【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 简单的三角恒等变换课件 文_图文

第四章

三角函数、解三角形

§4.6 简单的三角恒等变换

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 思想与方法系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理

1.公式的常见变形 2α 2α 2sin 2 2cos 2 (1)1+cos α= ;1-cos α=



α α2 α α2 (2)1+sin α=(sin +cos ) ;1-sin α=(sin -cos ) . 2 2 2 2 1-cos α α sin α (3)tan 2= = sin α . 1+cos α 2.辅助角公式 asin x+bcos x= a +b sin(x+φ),其中 sin φ=
2 2

a b a2+b2 ,cos φ= a2+b2 .
答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=3sin x+4cos x的最大值是7.( × )
(2)设 α∈(π,2π),则 1-cos?π+α? α =sin 2.( × ) 2

(3)在非直角三角形中有:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.( √ )

5π 1 θ 15 (4)设 <θ<3π,且|cos θ|= ,那么 sin 的值为 .( × ) 2 5 2 5 (5)公式 asin x+bcos x= a +b sin(x+φ)中 φ 的取值与 a,b 的值无
2 2

关.( × )
答案

2

考点自测

6 1 α - 3 1.已知 cos α= ,α∈(π,2π),则 cos =________. 3 2
解析 α π ∵ ∈( ,π), 2 2
1+cos α =- 2 2 6 =- . 3 3

α ∴cos =- 2

1 2 3 4 5

解析答案

1 2sin235° -1 -2 2. 的值为________. cos 10° - 3sin 10°
解析 2sin 35° -1 原式= ? ? 1 3 ? 2? cos 10° - sin 10° ? ? 2 ?2 ?
2

-cos 70° 1 = 2sin 20°=-2.

1 2 3 4 5

解析答案

- 2 3. sin 15° - 3cos 15° =________.
解析 sin 15° - 3cos 15° =2sin(15° -60° )

=-2sin 45° =- 2.

1 2 3 4 5

解析答案

x 2sin 2-1 ?π? ? ? 8 4.若 f(x)=2tan x- ,则 f ? ?的值为______. x x ?12? sin 2cos 2 2 x 1-2sin 2 解析 ∵f(x)=2tan x+ 1 sin x 2
2

2cos x 2 4 =2tan x+ sin x =sin xcos x=sin 2x,
∴f
?π? ? ? ? ?= 12 ? ?

=8. π sin 6
1 2 3 4 5
解析答案

4

π 3 5.若锐角 α、β 满足(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4,则 α+β=________.

解析

由(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4,

tan α+tan β 可得 = 3,即 tan(α+β)= 3. 1-tan αtan β

π 又 α+β∈(0,π),∴α+β=3

1 2 3 4 5

解析答案

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题型分类 深度剖析

题型一

三角函数式的化简与求值
4 2

1 2cos x-2cos x+2 例 1 (1)化简: ?π ? ?π ?=________. ? ? ? 2? 2tan?4-x?sin ?4+x? ? ? ? ?

解析答案

tan 12° - 3 (2)计算: =________. 2 ?4cos 12° -2?sin 12°

思维升华

解析答案

π (1)cos 9· cos

1 ? ? 23π 2π ? ? - - · cos ? ?=________. 8 9 ? 9 ?

跟踪训练1

1 2 2 4 1 8 - sin π·cos π·cos π - sin π 2 9 9 9 8 9 = = π π sin sin 9 9 1
=-8.

π 2 4 解析 原式=cos 9· cos 9π·cos(-3π+9π) π 2 4 π -cos 9· cos 9π·cos 9π·sin 9 = π sin 9

解析答案

(2)已知

? π? ? ? cos?θ+4?= ? ?

? π? 10 ? ? 0, ?,则 2? 10 ,θ∈? ?

? π? 2? 解析 由题意可得,cos ?θ+4? ?= ? ? ? π? 4 ? ? cos?2θ+2?=-sin 2θ=-5,即 sin ? ?
? ? π ? θ + cos? ? ?= 4 ? ?

? π? ? ? sin?2θ-3?=________. 10 ? ? ? ? π? ? 1+cos?2θ+2? 1 ? ?

4- 3 3

2 4 2θ=5.



, 10

3 根据同角三角函数基本关系式可得 cos 2θ=5,
由两角差的正弦公式可得
? π? ? ? 2 θ - sin? =sin 3? ? ?

? ? π 10 ? 0 , 因为 >0,θ∈? ? ?, 2 10 ? ? ? π? π ? 所以 0<θ< ,2θ∈?0,2? ?, 4 ? ?

π π 4-3 3 2θcos 3-cos 2θsin 3= 10 .
解析答案

题型二

三角函数的求角问题

π 5 3 10 例 2 (1)已知锐角 α, β 满足 sin α= 5 , cos β= 10 , 则 α+β=________. 4 5 3 10 解析 由 sin α= 5 ,cos β= 10 且 α,β 为锐角, 2 5 10 可知 cos α= ,sin β= , 5 10
故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
2 5 3 10 5 10 2 = 5 × 10 - 5 × 10 = 2 , π 又 0<α+β<π,故 α+β= . 4
解析答案

(2)已知方程 x +3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为 tan α、tan β,且
2 ? π π? ? α、β∈?-2,2? ?,则 ? ?

