2005数学高考题分类汇编08 圆锥曲线试题

2005 年全国高考数学试题分类汇编——圆锥曲线
1. (2005 全国卷Ⅰ文第 6 题) 已知双曲线

x2 3 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 的一条准线为 x ? ,则该双曲线的离心率为( 2 2 a
(B)



(A)

3 2

3 2

(C)

6 2

(D)

2 3 3

2. (2005 全国卷Ⅰ理第 6 题) 已知双曲线 线的离心率为 (A)

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 的一条准线与抛物线 y 2 ? ?6x 的准线重合, 则该双曲 2 a

3 2

(B)

3 2

(C)

6 2

(D)

2 3 3

3. (2005 全国卷 II 文第 5 题) 抛物线 x 2 ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为( (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4.(2005 全国卷 II 文第 6 题) x2 y 2 双曲线 ? ? 1 的渐近线方程是( 4 9 2 4 (A) y ? ? x (B) y ? ? x 3 9

)

)
3 (C) y ? ? x 2 9 (D) y ? ? x 4

5. (2005 全国卷 II 理第 6 题) x2 y 2 已知双曲线 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 M 在双曲线上且 MF1 ? x 轴,则 F1 到直线 6 3 ) F2 M 的距离为( (A)
3 6 5

(B)

5 6 6

(C)

6 5

(D)

5 6

6. (2005 全国卷 III 理第 9 题,文第 9 题) 已知双曲线

x

2

y ?

2

2

???? ????? ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1 ? MF 2 ? 0, 则点 M

到 x 轴的距离为( (A)

) (B)

4 3

5 3

(C)

2 3 3

(D) 3

1

7. (2005 全国卷 III 理第 10 题,文第 10 题) 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 、F 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) (A)

2 2

(B)

2 ?1 2

(C) 2 ? 2

(D) 2 ? 1

8. (2005 辽宁卷第 11 题) 已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线重 合,则该双曲线与抛物线 y 2 ? 4 x 的交点到原点的距离是 ( ) A.2 3 + 6 B. 21 C. 18? 12 2 D.21

9.(2005 江苏卷第 6 题) 抛物线 y=4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是(

)

17 (A) 16

(B)

15 16

7 (C) 8

(D)0

10. (2005 江苏卷第 11 题) 点 P(-3,1)在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上.过点 P 且方向为 a=(2,-5)的光线,经 a 2 b2
) (D)

直线 y =-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( (A)

3 3

(B)

1 3

(C)

2 2

1 2

11. (2005 广东卷第 5 题) 若焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y 2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 m= 2 2 m
(C)

(

)

(A) 3

(B)

3 2

8 3

(D)

2 3

12. (2005 重庆卷理第 9 题,文第 9 题)

若动点(x,y)在曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 (b>0)上变化,则 x2?2y 的最大值为( 4 b
?b 2 ? (B) ? 4 ? 4 (0 ? b ? 2) ; ? 2b (b ? 2) ?

)

?b 2 ? (A) ? 4 ? 4 (0 ? b ? 4) ; ? 2b (b ? 4) ?

2

(C)

b2 ? 4; 4

(D) 2b。

13. (2005 重庆卷文第 16 题)

1? ? 1 ? ? 已知 A? ? ,0 ? ,B 是圆 F: ? x ? ? ? y 2 ? 4 (F 为圆心)上一动点,线段 AB 2? ? 2 ? ?
的垂直平分线交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为_____________。 14. (2005 重庆卷理第 16 题)
连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 ①菱形 ②有 3 条边相等的四边形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形 (填写所有正确选项的序号). ③梯形

2

15. (2005 北京卷文第 9 题)
抛物线 y2=4x 的准线方程是 16. (2005 天津卷理第 5 题,文第 6 题) ;焦点坐标是 .

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线 设双曲线以椭圆 25 9
的渐近线的斜率为 A. ? 2 B. ? ( )

4 3

C. ?

1 2

D. ?

3 4

17. (2006 天津卷理第 6 题)

x2 y2 从集合{1,2,3…,11}中任选两个元素作为椭圆方程 2 ? 2 ? 1 中的 m 和 n,则能组成 m n
落在矩形区域 B={(x,y)| |x|<11 且|y|<9}内的椭圆个数为( A.43 B. 72 C. 86 18.(2005 湖南卷理第 7 题,文第 8 题) 已知双曲线 ) D. 90

x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 A, a2 b
( D.90? )

a2 △OAF 的面积为 (O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为 2
A.30? B.45? C.60?

3

19. (2005 湖北卷理第 5 题,文第 6 题) 双曲线

x2 y2 ? ? 1(m n ? 0) 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合, m n
( B. )

则 mn 的值为 A.

