2014届高考数学一轮复习 第31讲《等差数列的概念及基本运算》热点针对课件 理


第31讲 等差数列的概念及基本运算

1. (原创)数列-2,2,6, x,14,18, ……中的 x 等于( D ) A.7 C.9 B.8 D.10

解析:易知数列是公差为 4 等差数列, 因此 x=6+4=10,故选 D.

2.(改编)已知等差数列{an}的首项 a1=-3,公差 d=2, 则通项公式 an=( C ) A.n-4 C.2n-5 B.3n-6 D.-2n-1

解析:an=-3+(n-1)· 2=2n-5,故选 C.

3.(原创)若 4 是 P 与 12 的等差中项,则 P=

.

P+12 解析:由 4= ,得 P=-4. 2

4.(改编)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8, S9=-18,则 S16= .

9?a1+a9? 解析:S9= =9a5=-18, 2 16?a1+a16? 所以 a5=-2,S16= =8(a5+a12)=-80. 2



等差数列中基本量的计算
【例 1】(改编)设递增等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,

已知 a3=1,a2=a3·7. a 4 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

解析:(1)在递增等差数列{an}中,设公差为 d>0,
?a2=a3·7 ??a1+3d?2=1×?a1+6d? a 4 因为? ?? , ?a3=1 ?a1+2d=1 ?a1=-3 解得? , ?d=2

所以 an=-3+(n-1)×2=2n-5. n?-3+2n-5? 2 (2)Sn= =n -4n, 2 所以 Sn=n2-4n.

【拓展演练 1】 (2012· 河北省保定第三次模拟)已知等差数列{an}中, a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3 可得 1+2d=-3,解得 d=-2. 从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n, n[1+?3-2n?] 所以 Sn= =2n-n2. 2 由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35, 即 k2-2k-35=0, 解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7 为所求.



递推数列与等差数列的证明
【例 2】 已知数列?an?, 首项 a1=3, 2an=Sn·n-1(n≥2). 且 S ? ?
?1? ? ? (1)求证:?S ?是等差数列,并求其公差; ? n? ? ?
? ?

(2)求?an?的通项公式. ? ?

?

?

?1? ? ? 1 1 ? ?为等差数列,即证 - 分析:证?S ? =d(d Sn Sn-1 ? n?

是常数).

解析:(1)证明:由已知,当 n≥2 时,2an=Sn·n-1, S 即 2(Sn-Sn-1)=Sn·n-1(n≥2), S 2?Sn-Sn-1? 1 1 1 所以 =1 即 - =- (n≥2,n∈N*). Sn Sn-1 2 SnSn-1 1 1 1 1 1 所以{ }是以 = = 为首项, 公差 d=- 的等差数列. Sn S1 a1 3 2
?3 ? ??n=1? ? 18 因此,an=? ??3n-5??3n-8? ? ??n≥2,n∈N*? ?

).

1 1 1 1 5-3n (2)因为 = +(n-1)d= +(n-1)(- )= , Sn S1 3 2 6 6 所以 Sn= (n∈N*). 5-3n 1 18 从而 an= Sn·n-1= S (n≥2,n∈N*), 2 ?3n-5??3n-8?

【拓展演练 2】 (改编)已知 f(x)=- 1 1 4+ 2,点 Pn(an,- )在曲线 x an+1

y=f(x)(n∈N*)上且 a1=1,an>0. 1 (1)求证: 数列{ 2}为等差数列, 并求数列{an}的通项公式; an (2)设数列{a2·2+1}的前 n 项和为 Sn, 若对于任意的 n∈N*, n an 1 存在正整数 t,使得 Sn<t -t- 恒成立,求最小正整数 t 的值. 2
2

解析:(1)因为- =- an+1

1

1 1 1 4+ 2,所以 2 - 2=4, an an+1 an

1 所以{ 2}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列. an 1 所以 2=4n-3,因为 an>0,所以 an= an 1 . 4n-3

