《优化探究》2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2-11_图文

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第十一节
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导数在函数研究中的应用

1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,

会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
极小值(其中多项式函数一般不超过三次).

2.了解函数

在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、

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一、利用导数研究函数的单调性

1.函数f(x)在某个区间(a,b)内的单调性与其导数的正负有如下关
系 (1)若 f′(x)>0 (2)若 f′(x)<0 ,则f(x)在这个区间上是增加的.

,则f(x)在这个区间上是减少的.

(3)若 f__′(x)=0 ,则f(x)在这个区间内是常数. 2.利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求 f ′(x) . (2)在定义域内解不等式 f ′(x)>0或f ′(x)<0 . (3)根据结果确定f(x)的单调区间.
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二、利用导数研究函数的极值 1.函数的极大值 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都 小于 x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0) _______ 为函数的极大值. 2.函数的极小值 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都 大于 x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0) _______ 为函数的极小值.极大值与极小值统称为 极值 ,极大值点与极小值 点统称为极值点. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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1.在某个区间(a,b)上,若f
增;若f

′(x)>0,则f(x)在这个区间上单调递
′(x)=0恒成立, ′(x)的符号不确定,则f(x)不是单 ′(x)≥0,且在(a,

′(x)<0,则f(x)在这个区间上单调递减;若f

则f(x)在这个区间上为常数函数;若f

调函数.
2.若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f 山 东 减,则f ′(x)≤0,且在(a,b)的任意子区间,等号不恒成立. 金 太 3.使f ′(x)=0的离散的点不影响函数的单调性. 阳 4.f′(x0)=0是x0为f(x)的极值点的非充分非必要条件.例如,f(x)= 书 业 x3,f′(0)=0,但x=0不是极值点;又如 f(x)=|x|,x=0是它的极小值点, 有 限 但f′(0)不存在. 公 司 b)的任意子区间,等号不恒成立;若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递
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1 1.函数 y=2x2-ln x 的单调递减区间为( A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1]

)

D.(0,+∞)

山 1 2 1 解析: 函数 y = 2 x - ln x 的定义域为 (0 ,+ ∞) , y′ = x - x = 东 金 太 ?x-1??x+1? 阳 ,令 y ′≤ 0 ,可得 0< x ≤ 1. x 书 业 答案:B 有 限 公 司
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2.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f ′(x)的图象可能是(

)

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解析:据函数的图象易知,x<0时恒有 f ′(x)<0. 答案:D
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′(x)>0,当x>0时,恒有 f

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3.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f

′(x)在(a,b)内的图

象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(

)

A .1 个 C.3个 解析:导函数f 答案:A

B.2个 D.4个 ′(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,

右侧图象在x轴上方的只有一个,故选A.

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4 .若函数 f(x) = x3 + ax2 + 3x - 9 在 x =- 3 时取得极值,则 a 等于 ( )

A.2
C.4 解析:f 答案:D

B.3
D.5 ′(x)=3x2+2ax+3,由题意知f ′(-3)=0,即3×(-3)2 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

+2×(-3)a+3=0,解得a=5.

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利用导数研究函数的单调性(师生共研)
例1 x-1 (2014 年高考山东卷)设函数 f(x)=aln x+ , 其中 a 为常数. x+1

(1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)的单调性.

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x-1 解析 (1)由题意知 a=0 时,f(x)= ,x∈(0,+∞), x+1 2 此时 f ′(x)= . ?x+1?2 1 可得 f ′(1)=2,又 f(1)=0, 所以曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 x-2y-1=0.
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(2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). f ax2+?2a+2?x+a a 2 ′(x)=x+ = . ?x+1?2 x?x+1?2

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当 a≥0 时,f ′(x)>0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当 a<0 时,令 g(x)=ax2+(2a+2)x+a, 由于 Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1). 1 ①当 a=-2时,Δ=0, 1 -2?x-1?2 ′(x)= ≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减. x?x+1?2

f

1 ②当 a<-2时,Δ<0,g(x)<0, f ′(x)<0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减.
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1 ③当-2<a<0 时,Δ>0, 设 x1,x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个零点, -?a+1?+ 2a+1 -?a+1?- 2a+1 则 x1= ,x2= . a a a+1- 2a+1 a2+2a+1- 2a+1 由于 x1= = >0, -a -a 所以 x∈(0,x1)时,g(x)<0,f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减, x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增, x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减.

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综上可得: 当 a≥0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; 1 当 a≤-2时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减;
? 1 -?a+1?+ 2a+1? ?, 当-2<a<0 时,f(x)在?0, a ? ? ?-?a+1?- 2a+1 ? ? ,+∞?上单调递减, a ? ? ?-?a+1?+ 2a+1 -?a+1?- 2a+1? ?上单调递增. 在? , a a ? ?

