辽宁省沈阳二中2014-2015高二上学期期末考试数学(理)试题汇编

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沈阳二中 2014-2015 学年度上学期期末考试

高二(16 届)理科数学试题

第Ⅰ卷(60 分)
一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的)
1.已知命题 p : ?x ? R ,| x | ? 0 ,那么命题 ?p 为( )

A. ?x ? R, x ? 0

B. ?x ? R, x ? 0

C. ?x ? R, x ? 0
2. 已知 a ? b ,则下列不等关系正确的是(

D. ?x ? R, x ? 0


A. a2 ? b2

B. ac2 ? bc2

C. 2a ? 2b

D. log2 a ? log2 b

3.

设直线: l : y =

kx + m(m ?

0) ,双曲线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

0, b

?

0) ,则“ k

=

-

b ”是“直线 l 与双曲 a

线 C 恰有一个公共点“的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分条件

D.既不充分也不必要条件

4. 有下列四个命题:

uuur uuur uuur uuur r

(1)已知 A,B,C,D 是空间任意四点,则 AB ? BC ? CD ? DA ? 0 ;

uuur uuur uuur uuur r uuur uuur (2)若两个非零向量 AB与CD 满足 AB+CD=0 ,则 AB ‖ CD ;

(3)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是 共面向量; uuur uuur uuur uuur
(4)对于空间的任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若 OP ? xOA ? yOB ? zOC

(x, y, z ? R) ,则 P,A,B,C 四点共面。

其中正确命题的个数是( )

A.3

B.2

C.1

D.0

?2x ? y ? 2

5.设变量

x,y

满足约束条件

?? ? ?

x x

? ?

2y 0

?

2

,则目标函数

z

?

?2x

?

y

的最大值是(



?? y ? 0

A.4

B.2

C.1

D. ? 2

3

uuur r uuur r uuur r

uuuur uuur

uuuur

6. 空间四边形 OABC 中,OA ? a , OB ? b , OC ? c ,点 M 在 OA 上,且 OM ? 2OA ,N 为 BC 中点,则 MN =

()

A.

1

r a

-

2

r b

?

1

r c

23 2

C.

1

r a

?

1

r b

-

2

r c

2 23

B.

?

2

r a

?

1

r b

?

1

r c

322

D.

2

r a

?

2

r b

-

1

r c

3 32

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7.已知数列

{an

}

是等比数列,其前

n

项和为

Sn

,若

S6 S3

? 9,则 S12 S6

?(



A.9

B.18

C.64

D.65

8.已知双曲线 x2 ? y2 ? 1的右焦点与抛物线 y2 ? ax 的焦点重合,则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长 45
度为( )

A.4

B.5

C. 5

D. 5

2

2

9.定义

p1

?

n p2 ? ... ?

pn

为n

个正数

p1,

p2 , ...,

pn

的“均倒数”.若已知正数数列 {an} 的前 n

项的“均倒

数”为

1 2n ?

1

,又

bn

?

an ?1 ,则 4

1 b1b2

?

1 b2b3

? ... ?

1 b10b11

?

(

)

A. 1 11

B. 1 12

C. 10 11

D. 11 12

10.已知 P 是抛物线 y 2 ? 4x 上的一个动点, Q 是圆 ? x ? 3?2 ? ? y ?1?2 ? 1上的一个动点, N (1,0) 是一个定点,

则 PQ ? PN 的最小值为( )

A.3

B.4

C.5

D. 2 ?1

11.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 1,棱 BB1 所在直线上的动点 M 满足 BM ? ? BB1 ,AM 与侧面 BB1C1C

所成的角为?

,若

?

?

? ?

?

2 2

,

2

? ?

,则?

的取值范围是(

?

)

A.

?? ??12

,

? 6

? ??

B.

?? ?? 6

,

? 4

? ??

C.

?? ?? 4

,

? 3

? ??

D.

?? ?? 3

,

5? 12

? ??

12.已知双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

0, b

?