3 16

3 8

C.

16 3

D.

8 3

20. (2005 福建卷文第 9 题) 已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是





1 A. 2

3 B. 2

7 C. 2

D.5

21.(2005 福建卷理第 10 题) 已知 F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角 a2 b2
( )

形 MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

22. (2005 福建卷理第 11 题) 设 a, b ? R, a ? 2b ? 6, 则a ? b 的最小值是
2 2





A. ? 2 2

B. ?

5 3 3

C.-3

D. ?

7 2

23. (2005 江西卷理第 16 题,文第 16 题) 以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? 点 P 的轨迹为椭圆;
2 ③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

??? ?

??? ?

??? ?

? ? 1 ??? ??? (OA ? OB ), 则动 2

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. ④双曲线 25 9 35
其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号)

4

24. (2005 浙江卷文第 9 题) 函数 y=ax2+1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=( (A)
1 8

)

(B)

1 4

(C)

1 2

(D)1

25. (2005 浙江卷理第 13 题,文第 13 题)

过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相 a 2 b2

交于 M、N 两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率 等于_________.
26. (2005 上海理第 5 题) 若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 ( 10,0) ,则双曲线的方程是 __________。 27. (2005 上海文第 7 题) 若椭圆长轴长与短轴长之比为 2,它的一个焦点是(2 15 ,0),则椭圆的标准方程是 _______________. 28. (2005 上海理第 15 题) 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等
2

于 5,则这样的直线( A.有且仅有一条

) B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

29. (2005 山东卷理第 12 题) 设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? ,若 l ? 与椭圆 x ?
2

y2 ? 1 的交点 4


为 A、B,点 P 为椭圆上的动点,则使 ?PAB 的面积为 (A)1 30. (2005 山东卷理第 14 题) (B)2

1 的点 P 的个数为( 2
(D)4

(C)3

x2 y 2 设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , 右准线 l 与两条渐近线交于 P、Q 两 a b
点,如果 ?PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率 e ? ___________ .

5

31. (2005 全国卷Ⅰ理第 21 题,文第 22 题)
已知椭圆的中心为坐标原点 O, 焦点在 x 轴上, 斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭 圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线. (1)求椭圆的离心率; (2)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB(?, ? ? R) ,证明 ? 2 ? ? 2 为定值.

??? ??? ? ?

?

???? ?

??? ?

??? ?

32. (2005 全国卷 II 理第 21 题,文第 22 题) ??? ? y2 已知 PF ? 1 上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点. P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆 x2 ? 2 ???? ? ???? ??? ? ??? ???? ? ? 与 FQ 共线, MF 与 FN 共线,且 PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值.

33.(2005 全国卷 III 理第 21 题,文第 22 题) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点在抛物线 y ? 2x 2 上, l 是 AB 的垂直平分线, (Ⅰ)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (文Ⅱ)当 x1 ? 1, x2 ? ?3 时,求直线 l 的方程. (理Ⅱ)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围。

34.(2005 辽宁卷第 21 题,满分 14 分)

x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c,0) 是 、F ,Q a b
椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并 且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ?

c x; a

(Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,
2 使△F1MF2 的面积 S= b . 若存在,求∠F1MF2

的正切值;若不存在,请说明理由.

6

35. (2005 广东卷第 17 题) 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x2 上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足

AO ? BO (如图4所示) . (Ⅰ)求 ?AOB 得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (Ⅱ) ?AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
y A B

x O

36. (2005 江西卷文第 21 题,满分 12 分) 如图,M 是抛物线上 y2=x 上的一点,动弦 ME、MF 分别交 x 轴 于 A、B 两点,且 MA=MB. (1)若 M 为定点,证明:直线 EF 的斜率为定值; (2)若 M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心 G 的轨迹

y
M B

O
E

A

x
F

37. (2005 江西卷理第 22 题,满分 14 分) 如图,设抛物线 C : y ? x 的焦点为 F,动点 P 在直线 过 PB, l : x ? y ? 2 ? 0 上运动, P 作抛物线 C 的两条切线 PA、 且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. (1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB.
2

y
F A B

l

x
O
P

38. (2005 重庆卷文第 21 题,满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,0) 。 (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且

OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。

7

39. (2005 重庆卷理第 21 题,满分 12 分) 已知椭圆 C1 的方程为
x2 ? y2 ? 1, 双曲线 C2 的左、 右焦点分别为 C1 的左、 4

右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。

40. (2005 浙江卷文第 19 题)
如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1 ,F2 在 x 轴上,长轴 A1A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点 为 M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若点 P 为 l 上的动点,求∠F1PF2 最大值.