α+β=________.

思维升华

解析答案

跟踪训练2
1 1 (1)若 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,则 2α-β=________. 2 7

解析答案

π 3 (2)在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan A· tan B,则 C=________.
解析 由已知可得 tan A+tan B= 3(tan A· tan B-1),

tan A+tan B ∴tan(A+B)= =- 3, 1-tan Atan B
2 π 又 0<A+B<π,∴A+B=3π,∴C=3.

解析答案

题型三

三角恒等变换的应用

例 3 已知函数 f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中

? π π? ? a∈R,θ∈?-2,2? ?. ? ?

π (1)当 a= 2,θ= 时,求 f(x)在区间[0,π] 上的最大值与最小值; 4 ? ? π? π? ? ? ? 解 f(x)=sin?x+4?+ 2cos?x+2? ? ? ? ? ? 2 = 2 (sin x+cos x)- 2sin x ?π ? 2 2 ? ? = 2 cos x- 2 sin x=sin?4-x?, ? ? ? 3π π? π ? ? - , 因为 x∈[0,π] ,从而4-x∈? 4 4?, ? ? 2 故 f(x)在[0,π] 上的最大值为 ,最小值为-1. 2

解析答案

(2)若 f

?π? ? ? ? ?=0,f(π)=1,求 ?2?

a,θ 的值.



? ?? ?π? ?f? ?=0, 由? ?2? ? ?f?π?=1,

? ?cos θ?1-2asin θ?=0, 得? 2 ? 2 a sin θ-sin θ-a=1, ?

?a=-1, ? ? π π? ? ? 由 θ∈?-2,2?知 cos θ≠0,解得? π ? ? ?θ=- . 6 ?

思维升华

解析答案

跟踪训练3
(1)(2014· 课标全国 Ⅱ) 函数 f(x) = sin(x + φ) - 2sin φcos x 的最大值为 1 ________. 解析 因为f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x

=sin xcos φ-cos xsin φ=sin(x-φ), -1≤sin(x-φ)≤1,所以f(x)的最大值为1.

解析答案

π π (2)函数 f(x)=sin(2x-4)-2 2sin2x 的最小正周期是________.
解析 2 2 ∵f(x)= sin 2x- cos 2x- 2(1-cos 2x) 2 2

2 2 π = 2 sin 2x+ 2 cos 2x- 2=sin(2x+4)- 2,
2π ∴T= 2 =π.

解析答案

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思想与方法系列

思想与方法系列

8.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用

典例

(14 分)(2015· 重庆)已知函数

?π ? ? - x f(x)=sin? ? ?sin 2 ? ?

x- 3cos2x.

(1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论
?π 2π? ? ? f(x)在?6, 3 ?上的单调性. ? ?

思维点拨

解析答案

温馨提醒

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思想方法 感悟提高

方法与技巧

1.三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的

联系,然后进行变换.
2.利用三角函数值求角要考虑角的范围.

3.与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已
知条件中的函数解析式整理为 f(x) = Asin(ωx+ φ) 的形式,然后借助三

角函数图象解决.

失误与防范

1.利用辅助角公式,asin x+bcos x转化时一定要严格对照和差公式,

防止弄错辅助角.
2.计算形如y=sin(ωx+φ), x∈[a,b]形式的函数最值时,不要将ωx

+φ的范围和x的范围混淆.

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练出高分

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1.若

?π ? 1 ? ? sin?6-α?=3,则 ? ?

7 ?2π ? -9 ? + 2 α cos? = ________. ? ? ?3 ?

解析

?π ? 1 ? ? ∵sin?6-α?=3, ? ?

?π ?π ?? ?π ? 1 1 ? ?? ? ? ? ∴sin?2-?3+α??=3,∴cos?3+α?=3, ? ?? ? ? ?

?2π ? ? ? 1 7 ? ? ? 2?π ∴cos? 3 +2α?=2cos ?3+α?-1=2× -1=- . 9 9 ? ? ? ?

解析答案

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1 ? ? π 2 ? α + 2.已知 sin 2α= ,则 cos2? 6 ? ?=________. 4 3 ? ? ? ? ? π? ? ? ?? 1 + cos ?2?α+ ?? ? ? 4?? π? ? ? 2? 解析 因为 cos ?α+4?= 2 ? ?
? π? ? ? 1+cos?2α+2? ? ?



2

1-sin 2α = , 2

2 1-3 ? ? 1 - sin 2 α π? 1 2? 所以 cos ?α+4?= = 2 =6. 2 ? ?
解析答案

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? π? ? ? cos?α+6?-sin ? ?

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3.若
解析

3 ? ? 5π 3 3 ? ? α= ,则 sin?α+ 6 ?=________. 5 5 ? ?
3 3 α= , 5

? π? ? ? α + ∵cos? ?-sin 6 ? ?

