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函数的值域与最值
求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一, 也是考试的热点和难点之一。 遗憾的是 教材中仅有少量求定义域的例题、习题,而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。 原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容,技巧性强,有很高的难度,因 此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。 1、值域:函数 y ?

f ( x),x ? A ,我们把函数值的集合 { f ( x) / x ? A} 称为函数的值域。

函数的值域取决于定义域和对应法则,求函数的值域要注意优先考虑定义域 2、最值:求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上,如果在函数的值域中 存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值。因此,求函数的最值和值域,其实 质是相同的,只是提问不同而已。但应该明确,任何一个函数都有值域,但并不是每个函 数都有最值。

常用求值域方法
(1)、直接观察法:利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域。对于一些 比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数等等,其值域可通过观 察直接得到。

y?
例 1、求函数

1 , x ? [1, 2] x 的值域。

例 2、 求函数 y ? 3 ? x 的值域。

例 3、函数 y

?

1 2 ? x2

的值域. 解: { y 0 ?

1 y? } 2

(2) 、 配方法: 二次函数或可转化为形如 F ( x) ? a[ f ( x)] ? bf ( x) ? c 类的函数的值域问题,
2

均可用配方法,而后一情况要注意 f ( x ) 的范围,也就是这类值域是求闭区间上的值域。 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例 1、求函数 y ? x ? 2 x ? 5, x ? R 的值域。
2

2 例 2、求函数 y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。

1

(3) 、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数 的值域,形如 y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d 均为常数,且 a ? 0 )的函数常用 此法求解。 例 1、求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。 解:令 t ? 1 ? 2 x ( t ? 0 ) ,则 x ?
2 2 ∴ y ? ?t ? t ? 1 ? ?(t ? ) ?

1? t2 , 2

1 2

5 4

1 3 5 ,即 x ? 时, ymax ? ,无最小值。 2 8 4 5 ∴函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 4
∵当 t ? 例 2、求函数 y ? x ? x ? 1 的值域。 解:令 x ? 1 ? t , ( t ? 0)
2 则 x ? t ?1

1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? 2 4 ∵
又 t ? 0 ,由二次函数的性质可知 当 t ? 0 时, y min ? 1 当 t ? 0 时, y ? ?? 故函数的值域为 [1,??) (4) 、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法。 小结:已知分式函数 y ?

ax ? b (c ? 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的 cx ? d

要求)内,值域为 ? y y ?

? ?

a? ,采用部分 ? ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件) c?

ad b? a c (ad ? bc) ,用复合函数法来求值域。 分式法将原函数化为 y ? ? c cx ? d

2

1? x 的值域。 2x ? 5 1 7 7 ? (2 x ? 5) ? 1? x 1 2 ?? ? 2 , 解:∵ y ? ? 2 2x ? 5 2x ? 5 2 2x ? 5 7 1 ∵ 2 ? 0 ,∴ y ? ? , 2 2x ? 5 1? x 1 ∴函数 y ? 的值域为 { y | y ? ? } 2x ? 5 2 3x ? 1 例 2、求函数 y ? 的值域 x ?2
例 1、求函数 y ?

(5) 、判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有实数根,判别 式 ? ? 0 ,从而求得原函数的值域,形如 y ? 函数的值域,常用此方法求解。 例 1、求函数 y ?

a1 x 2 ? b1 x ? c1 ( a1 、 a2 不同时为零)的 a2 x 2 ? b2 x ? c2

x2 ? x ? 3 的值域。 x2 ? x ? 1

解:由 y ?

x2 ? x ? 3 变形得 ( y ?1) x2 ? ( y ?1) x ? y ? 3 ? 0 , x2 ? x ? 1

当 y ? 1 时,此方程无解; 当 y ? 1 时,∵ x ? R ,∴ ? ? ( y ?1) ? 4( y ?1)( y ? 3) ? 0 ,
2

解得 1 ? y ? ∴函数 y ?

