨论函数的单调性; (2)若方程 f ( x) ? ax 有两个相异实根,求实数 a 的取值范围. 2

22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点,D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB,直线 MD 与圆 O 相交于点 M、T (不与 A、B 重合) ,DN 与圆 O 相切于点 N,连结 MC,MB,OT. (1) 求证: DT ? DM ? DO ? DC ; (2) 若 ?DOT ? 60 ,试求 ?BMC 的大小.
?

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 内,点 P ( x, y ) 在曲线 C : ? 极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos( ? ?

? x ? 1 ? cos? , (? 为参数, ? ? R )上运动.以 Ox 为 ? y ? sin ?

?
4

) ? 0.

(Ⅰ)写出曲线 C 的标准方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,点 M 在 曲线 C 上移动,试求 ?ABM 面积的 最大值,并求此时 M 点的坐标 24.关于 x 的不等式 lg(| x ? 3| ? | x ? 7 |) ? m. (Ⅰ) 当 m ? 1 时,求不等式的解集; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) ,当 m 为何值时, f ( x) ? m 恒成立?

4

一.选择题(共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) CDCBB BCCCB AB 二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.3 14.

13

15. 2 3

16. 4n ? 2

三.解答题(共 6 大题,共 70 分) 17.(本题满分 12 分)解: (Ⅰ)①处应填入

?
6

.???1 分

f ( x) ?

3 1 ? cos 2? x 1 3 1 ? sin 2? x ? ? ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin(2? x ? ) .??3 分 2 2 2 2 2 6

因为 T= 2(

5? 2? 2? 1 ? ? ) ? 2? ,所以 ? 2? , ? ? ,即 f ( x) ? sin( x ? ) .???4 分 3 3 2? 2 6

因为 x ? ? ?

2? ? ? ? 1 ? ? ?? , ? ,所以 ? ? x ? ? ,所以 ?1 ? sin( x ? ) ? , 3 6 6 6 2 ? 2 3?

故 f ( x) 的值域为 ? ?1, ? ?6 分 2

? ?

1? ?

(Ⅱ)? f ( A ?

?

? ? ? 7? ? ? ? ) ? sin( A ? ) ? 1 ,又 0 ? A ? ? , ? ? A? ? ,得 A ? ? , A ? ?8 分 3 6 6 6 6 6 2 3
2

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 2bc ? bc cos

?

3

? (b ? c) 2 ? 3bc ,即 ( 7) 2 ? 42 ? 3bc ,所以

bc ? 3 .???10 分
所以 ?ABC 的面积 S ?

1 1 3 3 3 . ???12 分 bc sin A ? ? 3 ? ? 2 2 2 4

18. (本题满分 12 分)解: (Ⅰ)设第 2 组 [30, 40) 的频率为 f 2

f2 ? 1 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ? 0.03) ?10 ? 0.35 ; ???????????????3 分
第 4 组的频率为 0.02 ? 10 ? 0.2 所以被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率为

0.35 ? 0.2 ? 0.55 P 1 ?

??????????????????????????6 分 ????????7 分

(Ⅱ)设第 1 组 [30, 40) 的频数 n1 ,则 n1 ? 120 ? 0.005 ?10 ? 6 记第 1 组中的男性为 x1 , x2 , ,女性为 y1 , y2 , y3 , y4

随机抽取 3 名群众的基本事件是: ( x1 , x2 , y1 ) , ( x1 , x2 , y2 ) , ( x1 , x2 , y3 ) , ( x1 , x2 , y4 )

( x1 , y2 , y1 ) , ( x1 , y3 , y2 ) , ( x1 , y1 , y3 ) , ( x1 , y4 , y1 ) , ( x1 , y2 , y4 ) , ( x1 , y3 , y4 ) , ( x2 , y2 , y1 ) , ( x2 , y3 , y2 ) , ( x2 , y1 , y3 ) , ( x2 , y4 , y1 ) , ( x2 , y2 , y4 ) , ( x2 , y3 , y4 ) , ????????10 分 ( y1 , y2 , y3 ) , ( y1 , y2 , y4 ) , ( y2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y3 , y4 ) 共 20 种

5

其中至少有两名女性的基本事件是:( x1 , y2 , y1 ) ,( x1 , y3 , y2 ) ,( x1 , y1 , y3 ) ,( x1 , y4 , y1 ) ,( x1 , y2 , y4 ) ,( x1 , y3 , y4 ) ,

( x2 , y1 , y3 ) , ( x2 , y2 , y4 ) , ( y2 , y3 , y4 ) , ( x2 , y2 , y1 ) , ( x2 , y3 , y2 ) , ( x2 , y4 , y1 ) , ( x2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y2 , y3 ) , ( y1 , y2 , y4 ) , ( y1 , y3 , y4 ) 共 16 种 16 4 ? ??????????????????12 分 所以至少有两名女性的概率为 P2 ? 20 5
19. (本题满足 12 分)证明:

(Ⅱ)∵ADEB 为正方形,∴EB⊥AB, 又∵平面 ABED⊥平面 ABC,∴BE⊥平面 ABC ∵ AC ? 面ABC
2 2 2

∴BE⊥AC

??????????7 分

又∵CA +CB =AB ∴AC⊥BC, ∵BC∩BE=B, ∴AC⊥平面 BCE ????????9 分 (Ⅲ)连结 CN,因为 AC=BC,∴CN⊥AB, 又平面 ABED⊥平面 ABC,CN ? 平面 ABC,∴CN⊥平面 ABED。 ∵三角形 ABC 是等腰直角三角形,∴ CN ? ∵C—ABED 是四棱锥,

1 1 AB ? , 2 2

1 1 1 1 S ABED ? CN ? ? 1? ? ??????????12 分 3 3 2 6 c 1 c2 a 2 - b2 1 2 2 3 2 20. (本题满分 12 分)解: (Ⅰ)由题意知 e= = ,所以 e = 2 = = .即 a = b . 2 a 2 4 4 a c
∴VC—ABED= 又因为 b=

x2 y2 6 2 2 ? = 3 ,所以 a =4,b =3.故椭圆的方程为 =1.?4 分 4 3 1?1

(Ⅱ)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y=k(x-4).

? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 ,得(4k +3)x -32k x+64k -12=0. ①?6 分 ?1 ? ? 3 ?4
6

设点 B(x1,y1), E(x2,y2), 则 A(x1,-y1). 直线 AE 的方程为 y-y2= y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入, 整理,得 x=

y2 ? y 1 x2 ? x1

(x-x2). 令 y=0, 得 x=x2-

y2 ( x2 ? x1 ) . 将 y2 ? y1

2 x1 x 2 ? 4( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? 8



②?8 分

由①得 x1+x2=

32k 2 64k 2 ? 12 , x x = ?10 分 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

代入②整理,得 x=1.

所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1,0).??12 分 21. (本题满分 12 分)解: (1) f ( x) ? ax ? 求导得 f '( x) ? a ?

a ?1 ? ln x 定义域为 (0, ??) x

a ? 1 1 ax 2 ? x ? (a ? 1) ? ? x2 x x2

1 (ax ? a ? 1)( x ? 1) 。令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ? 1 ??????2 分 2 a x 1 当 a ? 1 时, x ? ? 1 ? 0 ,令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 ,于是函数在 (1, ??) 上单调递增;令 f '( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,于是 a

f '( x) ?

函数在 (0,1) 上单调递减;??????4 分 当

1 1 1 1 ? a ? 1 时, x ? ? 1 ? (0,1) ,令 f '( x) ?0 得 0 ? x ? ? 1 或 x ? 1 ,于是函数在 (0, ? 1) 和 (1, ??) 上单调递 2 a a a 1 ? 1 ? x ? 1 ,于是函数在 ( 1 ? 1,1) 上单调递减;???????6 分 a a

增; 令 f '( x) ? 0 得

7

(2) 8分

10 分

12 分

22. (本题满分 10 分) (1)证明:因 MD 与圆 O 相交于点 (T 2,由切割线定 )
2 2 理 DN ? DT ? DM , DN ? DB ? DA ,得 DT ? DM ? DB ? DA ,设半径 OB= r (r ? 0) ,

r 3r 2 ? 3r 2 , ,则 DB ? DA ? r ? 3r ? 3r , DO ? DC ? 2r ? 2 2 所以 DT ? DM ? DO ? DC . 5分 (2)由(1)可知, DT ? DM ? DO ? DC , 且 ?TDO ? ?CDM , 故 ?DTO ∽ ?DCM ,所以 ?DOT ? ?DMC ;
因 BD=OB,且 BC=OC=
? 根据圆周角定理得, ?DOT ? 2?DMB ,则 ?BMC ? 30 .

10 分
2 2

23. (本题满分 10 分)解: (1)消去参数 ? ,得曲线 C 的标准方程: ( x ? 1) ? y ?1. 由 ? cos( ? ?

2分

?
4

) ? 0 得: ? cos? ? ? sin ? ? 0 ,
5分

即直线 l 的直角坐标方程为: x ? y ? 0. (2)圆心 (1, 0) 到直线 l 的距离为 d ?

1 1?1

?

2 , 2
7分

则圆上的点 M 到直线的最大距离为 d ? r ?

2 ? 1 (其中 r 为曲线 C 的半径) , 2

8

| AB |? 2 12 ? (

2 2 ) ? 2 .设 M 点的坐标为 ( x, y ) ,则过 M 且与直线 l 垂直的 直线 l ? 方程为: x ? y ? 1 ? 0 , 2

则联立方程 ?

?( x ? 1) 2 ? y 2 ?1 , ?x ? y ? 1 ? 0

? ? ? 2 2 2 ?1 ?1 ?1 ?x ? ?x ? ? ?x ? ? ? ? ? 2 2 2 解得 ? ,或 ? , 经检验 ? 舍去. ?y ? 2 ?y ? 2 ?y ? ? 2 ? ? ? 2 2 2 ? ? ?
故当点 M 为 (

2 2 ? 1, ? ) 时, ?ABM 面积的最大值为 2 2 1 2 ? 2 ?( ? 1) ? 2 2 2 ?1 . 2
10 分

(S ?ABM ) max ?

24 . (本题满分 10 分)解: (1)当 m ? 1 时,原不等式可变为 0 ?| x ? 3 | ? | x ? 7 |? 10 , 可得其解集为 {x | 2 ? x ? 7}. (2)设 t ?| x ? 3| ? | x ? 7 | , 则由对数定义及绝对值的几何意义知 0 ? t ? 10 , 因 y ? lg x 在 (0, ? ?) 上为增函 数, 则 lg t ? 1 ,当 t ? 10, x ? 7 时, lg t ? 1 ,故只需 m ? 1 即可, 即 m ? 1 时, f ( x) ? m 恒成立. 10 分 5分

9


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