2.1.1平面_图文

空间点、直线、平面的位置关系

1.构成此长方体的基本元素是什么?

2,观察长方体,你能发现长方体的顶点, 棱所在的直线,以及侧面、底面之间的位置关 系吗? D ?
C?
A?

B?

点、线、面

D

C
A B

2.1 空间点、直线、平面 之间的位置关系
2.1.1 平面

实例引入
观察活动室里的地面,它呈现出 怎样的形象?

观察平静的海面,它又呈现出怎样 的形象?

1、平面的概念
地面 墙面 平静的水面 平面的形象

平面没有大小、厚薄和宽窄, 平面 在空间是无限延伸的.

平面的表示方法
D A

C
B

?

?

2.记法:
①平面α、平面β、平面γ ②平面ABCD ③平面AC 或平面BD
返回.

练习1:
判断下列各题的说法正确与否,在正确的说 法的题号后打 ,否则打 : 1、一个平面长4米,宽2米; ( )

2、平面上一条直线可以把这个平面分成两部 分 ( ) 3、10个平面叠在一起要比一个平面厚 4、菱形的面积是 4 cm 2; 5、一个平面可以把空间分成两部分. ( ( ( ) ) )

2、平面的画法
通常把水平的平面画成锐角为450,横边长等于其邻 边长2倍的平行四边形.

两相交平面的画法

如果一个平面被另一个平面挡住,则这遮挡的部分用 β 虚线画出来.
⑴先画两平面基本线 ⑵画两平面的交线 ⑶分别推三条线的平行线 α
返回

⑷把被遮部分的线段画成虚线或不画。其它为实线。

D A E

F

C B

二、点、线、面的基本位置关系
(1)符号表示: (2)集合关系:
图形语言

点A、 a、 ? 线 面

点—元素

直线和平面—集合

A A ? a、 ? ?、 ? ? a
文字语言(读法) 点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 直线

符号语言

A
A

a
a

A? a
A? a

? A
?
A

A
b a

A ??

A ?? a?b ? A

a、 交于点 b

图形

符号语言

文字语言(读法)
直线 a 在平面? 内 直线 a与平面 ? 无公共点

?
?

a
a

a ??
a?? ? ?

?

a

A

a?? ? A 直线与 a平面 ? 交于点 A
?? ? ? l
平面 ? 与? 相交于直线 l
返回

平面几何中的“∥”“⊥”“∥”在空间中 仍适用

典型例题
例1 如图,用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的位置关系. l ? a ?

?

B

A (1)

a

l b P (2)

?

解:在(1)中, ? ?? ? l, a?? ? A, a ?? ? B. 在(2)中, ? ?? ? l, a ? ? , b ? ? , a ?l ? P, b?l ? P.
43页的练习

练习1.将下列符号语言转化为图形语言: (1)A ? ? , B ? ? , A ? l , B ? l (2)a ? ? ,

b ? ? , ? ?? ? c , a // c , b?c ? p

画图的顺序:先画大件(平面), 再画小件(点、线)

5.平面的基本性质:

探究1:
如果直线 l 与平面α有一个公共点P,直 线 l 是否在平面α内?

探究2:
如果直线 l 与平面α有两个公点, 直线 l 是否在平面α内?

文字语言

平面公理
在生产、生活中, 人们经过长期观察与实 践,总结出关于平面的 一些基本性质,我们把 它作为公理.这些公理 是进一步推理的基础. 不必证明,而直接 承认的真命题

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内. 图形语言
l A

?

B

符号语言

A?l ? ? B ?l ? ??l ?? A ?? ? B ?? ? ?

实际生活中的应用

泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆

公理1的应用
例1.如图所示,若 AB, BC 在平面?内,证明: (1) AC ? ?
A

?

(2) 三角形 ABC 的重心 G 在 平面 ? 内。

B

C

公理1的作用: (1)判定直线在面内 (2)判定点在面内

生活中经常看到用三角架支撑照相机.

测量员用三角架支撑测量用的平板仪.

文字语言

平面公理
· B α · A · C

公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

图形语言 符号语言

过A、B、C三点的平面又可记作“平面ABC”

作用:公理2即是确定一个平面的依据。

若考虑一些变化:
A b a C a

b

B

B

推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面。 符号表示 : A?L?有且只有一个平面?,使A ? ?、L??. 推论2:经过两条平行直线有且只有一个平面. 符号表示:a∥b?有且只有一个平面?,使a??、b?? a

A α
L

b
α a

α

b

p

推论3 :经过两条相交直线有且只有一个平面.

符号表示: a?b=P?有且只有一个平面?,使a??、b??

把三角板的一个角立在课桌面上,三角板 所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B? 为什么?

??

BB

文字语言

平面公理

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言

P ??,P ? ? ? ? ? ? ? l, 且P ?l
图形语言
?

?

l P

作用: ①判断两个平面相交的依据.

②判断点在直线上.

平面的基本性质
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内, 一一一那么这条直线在此平面内. 公理2:过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
返回

1、下列命题中,正确的命题是(
①有三个公共点的两个平面重合 ②梯形的四个顶点在同一个平面内 ③三条互相平行的直线必共面

)

④ 四条线段顺次首尾连接,构成平面图形

小结
1.平面的概念、特征; 2.平面的表示方法及平面的画法; 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言,图 形语言和符号语言之间关系的转换
王新敞
奎屯 新疆

4.三条公理

随堂练习
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,判断下列命题是否 正确,并说明理由:

①直线 AC1在平面 CC1B1B 内;错误
C

B A

D

C1 D1 A1

B1

随堂练习
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,判断下列命题是否 正确,并说明理由: O ②设正方形ABCD与 A1B1C1D1 的中心分别为O, 1, 则平面 AA1C1C与平面 BB1D1D 的交线为 OO1 ; 正确
C

B
O

D

A

C1 D1 O1 A1

B1

随堂练习
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,判断下列命题是否 正确,并说明理由: ③由点A,O,C可以确定一个平面; 错误
C

B
O

D

A

C1 D1 A1

B1

随堂练习
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1中,判断下列命题是否正 确,并说明理由: ④由 A, C1 , B1 确定的平面是 ADC1B1 ; 正确 ⑤由 A, C1 , B1 确定的平面与由 A, C1 , D 确定的平面 是同一个平面. 正确
C

B A

D

C1 D1 A1

B1


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