2019-2020年高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第5节三角恒等变换课件理_图文

第5节 三角恒等变换

(3)二倍角的正切公式 tan 2α = 2tan? .
1? tan2?

知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析

知识链条完善 把散落的知识连起来

1.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于

(

)

(A)- 3 (B) 3

2

2

(C)- 1 2

(D) 1 2

(3)1+cos α = 2 cos2 ? ;1-cos α = 2 sin 2 ? ;

2

2

1+sin

α

=

? ??

sin

?
2

?

?
cos 2

2
? ??

;

1-sin

α

=

? ??

sin

?
2

?

?
cos 2

2
? ??

.

2.一般情况下,tan 2α ≠2tan α ,但是否存在α ,使得tan 2α =2tan α ?

提示:存在α,使得tan 2α=2tan α,如α=kπ(k∈Z)时,上式就成立.

提示:有关.cos ? =

a

,sin ? =

b

,可知 ? 的取值与 a,b 的值

a2 ? b2

a2 ? b2

有关.
解析:cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β),

因为 cos α= 1 ,0<β<α< π ,所以 sin α= 4 3 ,sin(α-β)= 3 3 ,代入

7

2

7

14

可得到 cos β= 1 ,所以β= π .

2

3

知识梳理

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)两角和与差的余弦公式 cos(α +β )= cos α cos β -sin α sin β , cos(α -β )= cos α cos β +sin α sin β .
(2)两角和与差的正弦公式

sin(α +β )= sin α cos β +cos α sin β

,

sin(α -β )= sin α cos β -cos α sin β

.

【典例】 (2016 南京模拟)已知 sin(x- π )= 4 ,x∈(π ,2π ),则 45

cos 2x =

.

cos

? ??

π 4

?

x

? ??

2.二倍角的正弦、余弦和正切公式

(1)二倍角的正弦公式

sin 2α = 2sin α cos α

.

(2)二倍角的余弦公式

cos 2α = cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α .

3.公式 asin x+bcos x= a2 ?b2 sin(x+? )中? 的取值与 a,b 有关吗?

3.公式的常见变形

(1)tan α ±tan β = tan(α ±β )(1?tan α tan β )

.

【例 2】 (2015 合肥联考)已知α ∈( π ,π ),且 sin ? +cos ? = 6 .

2

2 22

(1)求 cos α 的值;

4.形如 asin x+bcos x 的式子的化简

asin x+bcos x= a2 ? b2 sin(x+ ? )

(其中 sin ? = b ,cos ? = a ).

a2 ? b2

a2 ? b2

教材导读】 1.公式 tan(α +β )= tan? ? tan ? 可以变形为 tan α +tan β =tan(α +β )
1? tan? tan ? (1-tan α tan β ),且对任意角α ,β 都成立吗?

夯基自测

2.(D2016 合肥联考)若 tan

α

=3,则 sin 2? cos2 ?

的值为(

)

(A)2 (B)3 (C)4 (D)6

解:(2)f(x)=a·b=

3 sin xcos x+sin2x=

2x+ 1 =sin(2x- π )+ 1 ,

2

6

2

当 x= π ∈[0, π ]时,

3

2

sin(2x- π )取最大值 1. 6

所以 f(x)的最大值为 3 . 2

3 sin 2x- 1 cos

2

2

解析:原式= 2sin? cos? =2tan α=6. D cos2 ?
解析:原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30° = 1 ,故选 D.
2

3.设tan α ,tan β 是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α +β )的值为( A ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3
易错提醒:(1)在求解时容易忽视角的取值范围,求得 cos(x- π )为正.由于 4
符号的差异导致最后结果的错误,所以在涉及开方运算时,要特别关注角的 范围问题.

解析:(2)因为 tan(25°+35°)= tan 25。? tan 35。 , 1 ? tan 25。tan35。
所以 tan 25°+tan 35°=tan 60°(1-tan 25°tan 35°)
= 3 - C3 tan 25°tan 35°,
所以 tan 25°+tan 35°+ 3 tan 25°·tan 35°= 3 - 3 tan 25°tan 35°+ 3 tan 25°tan 35°= 3 .
5.函数 f(x)=sin2(x+ π )-sin2(x- π ),x∈( π , π )的值域是 . 4 4 63

【例 1】(1)(2016 重庆巴蜀中学模拟)化简

cos40。

等于(

)

cos 25。 1 ? sin 40。

(A)1

(B) 3

(C) 2

(D)2

答案:( 3 ,1] 2

解析: (2)原式= 2 cos2 10。 -sin 10°· cos2 5。? sin 2 5。

4 sin 10。cos10。

sin 5。cos 5。

= cos10。 - sin 20。 = cos10。? 2sin 20。

2sin10。 sin10。

2 sin 10。

? ? =

cos10。? 2sin 30。?10。 2 sin10。

=

cos10。?