41. (2005 浙江卷理第 17 题)
如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,长轴 A1A2 的长为 4,左准 线 l 与 x 轴的交点为 M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l1:x=m(|m|>1),P 为 l1 上的动点,使∠F1PF2 最大的点 P 记为 Q,求点 Q 的坐标(用 m 表示).

l1
P

l

y

x
M A1 F1

O F2

A2

42. (2005 天津卷理第 21 题,文第 22 题,满分 14 分)
抛物线 C 的方程为 y ? ax (a ? 0) ,过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为 k1,k2
2

的 两 条 直 线 分 别 交 抛 物 线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2) 两 点 (P,A,B 三 点 互 不 相 同 ) , 且 满 足

k 2 ? ?k1 ? 0(? ? 0且? ? ?1) .
(Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线 AB 上一点 M,满足 BM ? ? MA ,证明线段 PM 的中点在 y 轴上; (Ⅲ)当 ? =1 时,若点 P 的坐标为(1,-1) ,求∠PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1 的取
8

值范围.

43. (2005 上海卷文第 21 题,本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分,
第 3 小题满分 6 分.) 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA, 垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M.当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,丫讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.

44. (2005 上海理第 19 题, ,本题共有 3 个小题,满分 14 分,其中第 1 小题满分 6 分, 第 2
小题满分 8 分) 如图,点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 36 20

P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点 到点 M 的距离 d 的最小值。

45. (2005 山东卷理第 22 题,文第 22 题)
已知动圆过定点 ?

p ?p ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 . 2 ?2 ?

(I)求动圆圆心 C 的轨迹的方程; (理 II)设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 ? 和 ? ,当 ? , ? 变化且 ? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定 点的坐标. (文 II)设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 ? 和 ? ,当 ? , ? 变化且 ? ? ? ?

?

4

时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点的坐标

王新敞
奎屯

新疆

46. (2005 湖南卷理第 19 题,文第 21 题,满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 + 2 =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离心率为 e. 直线 l: a2 b

y=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点

9

F1 关于直线 l 的对称点,设 AM =λ AB . (Ⅰ)证明:λ =1-e2; (Ⅱ)若 ? ?

3 ,△PF1F2 的周长为 6;写出椭圆 C 的方程; 4

(Ⅲ)确定λ 的值,使得△PF1F2 是等腰三角形.

47.(2005 湖北卷理第 21 题,文第 22 题) 设 A、B 是椭圆 3x 2 ? y 2 ? ? 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点,线段 AB 的 垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (Ⅰ)确定 ? 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的 ? ,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由.

48. (2005 福建卷理第 21 题,文第 22 题) 已知方向向量为 v ? (1, 3) 的直线 l 过点( 0,?2 3 )和椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

的焦点, 且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过点 E(-2,0)的直线 m 交椭圆 C 于点 M、N, 满足 OM ? ON ?

4 6 cot∠MON≠0(O 为原点).若存在,求直线 3

m 的方程;若不存在,请说明理由.

49.(2005 北京卷理第 18 题,文第 20 题) 如图,直线 l1:y=kx(k>0)与直线 l2:y=-kx 之间的阴影区域(不含边界)记为 W, 其左半部分记为 W1,右半部分记为 W2. (I)分别用不等式组表示 W1 和 W2; (II)若区域 W 中的动点 P(x,y)到 l1,l2 的距离之积等 于 d2,求点 P 的轨迹 C 的方程; (III)设不过原点 O 的直线 l 与(II)中的曲线 C 相交 于 M1,M2 两点,且与 l1,l2 分别交于 M3,M4 两点.求证 △OM1M2 的重心与△OM3M4 的重心重合.

10

参考答案
1.D 11. B 17.B
2

2.D 12. A 18. D

3. D

4. C

5. C

6. C

7. D

8. B

9. B

10. A 16. C 25. 2

13. x 2 ?
19. A

4 2 y ?1 3
20. C

14.②③⑤
21. D 22. C 28. B

15. x=-1;(1, 0)
23.③④ 29. B

24. B

y2 ?1 26. x ? 9

x2 y2 ? ?1 27. 80 20

30. 2 .

31. (2005 全国卷Ⅰ理第 21 题,文第 22 题) x2 y2 解:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), F (c,0), a b x2 y2 则直线 AB 的方程为 y ? x ? c, 代入 2 ? 2 ? 1 a b 2 2 2 2 2 2 2 2 化简得 (a ? b ) x ? 2a cx ? a c ? a b ? 0 .
2a 2 c a 2 c 2 ? a 2b 2 , x1 x 2 ? . a 2 ? b 2 ? ??? ? a 2 ? b 2 ? ??? ? ??? ??? ? ? 由OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3, ?1), OA ? OB与a 共线,得
令 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 ? x 2 ?

