四川高考文科数学试题2006年—2014年数列解答题(含答案)

1. (2006 年四川高考文科 17 题)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b 3 成等比数列,求 Tn

2. (2007 年四川高考文科 22 题)已知函数 f(x)=x2-4,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn) ) 处的切线与 x 轴的交点为(xn+1,0) (Ⅰ)用 xn 表示 xn+1; x ?2 (Ⅱ)若 a1=4,记 an=lg n ,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式; xn ? 2 (Ⅲ)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<3.

3. (2008 年四川高考文科 21 题)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2n , (Ⅰ)求 a1 , a4 (Ⅱ)证明:

?a

n ?1

? 2a n ? 是等比数列;

(Ⅲ)求 ?an ? 的通项公式

-1-

4. (2009 年四川高考文科 22 题)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn , 对任意的正整数 n,都有

an ? 5sn ? 1 成立,记 bn ?

4 ? an (n ? N ? ). 1 ? an

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

(Ⅰ)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 R n ,是否存在正整数 k,使得 Rk ? 4k 成立?若存在,找 出一个正整数 k;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)记 cn ? b2n ? b2n?1 (n ? N ? ), 设数列 | cn | 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n, 都有 Tn ?

3 . 2

5. (2010 年四川高考文科 20 题)已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
w_w w. k#s5_ u.c o*m

(Ⅱ)设 bn ? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

6. (2011 年四川高考文科 20 题)已知 {an } 是以 a 为首项,q 为公比的等比数列, Sn 为它的 前 n 项和. (Ⅰ)当 S1 、 S 3 、 S4 成等差数列时,求 q 的值; (Ⅱ)当 Sm 、 Sn 、 S l 成等差数列时,求证:对任意自然数 k, am ? k 、 an ? k 、 al ? k 也成等差 数列.

-2-

7. (2012 年 四 川 高 考 文 科 20 题 ) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 常 数 ? ? 0 , 且

? a1an ? S1 ? S n 对一切正整数 n 都成立。
(Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an

8. (2013 年四川高考文科 16 题) 在等比数列 {an } 中, a2 ? a1 ? 2 ,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等 差中项,求数列 {an } 的首项、公比及前 n 项和

9. (2014 年四川高考文科 19 题) 设等差数列 {an } 的公差为 d ,点 (an , bn ) 在函数 f ( x) ? 2 的图象上( n ? N ) 。
x
?

(Ⅰ )证明:数列 {bn } 为等比数列; (Ⅱ )若 a1 ? 1 ,函数 f ( x ) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线在 x 轴上的截距为 2 ?
2 列 {anbn } 的前 n 项和 Sn 。

1 ,求数 ln 2

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四川高考文科数学试题 2006 年—2011 年数列解答题答案
1. (2006 年四川高考文科 17 题) 解: (Ⅰ)由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ?1? n ? 2? ,两式相减得

an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2? ,又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1
故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列,∴ an ? 3n?1 (Ⅱ)设 ?bn ? 的公比为 d ,由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d ,又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? ,解得 d1 ? 2, d2 ? 10
2

∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ,∴ d ? 2 ∴ Tn ? 3n ? 2. (2007 年四川高考文科 22 题)

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

( Ⅰ ) 由 题 可 得 f '( x) ? 2 x . 所 以 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( xn , f (xn )) 处的切线方程是:
2 y ? f ( xn ) ? f '( xn )( x ? xn ) .即 y ? ( xn ? 4) ? 2xn ( x ? xn ) . 2 2 令 y ? 0 ,得 ?( xn ? 4) ? 2xn ( xn?1 ? xn ) .即 xn ? 4 ? 2xn xn?1 .

显然 xn ? 0 ,∴ xn ?1 ?

xn 2 ? . 2 xn

xn 2 xn 2 ( xn ? 2) 2 ( xn ? 2)2 (Ⅱ)由 xn ?1 ? ,同理 xn?1 ? 2 ? . ? ,知 xn?1 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 xn 2 xn 2 xn 2 xn


xn ?1 ? 2 x ?2 2 x ?2 x ?2 ,即 an?1 ? 2an .所以,数列 {an } 成 ?( n ) .从而 lg n?1 ? 2lg n xn ?1 ? 2 xn ? 2 xn?1 ? 2 xn ? 2
n ?1

等比数列.故 an ? 2

a1 ? 2n?1 lg

x ?2 x1 ? 2 ? 2n?1 lg 3 .即 lg n ? 2n?1 lg 3 . x1 ? 2 xn ? 2

-4-

xn ? 2 2(32 ? 1) 2n?1 从而 ? 3 ,所以 xn ? 2n?1 xn ? 2 3 ?1
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 xn ?
n?1

n?1

2(32 ? 1) 3
2n?1

n?1

?1

,∴ bn ? xn ? 2 ?