0), M , N

是双曲线上关于原点对称的两点,P

是双曲线上的动点,直线

PM,PN 的斜率分别为 k1, k2 (k1 ? k2 ? 0) ,若 k1 ? k2 的最小值为 1,则双曲线的离心率为( )

A. 2

B. 5 2

C. 3 2

D. 3 2

第Ⅱ卷(90 分)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上)

r

r

rr

13. 若 a ? (1,1, 0), b ? (?1, 0, 2),则与a ? b 同方向的单位向量是________________

14.

已知数列1,

a1

,

a2

,

9

是等差数列,数列

1,

b1

,

b2

,

b3

,

9

是等比数列,则

a1

b2 ?

a2

的值为

_______ .

15. 平行六面体 ABCD—A1B1C1D1中,以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 2,且两两夹角为 60°,则 DB1 和 C1A1 所

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学习-----好资料 成角大小为____________.
16. 若 x ? 0, y ? 0 ,且 1 ? 3 ? 2 ,则 6x ? 5y 的最小值为___________. 2x ? y x ? y
三、解答题(共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17 、( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 命 题 p : 方 程 x2 ? mx ?1 ? 0 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ; q : 不 等 式
4x2 ? 4(m ? 2)x ?1 ? 0 的解集为 R;若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 17, S10 ? 100 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
(Ⅱ)若数列?bn? 满足 bn ? an cos(n? ) ? 2n (n ? N *) ,求数列?bn? 的前 n 项和.

19.(本小题满分 12 分)设双曲线

y2 a2

?

x2 3

? 1(a

? 0) 的两个焦点分别为 F1, F2 ,离心率为 2.

(Ⅰ)求此双曲线的渐近线 l1,l2 的方程; (Ⅱ)若 A,B 分别为 l1,l2 上的点,且 2|AB|=5|F1F2|,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么 曲线。

20.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥
底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC= 1 AD=1,CD= 3 . 2
(Ⅰ)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:PA // 平面 BMQ;
(Ⅱ)求证:若二面角 M-BQ-C 为 30°,试求 PM 的值。 PC
P

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D Q A

M
C B

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21.(本小题满分

12

分)椭圆

C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的长轴是短轴的两倍,点 P(

3, 1) 在椭圆上.不过 2

原点的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,设直线 OA、l、OB 的斜率分别为 k1 、 k 、 k2 ,且 k1 、 k 、 k2 恰好

构成等比数列,记△ ABO 的面积为 S. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程.

(Ⅱ)试判断 OA 2 ? OB 2 是否为定值?

若是,求出这个值;若不是,请说明理由? (Ⅲ)求 S 的范围.

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡 上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直

?

角坐标系,直线

l

的参数方程是:

?? ?

x

?

m

?

2t 2

( t 是参数).

? ??

y

?

2t 2

(Ⅰ) 若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 | AB |? 14 ,试求实数 m 值.

(Ⅱ) 设 M ?x , y? 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设不等式 x ? 2 ? 3 ? x ? a(a ? N *) 的解集为 A,且 2 ? A, 3 ? A 2
(Ⅰ)求 a 的值;
(Ⅱ)求函数 f (x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值。
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沈阳二中 2014-2015 学年度上学期期末考试

高二(16 届)理科数学试题答案

一.选择题:1-5CCABC 6-12BDBCA BB

二.填空题:13. (0, 5 , 2 5 ) 55

14. 3 10

15. arccos 6 16. 13 ? 4 3

6

2

三.解答题: 17、 解:因为方程 x 2 + mx + 1=0 有两个不相等的实根,
所以Δ1=m 2 – 4>0, ∴m>2 或 m < – 2 又因为不等式 4x 2 +4(m – 2)x + 1>0 的解集为 R, 所以Δ2=16(m – 2) 2– 16<0, ∴1< m <3 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p 与 q 为一真一假,

…………3 分
…………6 分 …………8 分

(1)当

p

为真

q

为假时,

?m ??m

? ?