2sin 30。cos10。? 2 sin 10。

2 cos 30。sin10。=

3. 2

考点专项突破 在讲练中理解知识

考点一 三角函数式的化简、求值

解析:f(x)=sin2(x+ π )-cos2(x+ π )=-cos(2x+ π )=sin 2x.

4

4

2

因为 π <x< π ,所以 π <2x< 2π .所以 3 <sin 2x≤1.

6

3

3

3

2

答案:(1) 1 2
答案:(1)C

(2)计算: 1 ? cos 20。-sin 10°( 1 -tan 5°)=

.

2sin 20。

tan 5。

(2)若sin(α -β )=-3 ,β ∈( π ,π),求cos β 的值.
52

? ? 解析:(1)原式= cos220。? sin2 20。 = cos20。? sin 20。 =

cos25。 cos20。? sin 20。

cos 25。

2 cos 25。 cos 25。

=

2.

反思归纳 三角函数式的化简常用方法 (1)善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰当选择三角公式,能求 值的求出值,减少角的个数. (2)统一三角函数名称,利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称 的统一.

【即时训练】 已知α ∈( π ,π ),sin α = 5 .

2

5

(1)求 sin( π +α )的值;

解析:(1)8sin 4 π cos π cos π cos π =4sin π cos π cos π =

48

48

24 12

24 24 12

2sin π cos π =sin π = 1 .

12 12

62

答案:(2) 3

解:(1)因为 sin ? +cos ? = 6 ,

2

2

2

两边同时平方,得 sin α= 1 . 2

又 解:π 2(2<)α 因<为ππ,所 <α以 <π co,sπ

α=- 3 .
<β<π2,所以-π<-β<-

π

,

2

2

2

故- π <α-β< π .又 sin(α-β)=- 3 ,得 cos(α-β)=

2

2

5

cos β=cos[α-(α-β)]

=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

=- 3 × 4 + 1 ×(- 3 )=- 4 3 ? 3 .

2

52

5

10

4. 5

考点二 三角函数的给值求值问题
答案:(2)

3 2

解:(1)由题意 cos α=-

? 1 ? ???

5 ?2 5 ???

=- 2 5 , 5

所以 sin( π +α)=sin π cos α+cos π sin α

4

4

4

= 2 ×(- 2 5 )+ 2 × 5 =- 10 .

2

5

2

5

10

解:(2)sin 2α=2sin αcos α=- 4 ,cos 2α=2cos2α-1= 3 ,

5

5

所以 cos( 5π -2α)=cos 6

5π cos 2α+sin 6

5π sin 2α 6

=-

3 × 3 + 1 ×(- 4 )=- 3 3 ? 4 .

2

5

2

5

10

(2)当x∈[0,π ]时,求实数m的值,使函数f(x)的值域恰为[1 ,7 ],并求

2

22

f(x)在 R 上的对称中心.

反思归已纳知三角函数值,求三角函数式值的一般思路 (1)先化简所求式子; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

【例 3】 已知 0<α < π <β <π ,tan ? = 1 ,cos(β -α )= 2 .

2

22

10

(1)求 sin α 的值;

解:(2)因为 0<α< π ,sin α= 4 ,所以 cos α= 3 .

2

5

5

又 0<α< π <β<π,所以 0<β-α<π. 2

由 cos(β-α)= 2 ,得 0<β-α< π .

10

2

所以 sin(β-α)= 98 = 7 2 ,

10

10

所以 sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α

= 7 2 × 3 + 2 × 4 = 25 2 =

10

5 10

5 50

由 π <β<π得β= 3 π.

2

4

2. 2

答案:- 6 5
【例2】 2?2cos8+2 1?sin8 = .

考点三 三角函数的给值求角问题
(2)求 cos( 5π -2α )的值. 6

解析:(1)因为α,β为钝角,sin α= 5 ,cos β=- 3 10 ,

5

10

所以 cos α=- 2 5 ,sin β= 10 ,

5

10

所以 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= 2 >0. 2

又α+β∈(π,2π),所以α+β∈( 3π ,2π),所以α+β= 7π .

