湖北省枣阳市第二中学2015-2016学年高一数学12月月考试题


枣阳二中高一年级 2015-2016 学年度上学期 12 月月考数学试题
本试卷两大题 22 个小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟 ★ 祝考试顺利 ★ 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1 的定义域为( ) x?3 1 A. (-∞ ,3)∪(3,+∞) B.[- ,3)∪(3,+∞) 2 1 1 C. (- ,3)∪(3,+∞) D.[- ,+∞) 2 2
1.函数 f(x)= 2 x ? 1 + 2.已知集合 A={1, 2, 3, 4}, B={x∈N |x|≤2 },则 A∩B 为. A、{1,2,3,4} B、{-2,-1,0,1,2,3,4} C、{1,2} D、{2,3,4}
2 3.若函数 f ( x) ? x ?

a (a ? R) ,则下列结论正确的是( x

)

A. ?a ? R , f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数 C. ?a ? R , f ( x ) 是偶函数 4 .设集合 A ? [0,1), B ? [1,2] ,函数 f ( x) ?

B. ?a ? R , f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数 D. ?a ? R , f ( x ) 是奇函数

?

2 x , ( x ? A), 4 ? 2 x, ( x ? B),

x0 ? A, 且 f [ f ( x0 )]? A,

则 x 0 的取值范围是 A.( log 2

3 2 3 ,1 ) B.( log3 2,1 ) C.( ,1 ) D.[0, ] 4 3 2

5..已知定义域为 R 的函数 y=f(x)在(1,+∞)上是增函数,且函数 y=f(x+1)是偶函数,那 么 ( ) A.f(O)<f(-1)<f(4) B.f(0)<f(4)<f(-1) C.f(4)<f(=1)<f(0) D.f(-1)<f(O)<f(4)

? x ? 1, ( x ? 0) ? 6.设 f ( x ) ? ?? , ( x ? 0) ,则 f { f [ f (?1)]} ? ( ?0, ( x ? 0) ?
A. ? ? 1 B.0 C. ?



D. ?1 )

1 2 7.若函数 f ( x ) ? sin x ? ( x ? R ) ,则 f ( x) 是( 2
A、最小正周期为

? 的奇函数 2

B、最小正周期为 ? 的奇函数

1

C、最小正周期为

? 的偶函数 2


D、最小正周期为 ? 的偶函数

8.设 log2 a ? log2 b ? 0 ,则( A. 0 ? b ? a ? 1 9.设函数 f

B. 0 ? a ? b ? 1

C. a ? b ? 1

D.b>a>1

? x ? 的定义域为 D,如果 ?x ? D,?y ? D ,使得 f ? x ?

? ?f

? y ? 成立,则
1 ; x ?1

称函数 f

“Ω 函数” 给出下列四个函数: ①y ? x? 为 )

x ②y ? 2 ; ③y ? ? sin x ;

④ f ( x ) ? ln x ,则其中“Ω 函数”共有( (A)1 个 (B)2 个

(C)3 个

(D)4 个 是其图象上的两点 ,那么不等式

10.已知函数 f ( x) 是 R 上的增函数,

A ? 0, ?3?




B ? 3,1?

?3 ? f ( x ? 1) ? 1 的解集的补集是(
A.

? ?1, 2?

B.

?1, 4?

C.

? ??, ?1? ? ?4, ?? ?

D.

? ??, ?1? ??2, ???

11.

12 . 设 f ? x ? 是 定 义 在 ? 上 恒 不 为 零 的 函 数 , 且 对 任 意 的 实 数 x, y ? ? , 都 有

f ? x? f? y ??

f ?

? x

? ,若 a1 ? , an ? f ? n ? ? n ? ? ? ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 的 ?y 2

1

取值范围是( ) A. ? , 2 ?

?1 ?2

? ?

B. ? , 2 ? 2

?1 ?

? ?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

2

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13.已知 a ?
1 2

4 (a ? 0) ,则 log 2 a = 9 3

14.若集合 A=

?x x≥3? ,B= ?x x ? m? 满足 A∪B=R,A∩B= ? ,则实数 m=



. .

?199 x ? 1 ? 15.已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? ? x ? 2cx
16.函数 f ( x) ?

? x ? 1? ,若 f ? ? f ? 0 ?? ? ? 8c ,则 c ? ? x ? 1?
?1

2x ? 1 的反函数是 f x

3 ( x), 则 f ?1 ( ) ? 2



三、解答题(70 分) 2 17. (10 分)已知集合 P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|x -3x≤10}. (1)若 a=3,求( CRP)∩Q; (2)若 P ? Q,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分)已知函数 f ( x ) ? (1)求函数的定义域;

x?3 ?

