上海市杨浦区2016届高三4月质量调研(二模)数学理试题

杨浦区 2016 学年度第二学期高三年级学业质量调研 数学理
一、填空题 1.函数 f ( x) ?

2016.04.12

x?2 的定义域为 x ?1

.

2.已知线性方程组的增广矩阵为 ? 3.计算 lim

? 1 ?1 3 ? ? ?1 ? 若该线性方程组的解为 ? ? , 则实数 a= ?, ? a 3 4? ?2?

.

1? 2 ? 3 ?? ? n = . n ?? n2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? π 4.若向量 a 、 b 满足 | a |? 1,| b |? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 ,则 | a ? b |? 3 |z | 5.若复数 z1 ? 3 ? 4i, z2 ? 1 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则复数 1 ? z2 的虚部为 i 1 6 6. ( ? x ) 的展开式中,常数项为 . x
7.已知 △ABC 的内角 A、B、C 所对应边的长度分别为 a、b、c,若 大小是 .

. .

a c ?b ?a ,则角 C 的 ? c a b b

8. 已 知 等 比 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , 且 满 足 : a1a7 ? 4 , 则 数 列 {log 2 an } 的 前 7 项 之 和 为 . .

9.在极坐标系中曲线 C: ? ? 2cos ? 上的点到 (1, π ) 距离的最大值为

10.袋中有 5 只大小相同的乒乓球,编号为 1 至 5,从袋中随机抽取 3 只,若以 ? 表示取到球中的最 大号码,则 ? 的数学期望是 11.已知双曲线 x ?
2

.

y2 ? 1的右焦点为 F, 过点 F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于 4
.

???? ? ???? ? ??? ? | PM | ? ? 点 P,M 在直线 PF 上,且满足 OM ? PF ? 0 ,则 ??? | PF |

12.现有 5 位教师要带三个班级外出参加志愿者服务,要求每个班级至多两位老师带队,且教师甲、 乙不能单独带队,则不同的带队方案有 .(用数字作答) 13.若关于 x 的方程 (4 x ? ) ? | 5 x ? 为 .

5 x

4 |? m 在 (0, ?≦) 内恰有三个相异实根,则实数 m 的取值范围 x

14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍 祖暅原理求球体体积公式的做法:可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后在圆柱内 挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,用这样一个几何体与半球应用祖暅 原理(图 1),即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上,解答以下问题: 已知椭圆的标准方程为 其体积等于

x2 y 2 ? ? 1 ,将此椭圆绕 y 轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(图 2), 4 25
.

二、选择题 15.下列函数中,既是奇函数,又在区间 (0, ?≦) 上递增的是( A. y ? 2 B. y ? ln x C. y ? x
1 3



| x|

D. y ? x ?

1 x


16.已知直线 l 的倾斜角为 ? ,斜率为 k,则“ ? ?

π ”是“ k ? 3 ”的( 3

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 17.设 x,y,z 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是( A. x ?
2



1 1 ≥x? 2 x x

B. x ? 3 ? x ? 1 ≤ x ? 2 ? x

C. | x ? y | ?

1 ≥2 x? y

| x?z|?| y?z| D. | x ? y |≤

18.已知命题:“若 a,b 为异面直线,平面 ? 过直线 a 且与直线 b 平行,则直线 b 与平面 ? 的距离等 于异面直线 a,b 之间的距离”为真命题. 根据上述命题,若 a,b 为异面直线,且它们之间的距离为 d,则空间中与 a,b 均异面且距离也均为 d 的直线 c 的条数为( ) A0 条 B.1 条 C.多于 1 条,但为有限条 D.无数多条 三、解答题 19.如图,底面是直角三角形的直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ? 的动点. (1)证明: DC1 ? BC ; (2)求三棱锥 C ? BDC1 的体积.