2或m ? ?2 1或m ? 3

?

m

?

?2或m

?

3

…………10



(2)当

p

为假

q

为真时,

?? 2 ??1 ?

? m

m ?

? 3

2

?

1

?

m

?

2

综上所述得:m 的取值范围是 m ? ?2或m ? 3 或1 ? m ? 2 …………12 分

18.

(I)设

an

首项为

a1,公差为

d,则

??a1 +d=17 ?10(2a1 +9d)

?? 2

解得 a1=19,d=-2 ? 100

∴an=19+(n-1)×(-2)=21-2n…………(4 分) (II)∵bn=ancos(nπ)+2n=(-1)nan+2n 当 n 为偶数时,Tn=b1+b2++bn=(-a1+2)+(a2+22)+(-a3+23)+…+(an+2n) =(-2)× n ? 2(1? 2n ) ? 2n?1 ? n ? 2 …………(7 分)
2 1?2

当 n 为奇数时,Tn=b1+b2++bn=(-a1+2)+(a2+22)+(-a3+23)+…+(-an+2n)

=-a1+(a2-a3)+…+(an-1-an)+ 2(1? 2n ) =-19+2× n ?1 +2n+1-2=2n+1+n-22 …………………(10 分)

1? 2

2

∴Tn=

??2n ???2n

?1 ?1

? ?

n n

? ?

2(当n为偶数) ………………(12 2(2 当n为奇数)

分)

19. 解:(Ⅰ) ∵e=2,∴c2=4a2,∵c2=a2+3,∴a=1,c=2,

∴双曲线方程为 y2 ? x2 ? 1,渐近线方程为 y=± 3 x;…………(4 分)

3

3

(Ⅱ)设 A(x1, y1),B(x2, y2),AB 的中点 M(x,y)



2

|

AB

|?

5

|

F1F2

|

∴|

AB

|?

5 2

|

F1F2

|

=10

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学习-----好资料 ∴ (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 =10…………(6 分)

又∵y1= 3 x1,y2= ? 3 x2,2x=x1+x2,

3

3

2y=y1+y2 ∴y1+y2= 3 (x1-x2),y1-y2= 3 (x1+ x2)

3

3



[

3 3

(

x1

?

x2

)]2

?[

3( y1 ? y2 )]2 =10

∴3(2y)2+ 1 (2x)2=100∴ x2 ? 3y2 ? 1,即为 M 的轨迹方程。 …………(10 分)

3

75 25

则 M 的轨迹是中心在原点,焦点在 x 轴上长轴长为10 3 ,短轴长为 10 3 的椭圆。……(12 分) 3
20. 解:证明:(Ⅰ)连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN ∵BC∥AD 且 BC= 1 AD,即 BC // AQ. 2
∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, 又∵点 M 是棱 PC 的中点,∴ MN // PA MN ? 平面 MQB,PA ?
平面 MQB, ∴ PA // 平面 MBQ ……………………………… 4 分 (Ⅱ) ∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,
∴PQ⊥平面 ABCD ∵AD // BC,BC= 1 AD,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ 2
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. ……………………………… 6 分 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.
z

P M
D

Q

C

N

A

x

B

y

r

则平面 BQC 的法向量为 n ? (0, 0,1) ; Q(0, 0, 0) , P(0, 0, 3) , B(0, 3, 0) , C(?1, 3, 0)

uuur

uuur

uuuur uuur

则 PC ? (?1, 3, ? 3) , QP ? (0, 0, 3) 设 PM ? t PC, (0 ? t ? 1) ,

uuur

uuuur uuur uuur

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3, 0) , QM ? QP ? t PC ? (?t, 3t, 3 ? 3t) , ………………8 分

ur ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3 ? 3t, 0, t) ………………10 分

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学习-----好资料 ∵二面角 M-BQ-C 为 30°,

r ur

cos 30?

?

|

n?m r ur

|

?

nm

(

3?

|t|

?

3t)2 ? 0 ? t2

3 ,∴ 2

t1

?