3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0. 又 y1 ? x1 ? c, y2 ? x2 ? c ∴ 3( x1 ? x2 ? 2c) ? ( x1 ? x2 ) ? 0
2a 2 c 3c 3c ? ,∴ a 2 ? 3b 2 即 2 2 2 a ?b 2 6a ∴ c ? a 2 ? b2 ? 3 c 6 故离心率为 e ? ? . a 3 x2 y2 2 2 2 2 2 (II)证明:由(I)知 a ? 3b ,所以椭圆 2 ? 2 ? 1 可化为 x ? 3 y ? 3b . a b ???? ? 设 OM ? ( x, y) ,由已知得 ( x, y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 )
∴ x1 ? x2 ?

?

? x ? ? x1 ? ? x2 , ? ? y ? ? y1 ? ? y2 . ? M ( x, y ) 在椭圆上, ? (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y2 ) 2 ? 3b 2 .

2 2 ?2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b 2 . ①

由(I)知 x1 ? x 2 ?

3 3 1 c, a 2 ? c 2 , b 2 ? c 2 . 2 2 2

11

a 2 c 2 ? a 2b 2 3 2 ? c a 2 ? b2 8 ∴ x1 x2 ? 3 y1 y2 ? x1 ? x2 ? 3( x1 ? c)( x2 ? c)
∴ x1 x2 ?

? 4 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 )c ? 3c 2 ?
2 2 2 2 又 x1 ? 3 y1 ? 3b 2 , x2 ? 3 y2 ? 3b 2 又,代入①得

3 2 9 2 c ? c ? 3c 2 ? 0. 2 2 2 ? ? ? 2 ? 1.

故 ?2 ? ? 2 为定值,定值为 1

32. (2005 全国卷 II 理第 21 题,文第 22 题) 解:如图,由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1),且 PQ⊥MN,直 线 PQ、NM 中至少有一条存在斜率,不妨设 PQ 的斜率为 K,又 PQ 过点 F(0,1),故 PQ 的 方程为 y = kx +1 将此式代入椭圆方程得(2+ k 2 ) x 2 +2 kx -1=0 设 P、Q 两点的坐标分别为( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),则

y
M F P O N Q

?k ? 2k ? 2 ?k ? 2k ? 2 , x2 ? 2 2?k 2 ? k2 8(1 ? k 2 )2 2 2 2 从而 | PQ | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (2 ? k 2 )2 x1 ?
2 2

2 2(1 ? k 2 ) 亦即 | PQ |? 2 ? k2
(1) 当 k ≠ 0 时 , MN 的 斜 率 为 -

x

1 ,同上可推得 k

1 2 2(1 ? (1 ? )2 ) k | MN |? 1 2 2 ? (? ) k
故 四 边 形 面 积

12

1 1 ) 4(2 ? k 2 ? 2 ) 2 1 k ? k S ? | PQ || MN |? 1 2 2 (2 ? k 2 )(2 ? 2 ) 5 ? 2k 2 ? 2 k k 1 4(2 ? u ) 1 2 ? 2(1 ? ) 令u =k ? 2 得S ? k 5 ? 2u 5 ? 2u 1 2 ∵ u = k ? 2 ≥2 k 16 当 k =±1 时 u =2,S= 且 S 是以 u 为自变量的增函数 9 16 ?S?2 ∴ 9 4(1 ? k 2 )(1 ?
②当 k =0 时,MN 为椭圆长轴,|MN|=2 2 ,|PQ|= 2 。∴S= 综合①②知四边形 PMQN 的最大值为 2,最小值为

1 |PQ||MN|=2 2

16 。 9

33.(2005 全国卷 III 理第 21 题,文第 22 题) 解: (Ⅰ) <法一>

F ? l ?| FA |?| FB |? A, B 两点到抛物线的准线的距离相等.
∵抛物线的准线是 x 轴的平行线, y1 ? 0, y2 ? 0, 依题意y1 , y2 不同时为 0,
2 ∴上述条件等价于 y1 ? y2 ? x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0;

∵ x1 ? x 2 ,

∴上述条件等价于

x1 ? x2 ? 0.