1 AA1 ? 1 ,D 是棱 AA1 上 2

20.某菜农有两段总长度为 20 米的篱笆 PA 及 PB,现打算用它们和两面成直角的墙 OM、 ON 围成一个 如图所示的四边形菜园 OAPB(假设 OM、ON 这两面墙都足够长).已知|PA|=|PB|=10

π , ?OAP ? ?OBP .设 ?OAP ? ? ,四边形 OAPB 的面积为 S. 4 (1)将 S 表示为 ? 的函数,并写出自变量 ? 的取值范围; (2)求出 S 的最大值,并指出此时所对应 ? 的值.
(米), ?AOP ? ?BOP ?

21.已知函数 f ( x) ? ax ? log2 (2x ?1) ,其中 a ? R . (1)根据 a 的不同取值,讨论 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由;
?1 ?1 (2)已知 a>0,函数 f ( x ) 的反函数为 f ( x) ,若函数 y ? f ( x) ? f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值为

1 ? log 2 3 ,求函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最大值.

22.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,且右焦点 F 与短轴的两个端点组成一个正 a 2 b2

三 角 形 . 若 直 线 l 与 椭 圆 C 交 于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , 且 在 椭 圆 C 上 存 在 点 M , 使 得 :

???? ? 3 ??? ? 4 ??? ? OM ? OA ? OB (其中 O 为坐标原点),则称直线 l 具有性质 H. 5 5
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 垂直于 x 轴,且具有性质 H,求直线 l 的方程; (3)求证:在椭圆 C 上不存在三个不同的点 P、Q、R,使得直线 PQ、QR、RP 都具有性质 H.

23. 已知数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? ?, nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1), n ? N* , 且对一切 n ? N , 均有
*

b1b2 ?bn ? ( 2)an .
(1)求证:数列 {

an } 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; n

(2)若 ? ? 2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ; (3)设 cn ?

an ? bn (n ? N* ) ,记数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,问:是否存在正整数 ? ,对一切 n ? N* , anbn

均有 T4 ≥ Tn 恒成立.若存在,求出所有正整数 ? 的值;若不存在,请说明理由.

19、(1)证明:因为直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC,所以,CC1⊥BC, 又底面 ABC 是直角三角形,且 AC=BC=1,所以 AC⊥BC, 又 AC ? CC1 =C,所以,BC⊥平面 ACC1A1,所以,BC⊥DC1 (2) VC ? BDC1 ? VB?CDC1 = ? ? 2 ?1?1 ?

1 1 3 2

1 3

20(1)在三角 POB 中,由正弦定理,得:

OB 10 ,得 OB=10( cos ? ? sin ? ) ? 3? ? sin( ? ? ) sin 4 4 1 2 所以,S= 2 ? ?10 ?10(cos ? ? sin ? )sin ? = 100(sin ? cos? ? sin ? ) , 2

(2)S= 100(sin ? cos? ? sin

2

? ) = 50(2sin ? cos? ? 2sin2 ? )
?
4 ) ? 50

= 50(sin 2? ? cos 2? ? 1) = 50 2 sin(2? ?

所以,

21、(1)当 a=-

1 1 x 时, f ( x) ? ? x ? log 2 (2 ? 1) ,定义域为 R, 2 2

f (? x) ?


1 1 1 ? 2x x ? log 2 (2 ? x ? 1) ? x ? log 2 ( x ) 2 2 2

1 1 x ? log 2 (2 x ? 1) ? log 2 2 x = ? x ? log 2 (2 x ? 1) = f ( x) ,偶函数。 2 2

22、(1) 2c ? 2 3 ,所以 c ? 3 , 又右焦点 F 与短轴的两个端点组成一个正三角形,所以, a ? 2b 因为 a ? b ? c ,解得: a ? 2, b ? 1 ,
2 2 2

所以,椭圆方程为:

x2 ? y 2 =1 4

23、(1)证明:由 nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ?1), n ? N* ,两边除以 n(n ? 1) ,得

an ?1 an a a ? ? 1 ,即 n ?1 ? n ? 1 , n ?1 n n ?1 n an 所以,数列 { } 为等差数列 n an ? ? ? n ? 1 ,所以, an ? n2 ? (? ?1)n n


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