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规律方法

(1) 当f(x) 不含参数时,可以通过解不等式 f

′(x)>0(或 f

′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间.
(2)导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤: ①求f ′(x).

②确认f ′(x)在(a,b)内的符号.
③得出结论:f ′(x)>0时为增函数;f ′(x)<0时为减函数.

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1.(2014年高考全国大纲卷)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.

解析:(1)f ′(x)=3ax2+6x+3,f ′(x)=0的判别式Δ=36(1-a).
①若a≥1,则Δ≤0,因此f ′(x)≥0,且f ′(x)=0当且仅当a=1,x= -1.故此时f(x)在R上是增函数.

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②由于 a≠0,故当 a<1 时,f ′(x)=0 有两个根 -1+ 1-a -1- 1-a x1= ,x2= . a a 若 0<a<1,则当 x∈(-∞,x2)或 x∈(x1,+∞)时,f ′(x)>0, 故 f(x)分别在(-∞,x2),(x1,+∞)是增函数;

山 东 若 a<0,则当 x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时,f ′(x)<0,故 f(x)分 金 太 别在(-∞,x1),(x2,+∞)是减函数; 阳 书 当 x∈(x1,x2)时,f ′(x)>0, 业 有 故 f(x)在(x1,x2)是增函数. 限 公 司
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当 x∈(x2,x1)时 f ′(x)<0,故 f(x)在(x2,x1)是减函数.

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(2)当 a>0,x>0 时,f ′(x)=3ax2+6x+3>0,故当 a>0 时,f(x) 在区间(1,2)是增函数. 当 a<0 时, f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当 f′(1)≥0 且 f′(2)≥0, 5 解得-4≤a<0. 5 ? 综上,a 的取值范围是 -4,0? ?∪(0,+∞). ?
? ? ? ?

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已知函数的单调性求参数的取值范围(高频研析) 考情分析 利用导数根据函数的单调性 (区间) 求参数的取值范围, 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

是高考考查函数单调性的一个重要考向,常与函数、不等式、最值等
知识综合以解答题的形式出现,考查根据函数在某区间上单调递增(减) 或存在单调区间或为单调函数求参数的取值范围等问题.

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角度一 已知函数在某区间上的单调递增(减),求参数的取值范围 1 1.若 f(x)=-2x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值 范围是( ) B.(-1,+∞) D.(-∞,-1)

A.[-1,+∞) C.(-∞,-1]

山 东 b 解析:f ′(x)=-x+ ≤0 在(-1,+∞)上恒成立,即 b≤x(x 金 x+2 太 +2)在(-1,+∞)上恒成立.又 x(x+2)=(x+1)2-1>-1,∴b≤-1, 阳 书 业 故选 C. 有 限 答案:C 公 司
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角度二 已知函数 f(x)存在单调递增(减)区间,求参数的取值范围 1 3 a 2 2.设函数 f(x)=3x -2x +bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切 线方程为 y=1.

山 东 (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间; 金 (3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减 太 阳 书 区间,求实数 a 的取值范围. 业 有 限 公 司
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(1)求 b,c 的值;

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解析:(1)f ′(x)=x2-ax+b,
?f?0?=1, ?c=1, 由题意得? 即? ?f ′?0?=0, ?b=0.

(2)由(1),得 f ′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0),

山 当 x∈(0,a)时,f ′(x)<0; 东 金 当 x∈(a,+∞)时,f ′(x)>0. 太 阳 所以函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,0],[a,+∞),单调递减区 书 业 间为[0,a]. 有 限 公 司
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当 x∈(-∞,0)时,f ′(x)>0;

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(3)g ′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在 x∈(-2,-1),使不等式 g ′(x)=x2-ax+2<0 成 立. 2 当 x∈(-2,-1)时,a<x+x≤-2 2, 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-2 2).

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角度三 已知函数 f(x)在某区间上单调,求参数的取值范围 ex 1 3.(2015 年福州模拟)已知函数 f(x)= 2 -ex-ax(a∈R). 3 (1)当 a=2时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数 a 的取值范围.

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3 ex 1 3 解析:(1)当 a=2时,f(x)= 2 -ex-2x, f 1 1 ′(x)=2ex[(ex)2-3ex+2]=2ex(ex-1)(ex-2),

令 f ′(x)=0,得 ex=1 或 ex=2,即 x=0 或 x=ln 2.

