3.1.2 第二课时 两角和与差的正切 课件(人教A必修4)


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考点一
考点二 考点三

第 三 章

3.1

3.1.2

第 二 课 时 应用创 新演练

[例 1]

已知 tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求 tan 2α,

π tan 2β,tan(2α+ ). 4

[思路点拨] 利用 2α=(α+β)+(α-β), 2β=(α+β)-(α -β)求 tan 2α,tan 2β,再由两角和的正切公式求 tan(2α+ π ). 4

[精解详析] tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)] tan(α+β)+tan(α-β) = 1-tan(α+β)tan(α-β) 5+3 4 = =- , 7 1-5× 3 tan 2β=tan[(α+β)-(α-β)] tan(α+β)-tan(α-β) = 1+tan(α+β)tan(α-β) 5-3 1 = = , 1+5× 8 3 4 1- 7 3 π 1+tan 2α tan(2α+ )= = = . 4 1-tan 2α 4 11 1+ 7

[一点通]

应用两角和(差)的正切公式求值时,首先应先求

出这两个角的正切值,再正用公式展开求值.

1.tan 15° =________.
tan 45° -tan 30° 解析:tan 15° =tan(45° -30° )= 1+tan 45° 30° tan 3 1- 3

= =2- 3. 3 1+1× 3
答案:2- 3

4 2.若 tan α=3,tan β= ,则 tan(α-β)= 3 1 A.-3 B.- 3 1 C.3 D. 3
4 3- 3

(

)

tan α-tan β 1 解析:tan(α-β)= = = . 4 3 1+tan αtan β 1+3× 3

答案:D

3 3.已知 sin α= ,α 是第二象限角,且 tan(α+β)=1,求 tan β 5 的值.
3 解:∵sin α= ,α 是第二象限角, 5 4 3 ∴cos α=- ,∴tan α=- , 5 4 3 tan(α+β)-tan α 1+4 ∴tan β=tan[(α+β)-α]= = =7. 3 1+tan(α+β)tan α 1- 4

[例 2]

求下列各式的值:

3-tan 15° (1) ; 1+ 3tan 15° 3 (2)tan 72° -tan 42° 3 tan 72° 42° - tan .
[思路点拨] (1)把 3写成 tan 60° ,逆用公式求值;(2)

注意到 72° -42° =30° ,可对两角差的正切公式变形应用.

tan 60° -tan 15° [精解详析] (1)原式= 1+tan 60° 15° tan =tan(60° -15° )=tan 45° =1. (2)∵tan (72° -42° ) tan 72° -tan 42° 3 = = , 1+tan 72° 42° 3 tan ∴tan 72° -tan 42° 3 3 + tan 72° 42° tan . 3 3 3 3 即 tan 72° -tan 42° - tan 72° 42° tan = . 3 3 =

[一点通]

当函数式中同时含有两角的正切的和(差)与乘积

时, 合理地使用正切公式的变形公式, 能起到快速、 简捷的效果, 在解决问题时,应仔细体会用何种变形公式比较好.

π 4.若 α+β= ,则(1+tan α)(1+tan β)=________. 4
解:(1+tan α)(1+tan β) =1+(tan α+tan β)+tan αtan β. tan α+tan β π ∵α+β= ,∴ =1. 4 (1-tan αtan β) ∴tan α+tan β=1-tan αtan β, ∴原式=1+1-tan αtan β+tan αtan β=2.

5.在非直角△ ABC 中, (1)求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C; (2)若 2B=A+C,且 tan Atan C=2+ 3,求△ ABC 的三 内角的大小.

解:(1)证明:∵A+B+C=180° , ∴tan (A+B)=-tan C, ∴tan A+tan B+tan C =tan (A+B)· (1-tan Atan B)+tan C =-tan C(1-tan Atan B)+tan C=tan Atan Btan C.

(2)∵2B=A+C,A+B+C=180° , ∴B=60° ,∴A+C=120° . tan A+tan C 则 tan(A+C)= =- 3, 1-tan Atan C tan A+tan C=- 3(-1- 3)=3+ 3. ∴tan A,tan C 是方程 x2-(3+ 3)x+2+ 3=0 的两个根.
?tan ? ∴? ?tan ?

A=1, C=2+

?tan ? 或? 3, ?tan ?

A=2+ 3, C=1.

则 B=60° ,A=45° ,C=75° B=60° 或 ,C=45° ,A=75° .

[例 3]

(12 分)是否存在锐角 α 和 β,使得下列两式

2 α ①α+2β= π;②tan tan β=2- 3同时成立? 3 2

[思路点拨]

α π 由①可知 +β= ,利用两角和的正切公式 2 3

α 表示 tan( +β),通过解方程组求解. 2

[精解详析]

假设存在符合题意的锐角 α 和 β, (1 分)

α π 由①知: +β= ,? 2 3 α tan +tan β 2 α ∴tan( +β)= = 3,? α 2 1-tan tan β 2 由②知 tan α tan β=2- 3, 2

(4 分)

α ∴tan +tan β=3- 3.? 2

(6 分)

α ∴tan ,tan 2

β 是方程 x2-(3- 3)x+2- 3=0 的两个 (8 分)

根,得 x1=1,x2=2- 3.?

π α ∵0<α< ,则 0<tan <1, 2 2 α α ∴tan ≠1,即 tan =2- 3,tan β=1.? (10 分) 2 2 π π π 又∵0<β< ,则 β= ,代入①,得 α= , 2 4 6 π π ∴存在锐角 α= ,β= ,使①②同时成立.? (12 分) 6 4

[一点通] 本题属于探索性问题,是结论开放性问题,需 要认真分析条件,对分析问题、解决问题的能力要求较高.解 题时要注意角的范围的限制.

6.若锐角 α,β 满足(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4,则 α+β= ________.

解析:∵(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=1+ 3tan α+ 3tan β +3tan αtan β=4, ∴ 3(tan α+tan β)=3(1-tan αtan β) 即 tan α+tan β= 3(1-tan αtan β) tan α+tan β ∴tan(α+β)= = 3, 1-tan αtan β 又 α、β 均为锐角, π ∴0<α+β<π,∴α+β= . 3
π 答案: 3

7.已知 tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,求 tan2α+tan2β 的值.
解:∵tan(α+β)=4, tan α+tan β ∴ =4. 1-tan αtan β 1 又∵tan α+tan β=2,∴tan αtan β= , 2 ∴tan2α+tan2β=(tan α+tan β)2-2tan αtan β=3.

π 1.公式 T(α±β)只有在 α,β,α± β≠kπ+ (k∈Z)的条件下 2 才成立,这是由正切函数的定义域决定的,应用时切记. 2.对于公式 T(α±β)不仅要会正用,还应学会逆用和变形 用.

(1)公式的逆用,比如: tan(α+β)-tan α =tan[(α+β)-α]=tan β. 1+tan (α+β)tan α 1+tan α tan 45° +tan α 又如 = =tan(45° +α). 1-tan α 1-tan 45° α tan (2)公式的变形应用,比如: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtanβ), tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).

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