2

4

(2)求β 的值.
解析:原式= 4cos2 4 +2 ?sin4 ? cos4?2 =2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,
因为 5 π<4< 3 π, 42
所以 cos 4<0,且 sin 4<cos 4, 所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4.

反思归纳(1)解决给值求角问题的一般步骤是:①求角的某一个三角函 数值;②确定角的范围;③根据角的范围写出要求的角. (2)在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数,尽 量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数. ①已知正切函数值,选正切函数;
【例 5】 设向量 a=( 3 sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈[0, π ]. 2
(1)|a|=|b|,求 x 的值;

答案:(2)- 3 π
4

②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是

??? 0,

π 2

? ??

,选正、余

弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为

??? ?

π 2

,

π 2

? ??

,

选正弦函数较好.
答案:(1)C

【例 4】 已知函数 f(x)= 3 sin(ω x+ ? )(ω >0,- π ≤ ? < π )的图象关于

2

2

直线 x= π 对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π . 3
(1)求ω和? 的值 与;三角函数的图象、性质相结合的综合问题,借助三角恒等

变换将已知条件中的函数解析式整理为 f(x)=Asin(ωx+? )的形式,然后借

助三角函数图象解决.

解:(1)因 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,

所以 f(x)的最小正周期 T=π,从而ω= 2 π =2. T

又因为 f(x)的图象关于直线 x= π 对称, 3

所以 2× π + ? =kπ+ π ,k∈Z,

3

2

因为- π ≤ ? < π ,得 k=0,

2

2

? = π - 2π =- π .

2

3

6

考点四 三角恒等变换的综合应用(高频考点) 考查角度1:与三角函数的图象及性质相结合命题.

(2)若 f( ? )= 3 ( π <α < 2π ),求 cos(α + 3π )的值.

246 3

2

解:(2)由(1)得 f( ? )= 3 sin(2· ? - π )= 3 ,

2

26 4

所以 sin(α- π )= 1 .由 π <α< 2π ,得 0<α- π < π ,

64 6 3

62

所以 cos(α- π )= 6

1

?

sin

2

????

?

π 6

? ??

=

1?

? ??

1 4

?2 ??

=

15 . 4

因此 cos(α+ 3π )=sin α=sin [(α- π )+ π )=sin(α- π )cos

2

66

6

π +cos(α- π )·sin π = 1 × 3 + 15 × 1 = 3 ? 15 .

6

6

64 2 4 2 8

解:(1)由|a|2=( 3 sin x)2+sin2x=4sin2x, |b|2=cos2x+sin2x=1,又|a|=|b|,得 4sin2x=1.

又 x∈[0, π ],从而 sin x= 1 ,

2

2

所以 x= π . 6
解析:(2)因为 tan α=tan[(α-β)+β]=

tan ?? ? ? ? ? tan ? =

1?1 27

=

1 ? tan ?? ? ? ? tan ? 1 ? 1 ? 1

27

1 >0, 3

所以 0<α< π .又因为 tan 2α= 2 tan?

=

2? 1 3

= 3 >0,所以 0<2α< π ,

2

1 ? tan2 ?

1

?

? ??

1 3

? ??

2

4

2

所以 tan(2α-β)=

tan2? ? tan ? =

3?1 47

=1.因为 tan β=- 1 <0,

1 ? tan 2? tan ? 1 ? 3 ? 1

7

47

所以 π <β<π,-π<2α-β<0,所以 2α-β=- 3π .

2

4

反思归纳

(2)已知α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )= 1 ,tan β =- 1 ,则 2α -β 的值

2

7



.

考查角度2:与向量相结合命题.
【例 3】 设函数 f(x)=2cos2x+2 3 sin xcos x+m.其中 m,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期;

4.(2016 高安中学模拟)已知 cos α = 1 ,cos(α -β )= 13 ,且 0<β <α < π ,β

7

14

2

等于( )

(A) π (B) π (C) π (D) 5 π

4

6

3

12

(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.
(3)两角和与差的正切公式

tan(α



)=

tan? ?tan? 1? tan? tan ?

????,?,?

?

?

?

π 2

?

kπ,k

?Z???

,

tan(α



)=

tan? ?tan? 1? tan? tan ?