4 3
2n?1

?1

?0

b 32 ? 1 1 1 1 1 ∴ n?1 ? n ,当 n ? 1 时,显然 T1 ? b1 ? 2 ? 3 . ? ? n?1 n?1 ? 1?1 ? bn 3 32 ? 1 32 ? 1 32 32
当 n ? 1 时, bn ?

1 ? b1 ? b1 ? 3

1 1 1 bn ?1 ? ( ) 2 bn ? 2 ? ? ( ) n ?1 b1 ,∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? bn 3 3 3 1 b1[1 ? ( ) n ] 1 1 3 ? ( ) n ?1 b1 ? ? 3 ? 3 ? ( ) n ? 3 .综上, Tn ? 3 (n ? N *) . 1 3 3 1? 3

3. (2008 年四川高考文科 20 题) (Ⅰ)因为 a1 ? S1 , 2a1 ? S1 ? 2 ,所以 a1 ? 2, S1 ? 2 ,由 2an ? Sn ? 2n 知

2an?1 ? Sn?1 ? 2n?1 ? an?1 ? Sn ? 2n?1 ,得 an ? Sn ? 2n?1



所以 a2 ? S1 ? 22 ? 2 ? 22 ? 6, S2 ? 8 , a3 ? S2 ? 23 ? 8 ? 23 ? 16, S2 ? 24

a4 ? S3 ? 24 ? 40
n ?1 ? S n ? 2n ? 2n ?1 ? 2n ? 2n (Ⅱ)由题设和①式知 an ?1 ? 2an ? S n ? 2 n 所以 an ?1 ? 2a 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。

?

? ?

?

?

?

(Ⅲ) an ? ? an ? 2an?1 ? ? 2 ? an?1 ? 2an?2 ? ? 4. (2009 年四川高考文科 22 题)

? 2n?2 ? a2 ? 2a1 ? ? 2n?1 a1 ? ? n ?1? ? 2n?1

1 ,又∵ an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1 4 1 1 ∴ an?1 ? an ? 5an?1 ,即 an ?1 ? ? an ,∴数列 {an } 成等比数列,其首项 an ?1 ? ? an 4 4 1 4 ? (? )n 4 ∴ an ? 1 n 1 ? (? ) 4
解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 5a1 ? 1,? a1 ? ?

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

-5-

(Ⅱ)不存在正整数 k ,使得 Rk ? 4k 成立 下证:对任意的正整数 n ,都有 Rk ? 4n 成立 由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

5 (?4) n ? 1

b2 k ?1 ? b2 k ? 8 ?

5 2k 1 (? )2 k ?1 ? 1 (?4) ? 1 4 5 20 ? 8? k ? k 16 ? 1 16 ? 4 15 ?16k ? 40 ? 8? k ?8 (16 ? 1)(16k ? 4) ?

5

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

5. (2010 年四川高考文科 20 题) 解:(1)设{an}的公差为 d ,由已知得

?3a1 ? 3d ? 6 解得 a1=3,d=-1,故 an=3-(n-1)(-1)=4-n …5 分 ? ?8a1 ? 28d ? ?4
(2)由(1)的解答得,bn=n·qn 1,于是 - Sn=1·q0+2·q1+3·q2+……+(n-1)·qn 1+n·qn. 若 q≠1,将上式两边同乘以 q,得 + qSn=1·q1+2·q2+3·q3+……+(n-1)·qn+n·qn 1. 将上面两式相减得到


(q-1)Sn=nqn-(1+q+q2+……+qn 1) =nqn-

w_w w. k#s5 _u.c o*m

qn ? 1 q ?1

于是 Sn=

nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1)2
n( n ? 1) 2

若 q=1,则 Sn=1+2+3+……+n=

? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1) ? ? (q ? 1) 2 所以,Sn= ? ? n(n ? 1) (q ? 1) ? ? 2

……………………12 分

6. (2011 年四川高考文科 20 题) 解: (Ⅰ )由已知, an ? aq n ?1 ,因此 S1 ? a , S3 ? a(1 ? q ? q2 ) , S4 ? a(1 ? q ? q 2 ? q3 ) . 当 S1 、 S 3 、 S4 成等差数列时, S1 ? S4 ? 2S3 ,可得 aq3 ? aq ? aq2 .
-6-

1? 5 . 2 (Ⅱ )若 q ? 1 ,则 {an } 的每项 an ? a ,此时 am ? k 、 an ? k 、 al ? k 显然成等差数列.

化简得 q2 ? q ? 1 ? 0 .解得 q ?

若 q ? 1 , 由 Sm 、 Sn 、 S l 成 等 差 数 列 可 得 Sm ? S? l 2
a( q ? 1 ) ? q ?1
m

即 S, n

a ( ? q ? q ? 1
l

1 ) a? 2q ( . ?q 1
n

1 )

整理得 qm ? ql ? 2qn .因此, am? k ? al ? k ? aqk ?1 (qm ? ql ) ? 2aqn? k ?1 ? 2an? k . 所以, am ? k 、 an ? k 、 al ? k 也成等差数列.

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