3 3 3 3 ∴ 2 cos α-2sin α= 5 ,
1 3 3 ∴ cos α- sin α= , 2 2 5
? 5π? ? ∴sin?α+ 6 ? ?=- ? ?

3 1 3 sin α+ cos α= . 2 2 5
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4.已知向量

? ? ? π? ? ? ? a=?sin?α+6?,1? b=(4,4cos ?, ? ? ? ?

α- 3),若 a⊥b,则

? 4π? ? sin?α+ 3 ? ? ? ?

=________.

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5.函数 f(x)=sin(2x+θ)+

? ?π ? π? ? ? ? ? 3cos(2x+θ)?|θ|<2?的图象关于点?6,0?对称, ? ? ? ?

则 f(x)的单调递增区间为__________________.

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π 6.已知 tan(4+θ)=3,则 sin 2θ-2cos2θ 的值为________.

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2 1 10 π π π - 10 7.若 tan α+tan α= 3 , α∈(4, 则 sin(2α+4)的值为________. 2),
1 10 sin α cos α 10 解析 由 tan α+ = 得 + = , tan α 3 cos α sin α 3 1 10 3 ∴sin αcos α= 3 ,∴sin 2α=5. π π π 4 ∵α∈( , ),∴2α∈( ,π),∴cos 2α=- . 4 2 2 5
π π π ∴sin(2α+ )=sin 2αcos +cos 2αsin 4 4 4

2 3 4 2 = ×( - )=- . 2 5 5 10
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1 1 8.若 α、β 是锐角,且 sin α-sin β=- ,cos α-cos β= ,则 tan(α-β) 2 2 =________.

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9. 已知函数

? π? ? ? f(x)=Asin?x+3?, x∈R, 且 ? ?

f

?5π? 3 2 ? ? . ? ?= 12 2 ? ?

(1)求A的值;
解 由
?5π? 3 2 ? ? f?12?= ,即 2 ? ? ?5π π? 3 2 ? ? Asin?12+3?= , 2 ? ?

3π 2A 3 2 可得 Asin 4 = 2 = 2 ,解得 A=3.

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(2)若 f(θ)-f(-θ)=
解 由

? π? ? 3,θ∈?0,2? ?,求 ? ?

?π ? ? f?6-θ? ? ? ?

的值.
θ= 3,

? ? π? π? ? ? ? f(θ)-f(-θ)=3sin?θ+3?-3sin?-θ+3? ?=3sin ? ? ? ?

3 解得 sin θ= 3 . ? π? ? ? 因为 θ∈?0,2?,所以 cos θ= ? ?
所以
?π ? ?π ? ? ? ? f?6-θ?=3sin?2-θ? ?=3cos ? ? ? ?

? ? 1-? ?

6 3? ?2 =3, 3? ?

6 θ=3× 3 = 6.

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10.已知函数

? ? π? π? ? ? ? 2 f(x)=sin?ωx+6?+sin?ωx-6? - 2cos ? ? ? ? ?

ωx , x ∈ R ( 其中 ω > 0). 2

(1)求函数f(x)的值域;

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π (2)若函数 f(x)的图象与直线 y=-1 的两个相邻交点间的距离为2,求函 数 f(x)的单调递增区间.

由题设条件及三角函数的图象和性质可知, 2π f(x)的周期为 π,所以 =π,即 ω=2. ω ? π? ? 所以 f(x)=2sin?2x-6? ?-1, ? ? π π π 再由 2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2(k∈Z), π π 解得 kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z). ? π π? ? ? 所以函数 f(x)的单调递增区间为?kπ-6,kπ+3?(k∈Z). 解
? ?
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1+sin β π π 11.设 α∈(0,2),β∈(0,2),且 tan α= cos β ,则 2α-β=________.

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?a 12. 定义运算 ? ? ?c

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?sin α ? b? sin β 1 3 3 ? ? ? , ? = ad - bc ,若 cos α = , ? ?= 7 ?cos α cos β? 14 d?

π 0<β<α< ,则 β=________. 2

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13.若 f(x)=3sin x-4cos x 的一条对称轴方程是 x=a,则 a 的取值范围可 以是下列中的____________(填序号).
? ?π ?π ?3π ? π? π? 3π? ? ? ? ? ? ? ? ①?0,4?;②?4,2?;③?2, 4 ?;④? 4 ,π? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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14.设

? π? ? x∈?0,2? ?,则函数 ? ?

2sin x+1 y= sin 2x 的最小值为______________.

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15.已知函数 f(x)=2cos2ωx-1+2 3cos ωxsin ωx(0<ω<1),直线 π x=3是 f(x)图象的一条对称轴.
(1)试求ω的值;

(2)已知函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来
? ? π? π? 2π 6 ? ? ? 的 2 倍, 然后再向左平移 3 个单位长度得到的, 若 g?2α+3?=5, α∈?0,2? ?, ? ? ? ?

求 sin α 的值.

解析答案

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