山 令 f ′(x)>0,得 x<0 或 x>ln 2; 东 金 令 f ′(x)<0,则 0<x<ln 2. 太 阳 ∴f(x)在(-∞,0],[ln 2,+∞)上单调递增,在(0,ln 2)上单调递减. 书 业 有 限 公 司
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ex 1 (2)f ′(x)= 2 +ex-a, 令 ex=t,由于 x∈[-1,1], 1 ? ∴t∈ e,e? ?. ?
? ?? t 1? ? ?1 ? 令 h(t)=2+ t ?t∈?e,e? ??, ? ? ?? ? ? ? ?

h

2 1 1 t -2 ′(t)=2-t2= 2t2 ,
? ? ? ?

? 1 ∴当 t∈ e , 2? ?时,h′(t)<0,函数 h(t)为单调减函数; ?

当 t∈( 2,e]时,h′(t)>0,函数 h(t)为单调增函数. 1 ? 故 h(t)在 e ,e? ?上的极小值点为 t= 2. ?
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? ? ? ?

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? e 1 ? 1 ?1? 又 h(e)=2+e<h?e?=2e+e, ? ?

1 ∴ 2≤h(t)≤e+2e. ∵函数 f(x)在[-1,1]上为单调函数,若函数在[-1,1]上单调递增,则
?1 ? t 1 ? a≤2+ t 对 t∈?e,e? ?恒成立,所以 a≤ 2;若函数 f(x)在[-1,1]上单调递 山 ? ? 东 ?1 ? 金 t 1 1 ? ? 减,则 a≥2+ t 对 t∈?e,e?恒成立,所以 a≥e+2e, 太 ? ? 阳 书 1 综上可得 a≤ 2或 a≥e+2e. 业 有 限 公 司

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规律方法 已知函数单调性,求参数范围的两个方法: (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a, b)是相应单调区间的子集. (2) 转 化 为 不 等 式 的 恒 成 立 问 题 : 即 “ 若 函 数 单 调 递 增 , 则 f ′(x)≥0;若函数单调递减,则f ′(x)≤0”来求解. 提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a,b)都有f 且在(a,b)内的任一非空子区间上f 能省略,否则漏解. ′(x)≥0 ′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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利用导数研究函数的极值(师生共研)
x a 3 例 2 (2014 年高考重庆卷)已知函数 f(x)=4+x-ln x-2,其中 a∈ 1 R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=2x. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间和极值.

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解析

1 a 1 (1)对 f(x)求导得 f ′(x)=4-x2-x,由 f(x)在点(1,f(1))处的

1 3 5 切线垂直于直线 y=2x 知 f ′(1)=-4-a=-2,解得 a=4. x2-4x-5 x 5 3 (2)由(1)知 f(x)=4+4x-ln x-2, 则 f ′(x)= 4x2 , 令 f ′(x) =0,解得 x=-1 或 x=5.因 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍

山 东 去. 金 当 x∈(0,5)时,f ′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数;当 x∈(5,+ 太 阳 ∞)时,f ′(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)内为增函数.由此知函数 f(x)在 x 书 业 有 =5 时取得极小值 f(5)=-ln 5. 限 公 司
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规律方法 求函数f(x)极值的步骤:
(1)确定函数的定义域. (2)求导数f ′(x).

(3)解方程f ′(x)=0,求出函数定义域内的所有根.
(4) 列表检验 f ′(x) 在 f ′(x) = 0 的根 x0 左右两侧值的符号,如果左 正右负,那么f(x)在x0处取极大值;如果左负右正,那么f(x)在x0处取极

小值.

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ex 2.已知函数 f(x)= x . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)=xf(x)-ax+1,若 g(x)在(0,+∞)上存在极值点,求实数 a 的取值范围.

ex?x-1? ex 解析:(1)f(x)= x ,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),∴f ′(x)= x2 . 当 f ′(x)=0 时,x=1. f ′(x)与 f(x)随 x 的变化情况如下表:

故f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(-∞,0)和(0,1).
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(2)g(x)=ex-ax+1,x∈(0,+∞),∴g ′(x)=ex-a, ①当a≤1时,g ′(x)=ex-a>0,即g(x)在(0,+∞)上递增,此时g(x) 在(0,+∞)上无极值点. ②当a>1时,令g ′(x)=ex-a=0,得x=ln a; 令g ′(x)=ex-a>0,得x∈(ln a,+∞); 山 东 故g(x)在(0,ln a)上递减,在(ln a,+∞)上递增,∴g(x)在(0,+∞) 金 太 阳 有极小值无极大值,且极小值点为ln a. 书 故a的取值范围是a>1. 业 有 限 公 司 令g ′(x)=ex-a<0,得x∈(0,ln a).
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