1 1 1 1 = ( - ). ?4n-3??4n+1? 4 4n-3 4n+1 所以 Sn=b1+b2+…+bn 1 1 1 1 1 1 = [(1- )+( - )+…+( - )] 4 5 5 9 4n-3 4n+1 1 1 1 = (1- )< . 4 4n+1 4 1 * 2 对于任意的 n∈N 使得 Sn<t -t- 恒成立, 2
2 (2)bn=an·2+1= an

1 2 1 3 1 所以只要 ≤t -t- ,所以 t≥ 或 t≤- , 4 2 2 2 所以存在最小的正整数 t=2 符合题意.



等差数列的综合应用
【例 3】 (2013· 山东省微山 3 月模拟)已知等差数列{an}中,

a3=-4,a1+a10=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 an=log3bn,设 Tn=b1·2· bn,当 n 为 b …· 何值时,Tn>1.

解析:(1)设数列{an}的公差为 d, ?a1+2d=-4 ?a1=-8 则? ,解之得? , ?2a1+9d=2 ?d=2 an=-8+2(n-1)=2n-10. 2n-10 (2)bn=3an=3 , 所以 Tn=b1·2· bn b …· =32 =32
×1-10

·2 3

×2-10

· 32n …·

-10

×1-10+2×2-10+…+2n-10

=32(1

+2+…+n)-10n

=3n2-9n

要使 Tn>1,即 n2-9n>0,所以 n>9, 所以当 n>9,且 n∈N*时,Tn>1.

【拓展演练 3】 (2012· 广东省肇庆市第一次模拟)已知数列{an}是一个等 差数列,且 a2=1,a5=-5. (1)求数列{an}的通项公式; 5-an (2)设 cn= ,n=2cn, T=log2b1+log2b2+log2b3+… b 求 2 +log2bn 的值.

解析:(1)设{an}的公差为 d, ?a1+d=1 ?a1=3 由已知条件,? ,解得? . ?a1+4d=-5 ?d=-2 所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5. (2)因为 an=-2n+5, 5-an 5-?-2n+5? 所以 cn= = =n,所以 bn=2cn=2n, 2 2 所以 T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn =log22+log222+log223+…+log22n =1+2+3+…+n n?n+1? = . 2

1.(2013· 广东卷)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10, 则 3a5+a7= .

解析:由于 3a5+a7=a5+2a5+a7=a4+a5+a6+a7 =2(a3+a8)=20.

2.(2012· 福建卷)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则 数列{an}的公差为( B ) A.1 C.3 B.2 D.4

?a1+a1+4d=10 解析:根据已知条件得? , ?a1+3d=7 ?2a1+4d=10 即? ,解得 d=2,故选 B. ?a1+3d=7

3.(2012· 北京卷)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 1 a1= ,S2=a3,则 a2= 2 .

解析:设等差数列{an}的公差为 d,由 S2=a3 可得, 1 1 a1=a3-a2=d= ,所以 a2=2d=2× =1. 2 2

4.(2012· 广东卷)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,
2 a3=a2-4,则 an=

.

解析:设等差数列的公差为 d,由于数列是递增数列, 所以 d>0,a3=a1+2d=1+2d,a2=a1+d=1+d,
2 代入已知条件:a3=a2-4,

得 1+2d=(1+d)2-4,解得 d2=4, 所以 d=2(d=-2 舍去),所以 an=1+(n-1)×2=2n-1.

5.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为 .

解析:设 Sn=An2+Bn, 1 10 由 S10=0,S15=25,得 A= ,B=- , 3 3 n3 10 2 所以 nSn= - n . 3 3 x3 10 2 20 2 令 f(x)= - x ,其中 x>0,f′(x)=x - x. 3 3 3 20 令 f′(x)=0,得 x= ∈(6,7), 3 20 所以 f(x)在 x= 处取得最小值, 3 所以 nSn 的最小值就在 6S6,7S7 两个较小者中取得,经计算 在 n=7 时取得最小值为-49.


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