????,?,?

?

?

?

π 2

?

kπ,k

?Z???

.

反思归纳与向量相结合的综合问题,此类问题通常是先利用向量的运 算转化为三角函数问题,然后利用三角恒等变换转化为三角函数的 图象与性质等问题解决.

备选例题

【例 4】 (2015 襄阳模拟)已知 sin(α + π )= 5 ,cos(β + 3π )=- 10 ,

45

4 10

α ,β ∈( π , 3π ),求 cos(α +β )的值. 44

解析:tan(α+ π )=tan[(α+β)- (β- π )]=

3

3

tan ??

?

?

?

?

tan

? ??

?

?

π? 3 ??

=

1? 1 3

= 1 .故选 B.

1?

tan

??

?

?

? tan

? ??

?

?

π 3

? ??

1?1? 1 3

2

(2)(2015 杭州质检)计算 tan 25°+tan 35°+ 3 tan 25°·tan 35°等



.

答案:-2sin 4

答案:(2)

3

2

解析:因为 x∈(π,2π),所以 3 π<x- π < 7 π,

4

44

又 sin(x- π )= 4 >0, 所以 3π <x- π <π,

45

4

4

所以 cos(x- π )=4

1 ? sin 2

? ? ?

x

?

π? 4 ? ?

=- 3 ,cos( π

5

4

=cos[ π +(x- π )]=-sin(x- π )=- 4 ,

2

4

4

5

+x)

cos

2x=sin( π -2x)=-sin(2x- π )

2

2

=-2sin(x所以原式=

π )cos(x4

24
25 ?4
5

=- 6 5

.

π 4

)=-2× 4 5

×(- 3 )= 2 4 ,

5

25

解:(1)因为 tan ? = 1 ,所以 sin α=sin(2· ? )=2sin ? cos ?

22

2

22

=

2sin ? cos? 22

=

2sin ? 2

=

2? 1 2

=4.

sin2 ? ? cos2 ? 22

1? tan 2? 2

1

?

? ??

1 2

2
? ??

5

答案:(2) 3
2

解:(2)因为 0≤x≤ π ,所以 π ≤2x+ π ≤ 7π ,

2

6

66

所以- 1 ≤sin(2x+ π )≤1,所以 m≤f(x)≤m+3,又 1 ≤f(x)≤ 7 ,故 m= 1 ,

2

6

2

2

2

令 2x+ π =kπ,k∈Z,解得 x= kπ - π ,k∈Z,

6

2 12

对称中心为( kπ - π , 3 ). 2 12 2

易混易错辨析 用心练就一双慧眼

最新考纲 1.会用向量的数量积 推导出两角差的余弦 公式. 2.会用两角差的余弦 公式推导出两角差的 正弦、正切公式.

忽视角的范围致误
3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的 正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余 弦、正切公式,了解它们的内在联系. 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包 括导出积化和差、和差化积、半角公式,但 不要求记忆).

解析:

?tan? ??tan?

? tan tan ?

? ?

? 3, 2.

根据

tan(α+β)=

tan? ? tan ? = 3 =-3. 1? tan? tan ? 1 ? 2

提示:不一定,变形可以,但不是对任意角α,β都成立,α,β,α+β≠kπ

+ π ,k∈Z.
2

(2)在求解时,要分析清楚角度之间的关系,灵活运用诱导公式变形,如 π +x 4

与 π -x 互余, π +x 与 π -x 互余等.

4

3

6

No Image
No Image

编后语
? 常常可见到这样的同学,他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具,下课铃一响,就迫不及待地“逃离”教室。实际上,每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么,课后的“黄金时间”可以用来做什么呢?
? 一、释疑难 ? 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题,应该在课堂上标出来,下课时,在老师还未离开教室的时候,要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室,也可以向同学请教,及时消除疑难问题。做到当堂知识,当堂解决。 ? 二、补笔记 ? 上课时,如果有些东西没有记下来,不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容,可以在笔记本上留下一定的空间。下课后,再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记,既可以起到复习的作用,又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全,错别字要纠正,过于潦草的字要写清楚。同时,将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想,用自己的话写在笔记本的空白处。这样,可以使笔记变的更加完整、充实。 ? 三、课后“静思2分钟”大有学问 ? 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间,在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍,把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍,这样,不仅可以加深知识的理解和记忆,还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以,2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。

2019/7/21

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