11 11 ,又 y ? 1 ,∴ 1 ? y ? 3 3

x2 ? x ? 3 11 的值域为 { y |1 ? y ? } 2 3 x ? x ?1
1 ? x ? x2 1 ? x 2 的值域。

例 2、求函数

y?

解:原函数化为关于 x 的一元二次方程

( y ? 1)x 2 ? ( y ? 1)x ? 0

3

(1)当 y=1 时,0=0,成立 (2)当 y ? 1 时, x ? R

? ? (?1) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ? 0

1 3 ?y? 2 解得: 2
?1 3? ? , ? 故函数的值域为 ? 2 2 ?
(6) 、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数 的值域。在此经常用到复合函数的单调性。 例 1、求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 解:∵当 x 增大时, 1 ? 2 x 随 x 的增大而减少, ? 1 ? 2 x 随 x 的增大而增大, ∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 在定义域 (??, ] 上是增函数。 ∴y?

1 2

1 1 1 ? 1? 2? ? , 2 2 2
1 2

∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。 例 2、求函数 y ? x ?

1 在区间 x ? ?0,???上的值域。 x

分析与解答:任取 x1 , x2 ? ?0,??? ,且 x1 ? x 2 ,则

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

?x1 ? x2 ??x1 x2 ? 1? ,因为 0 ? x
x1 x2

1

? x2 ,所以: x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,

当 1 ? x1 ? x2 时, x1 x2 ? 1 ? 0 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ; 当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, x1 x2 ? 1 ? 0 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ?;而当 x ? 1 时, y min ? 2 于是:函数 y ? x ? 例 3、求函数 y ? 2

1 在区间 x ? ?0,??? 上的值域为 [2,??) 。 x
? log3 x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域。

x ?5

x ?5 解:令 y1 ? 2 , y 2 ? log3 x ? 1

则 y 1 , y 2 在[2,10]上都是增函数

4

所以 y ? y1 ? y 2 在[2,10]上是增函数

当 x=2 时,

y min ? 2 ?3 ? log3 2 ? 1 ?

1 8

5 当 x=10 时, y max ? 2 ? log3 9 ? 33

?1 ? ? ,33? 故所求函数的值域为: ? 8 ?
(7) 、数型结合法:函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像 求得函数值域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点 间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可 求出其值域。 例 1、求函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域。

y

??2 x ? 2 ( x ? ?3) ? 解:∵ y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 |? ?8 (?3 ? x ? 5) , ?2 x ? 2 ( x ? 5) ?
∴ y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的图像如图所示, 由图像知:函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域为 [8, ??) 例 2、求函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 4 | 的值域

8 o

-3

5

x

以上是我们学习函数之后,关于求函数值域的一些方法,随着以后学习的进一步深入, 我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。

5

跟踪练习
⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ( x ? R)

⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ? [1, 2]

⑶y?

3x ? 1 x ?1

⑷y?

3x ? 1 ( x ? 5) x ?1

⑸ y?

2 x ?6 x ?2

⑹ y?

5 x 2+9x ? 4 x2 ?1

⑺ y ? x ? 3 ? x ?1

⑻ y ? x 2? x

⑼ y ? ? x2 ? 4x ? 5

⑽ y ? 4 ? ? x2 ? 4x ? 5
6

⑾ y ? x ? 1 ? 2x

(12)、已知函数 f ( x) ?

2 x 2 ? ax ? b 的值域为[1,3],求 a , b 的值。 x2 ? 1

(1) { y | y ? ?4} (5) y ? [?3, 2) (9) y ? [0,3] 12、 a ? ?2, b ? 2

(2) y ? [0,5]

(3) { y | y ? 3}

(4) y ? [ ,3) (8) y ? R

7 3

(6) { y | y ? 5且y ? } (7) { y | y ? 4} (10) y ? [1, 4] (11) { y | y ? }

1 2

1 2

7


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