3 4

, t2

?

3 2

(舍)

∴ PM = 3 ………………12 分 PC 4

21.

(1)由题意可知 a ? 2b 且 3 a2

1 ? 4b2

?1 ? b2

?1,

所以椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1……………………………… 3 分 4

(2)设直线

l

的方程为

y

?

kx

?

m

(m≠0),

A( x1 ,

y1)、B(x2 ,

y2 )



? y ? kx ?

? ?

x

2

?

4

y2

m ?

4

?

(1? 4k 2 )x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0

? ??

x1

?

x2

?

?8km 1? 4k 2

?

? ??

x1

?

x2

?

4m2 ? 4 1? 4k 2

……………………………… 4 分

Q k1、k、k2 恰好构成等比数列.

?k2

?

k1k2

?

y1 y2 x1x2

= (kx1

? m)(kx2 x1x2

? m)

? ? 即 k 2 ? k 2 ? ?8k 2m2

m2 ?

1? 4k 2

4m2 ? 4 4m2 ? 4

? ?4k 2m2 ? m2 ? 0

?k2 ? 1 ? k ? ? 1

4

2

……………………………… 6 分

此时且 ? ? 16(1? 4k 2 ? m2 ) ? 0 ? ? 16(2 ? m2 ) ? 0

得 0<m2<2,且 m2≠1(否则:x1x2=0,则 x1,x2 中至少有一个为 0,直线 OM、ON 中至少有一个斜率不存在, 矛盾!)………………… 7 分

?

? ? ?

x1 x1

? x2 ? ?2m ? x2 ? 2m2 ?

2

? ? OA 2

?

OB

2

?

x12

?

y12

?

x22

?

y22 =

3 4

x12 ? x22

?2

=

3 4

???

x1

?

x2

?2

?

2 x1 x2

? ?

?

2

?

5

所以 OA 2 ? OB 2 是定值为 5.

………………………… 8 分

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(3) S ? 1 AB ? d ? 1

2

2

1? k 2 x1 ? x2 ?

m 1? k2

? ? = 1 2

? x1 ? x2 ?2

? 4x1x2

m

=1 2

4m2 ? 8m2 ? 8

m

= ?(m2 ?1)2 ?1 (0<m2<2,且 m2≠1) ……………………………… 10 分

? S? (0,1)

……………………………… 12 分

22. 解法一: (I)曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程为:

x 2 ? y 2 ? 4x ? 0 直线 l 的直角坐标方程为: y ? x ? m

?圆心到直线 l 的距离 d ? 22 ? ( 14 )2 ? 2 ,

2

2

?|2?0?m| ? 2

2

2

?m ?1或m ? 3

?| m ? 2 |? 1

?

解法二:把

?? ?

x

?

2t?m

2

( t 是参数)代入方程 x 2 ? y 2 ? 4x ? 0 ,

? ??

y

?

2t 2

得 t 2 ? 2(m ? 2)t ? m 2 ? 4m ? 0 ,

? t1 ? t2 ? ? 2(m ? 2), t1t2 ? m 2 ? 4m .

?

| AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2

? [? 2(m ? 2)]2 ? 4(m 2 ? 4m) ? 14.

?m ?1或m ? 3

(2)曲线 C 的方程可化为(x ? 2)2 ? y2 ? 4 ,其参数方程为

?x ? 2 ? 2 cos?

? ?

y

?

2

sin

?

(? 为参数)

Q M ? x , y? 为曲线 C 上任意一点, x ? y ? 2 ? 2 2 sin(? ? ? )
4

? x ? y 的取值范围是[2 ? 2 2, 2 ? 2 2]

23.(1)由已知可得

?a ??a

? ?

1 2

,所以1

?

a

?

2

,因为

a

?

N

?

,所以

a=2………………4



(2)因为 x ? 2 ? x ? 2 ? (x ? 2) ? (x ? 2) ? 4
所以 f(x)的最小值是 4. ………………………10 分 更多精品文档

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