1 , x?2 2 3

(2)求 f ( ?3), f ( ) 的值;

19. (14 分) 对于定义域为 ?0,1? 的函数 f ( x ) , 如果同时满足以下三条: ①对任意的 x ??0,1? , 总有 f ( x) ? 0 ; ② f1 ③若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 , 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) ( 1? ; 成立,则称函数 f ( x ) 为理想函数. (1) 若函数 f ( x ) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2)判断函数 g ( x) ? 2 ? 1 ( x ? [0,1]) 是否为理想函数,并予以证明;
x

(3) 若函数 f ( x ) 为理想函数, 假定 ? x0 ??0,1? ,使得 f ( x0 ) ??0,1? ,且 f ( f ( x0 )) ? x0 , 求证: f ( x0 ) ? x0 . 20. (10 分)已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ?

1 2 x ? a ( a 为常数) ,直线 l 与函数 f ?x ?、g ?x ? 2

的图象都相切,且 l 与函数 f ?x ? 的图象的切点的横坐标为 1.

3

(1)求直线 l 的方程及 a 的值; (2)当 k>0 时,试讨论方程 f 1 ? x 2 ? g ?x ? ? k 的解的 个数. 21. (12 分)计算: 1)

?

?

2 log5 10 ? log5 0.25 ;

2)设 10m ? 2 , 10n ? 3 ,求 103m? n ? 3) log2 (4 ? 2 ) ? lg 4 100 ? log2 3 ? log3 4 。
7 5

22. (12 分)(1)解方程: log 3 x ? 3 ? 1 ? log 3 ( x ? )
2

?

?

5 3

(2)已知命题 ? : 2 ? x, 命题 ? : x ? m ? 1, 且命题 ? 是 ? 的必要条件,求实数 m 的取值范围

参考答案 选择: 1_5DCCAA 6_10ADBCD 11_12AD 填空: 13.4 14.3 15.1. 16. 2 。 计算: 17. (1){x|-2≤x<4}(2)(-∞,2] 试题分析:(1)因为 a=3,所以 P={x|4≤x≤7}, ?RP={x|x<4 或 x>7}. 2 又 Q={x|x -3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}, 所以(?RP)∩Q={x|x<4 或 x>7}∩{x|-2≤x≤5} ={x|-2≤x<4}.

(2)若 P≠?,由 P? Q, 解得 0≤a≤2; 当 P=?,即 2a+1<a+1 时,a<0,此时有 P=??Q,所以 a<0 为所求. 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,2]. 18. (1){x| x ? ?3且x ? ?2 } (2)

4

f (?3) ? ?1 2 8 33 ? 9 f( )? 3 24
思路分析: (1)要使解析式有意义必须满足 ? 域为 ?x | x ? ?3且x ? ?2?. (2) f ?? 3? ?

?x ? 3 ? 0 ,解得, x ? ?3且x ? ?2 ,故定义 ?x ? 2 ? 0

?3?3 ?

1 ?2? ? ?1. f ? ? ? ?3? 2 ?3?

2 1 8 33 ? 9 ?3? ? . 2 3 24 ?2 3

19. (1) f (0) ? 0 . (2) g ( x) 理想函数. 【解析】本题考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意挖掘题设的中的隐含条件,注意 性质的灵活运用. (1)取 x1=x2=0 可得 f(0)≥f(0)+f(0)? f(0)≤0,由此可求出 f(0)的值. (2)g(x)=2x-1 在[0,1]满足条件①g(x)≥0,也满足条件②g(1)=1.若 x1≥0,x2 ≥0,x1+x2≤1,满足条件③,收此知故 g(x)理想函数. (3) 由条件③知, 任给 m、 n∈[0, 1], 当 m<n 时, 由 m<n 知 n-m∈[0, 1], f (n) =f (n-m+m) ≥f(n-m)+ f(m)≥f(m) .由此能够推导出 f(x0)=x0

1 1 ? a ? ?1,? a ? ? . 2 2 1 1 ① (2) (1)当 0 ? k ? 时有两个解; (2)当 k ? 时有 3 个解; 2 2 ③ 1 ② (4) 当 k=ln2 时有 2 个解; (3)当 ? k ? ln 2 时有 4 个解 2 (5)当 k ? ln 2 时无解. ②
20 . (1) 比较①和②的系数得 ? 【 解 析 】(1) 先 根 据 f ?(1)? 1 , 可 表 示 出 切③ 点 (1,0) , 可 求 出 切 线 方 程 ,然 后 再 利 ② 用 此 切 线 方 程 与 y= g(x ) 也 相 切 可 建 立 关 于 a 的 方 程 , 求 出 a 值 .
2 2 ( 2 ) 解 本 小 题 的 关 键 是 由f 1 ? x ? g ? x ? ? k , 即 ln 1 ? x ?
2 然后设 y1 ? ln 1 ? x ?

?

?

?

?

1 2 1 x ? ?k 2 2

?

?

1 2 1 x ? , y2 ? k ,再利用导数研究 y1 的图像特征,作出草图,从 2 2

图上观察当直线 y2=k 与 y1 的不同交点个数时,k 的取值范围.

5

1 , f ' ?1? ? 1, 故 直 线 l的 斜 率 为 1, 切 点 为 ( 1,f ?1?) x ?, 即?1 , 0 ?l : y ? x ?1 f ' ?x ? ?
(1)

? 1 ? 又 ? g ' ?x ? ? x,? g ' ?1? ? 1, 切 点 为 ?1, +a ?. ? 2 ? 1 ?1 ? ? l : y ? ? ? a ? ? x ? 1,即y ? x ? ? a 2 ?2 ?

1 1 ? a ? ?1,? a ? ? . 2 2 1 2 1 2 2 (2)由f 1 ? x ? g ? x ? ? k , 即 ln 1 ? x ? x ? ? k 2 2
比较①和②的系数得 ?

?

?

?

?

设y1 ? ln 1 ? x 2 ?

1 2 1 x ? , y2 ? k 2 2 2x x?1 ? x ?? x ? 1? y '1 ? ?x? . 2 1? x 1? x2 令y '1 ? 1, 解得x ? 0,?1,1.

?

?

?? ?,?1?
+ ↗

-1 0 极大值 ln2

( - 1,0) - ↘

0 0 极小值

(0,1) + ↗

1 0 极大值 ln2

?1,???
- ↘

1 2
由函数 y 1 在 R 上各区间上的增减及极值情况,可得 (1)当 0 ? k ? (3)当

1 1 时有两个解; (2)当 k ? 时有 3 个解; 2 2

1 ? k ? ln 2 时有 4 个解 (4)当 k=ln2 时有 2 个解; 2 (5)当 k ? ln 2 时无解. 21. (1)2(2)24(3) 20.5
【 解 析 】 : 解 : ( 1 )

2log5 10 ? log5 0.25 ? log5 102 ? log5 0.25 ? log5 102 ? 0.25 ? log5 25 ? log5 52 ? 2
m 3 3m 3 m 3m? n ? 103m ?10n ? 8 ? 3 ? 24 (2)由 10 ? 2 得: (10 ) ? 10 ? 2 ? 8 ,所以 10



3
1



log2 (47 ? 25 ) ? lg 4 100 ? log 2 3 ? log3 4 ? (log 2 47 ? log 2 25 ) ? lg10 2 ? log 2 3 ? log3 22
1 1 ? (log 2 214 ? 5log 2 2) ? lg10 ? 2 log 2 3 ? log 3 2 ? (14 log 2 2 ? 5) ? ? 2 ? 20.5 2 2 22. (1) x ? 2 ; (2) m ? 3 .
试题分析: (1)解对数方程,一般把利用对数的运算法则把对数方程变形为
6

loga f ( x) ? loga g ( x) ,转化为代数方程 f ( x) ? g ( x) ,但解题过程中要注意对数函数的定
义域,即 f ( x) ? 0 , g ( x) ? 0 ; (2)这类问题的解决,首先要把两个命题化简,本题中命 题 ? 化为: m ? 1 ? x ? m ? 1 ,命题 ? 是命题 ? 的必要条件,说明由命题 ? 成立可推导出 命题 ? 也成立,若把命题 ? , ? 成立时的变量的集合分别记为 A, B ,从集合角度,即有

B ? A ,由此我们可得出关于 m 的不等关系,从而求出 m 的取值范围.
试题解析:(1)解:由原方程化简得 即: log 3 x ? 3 ? log 3 3( x ? )
2

5 log 3 ? x 2 ? 3? ? log 3 3 ? log 3 ( x ? ) , 3

?

?

5 3

所以, (2)解: 由于命题 是

,解得

.

的必要条件,所以

,所以

.

7


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