即当且仅当 x1 ? x2 ? 0 时,l 经过抛物线的焦点 F. <法二>
2 ∵抛物线 y ? 2x 2 ,即 x ?

y 1 ,? p ? , 2 4

∴焦点为 F (0, ) ………………………………………………………1 分 (1)直线 l 的斜率不存在时,显然有 x1 ? x2 ? 0 ………………………………3 分 (2)直线 l 的斜率存在时,设为 k,截距为 b 即直线 l :y=kx+b 由已知得:
?y ? y ? 2 ? 1 ? k ? x1 x 2 ? b ……………5 分 2 2 ? ? y1 ? y 2 ? ? 1 ? ? x1 ? x 2 k ?
13

1 8

2 2 ? ? ? ? 2 x1 2 x 2 ? k ? x 1 x 2 ? b 2 2 ? ?? 2 2 ? 2 x1 ? 2 x 2 ? ? 1 ? k x1 ? x 2 ?

? 2 2 x1 ? x 2 ? b ? x1 ? x 2 ? k ? ……………7 分 ? 2 ?? 1 ? x1 ? x 2 ? ? 2k ? ?

1 1 2 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? b ? 0 ? b ? 4 4

即 l 的斜率存在时,不可能经过焦点 F (0, ) ……………………………………8 分 所以当且仅当 x1 ? x2 =0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F…………………………9 分 (文Ⅱ) 当 x1 ? 1, x2 ? ?3 时, 直线 l 的斜率显然存在,设为 l :y=kx+b………………………………10 分 则由(Ⅰ)得:
? 2 2 x1 ? x 2 ? b ? x1 ? x 2 ? k ? ? 2 ? 1 ? x 1 ? x 2 ? ? 2k ? ?

1 8

? x1 ? x 2 ? b ? 10 ?k ? ………………………11 分 ? 2 ?? 1 ? ? ? ?2 ? 2k ?

1 ? ? k ? 4 …………………………………………13 分 ? ?? ?b ? 41 ? ? 4

所以直线 l 的方程为 y ?

1 41 x? 4 4

(理 II) 设 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为 y ? 2 x ? b ;过点 A、B 的直线方程可写为

y??

1 1 1 x ? m ,所以 x1 , x 2 满足方程 2 x 2 ? x ? m ? 0, 得 x1 ? x 2 ? ? ; 2 2 4 1 A,B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 ? ? ? 8m ? 0, 4 1 . 即m ? ? 32
设 AB 的中点 N 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则
x0 ? 1 1 1 1 ( x1 ? x 2 ? ? , y 0 ? ? x0 ? m ? ? m. 2 8 2 16

14

由 N ? l, 得

1 1 5 5 1 9 ? m ? ? ? b, 于是 b ? ?m? ? ? . 16 4 16 16 32 32
32

即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为( 9 ,?? ).

34.(2005 辽宁卷第 21 题,满分 14 分) (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为 ( x, y). 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得

| F1 P |? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? b 2 ? ? (a ? c 2 x) . a

b2 2 x a2

由 x ? a, 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. ………………………3 分 a a

证法二:设点 P 的坐标为 ( x, y). 记 | F1 P |? r1 , | F2 P |? r2 , 则 r1 ?

( x ? c) 2 ? y 2 , r2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 .

c x. a c 证法三:设点 P 的坐标为 ( x, y). 椭圆的左准线方程为 a ? x ? 0. a
2 2 由 r1 ? r2 ? 2a, r1 ? r2 ? 4cx , 得 | F1 P |? r1 ? a ?
2 由椭圆第二定义得 | F1 P | ? c ,即 | F1 P |? c | x ? a |?| a ? c x | . a c a a a2 |x? | c

由 x ? ? a , 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. …………………………3 分 a a

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |?

1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2
2 2 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . …………………………7 分 解法二:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上.
15

当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ?TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.
? x? ?, y ? ) ? 设点 Q 的坐标为( x ,则 ? ? ?y ? ? ? x? ? c , 2 y? . 2

?x? ? 2 x ? c, 因此 ? ? y ? ? 2 y.
由 | F1Q |? 2a 得 ( x? ? c) 2 ? y ? 2 ? 4a 2 . 将①代入②,可得 x 2 ? y 2 ? a 2 .





综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . ……………………7 分 (Ⅲ)解法一:C 上存在点 M( x0 , y0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y 0 ? a 2 , ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

③ ④
2 b2 . 所以,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c c

由③得 | y0 |? a ,由④得 | y 0 |?

2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分

c

2 当 a ? b 时, MF1 ? (?c ? x0 ,? y0 ), MF2 ? (c ? x0 ,? y0 ) , c

2 2 由 MF1 ? MF2 ? x0 ? c 2 ? y0 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ,

MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos?F1MF2 ,
S? 1 | MF1 | ? | MF 2 | sin ?F1 MF 2 ? b 2 ,得 tan?F1 MF2 ? 2. 2
2

解法二:C 上存在点 M( x0 , y0 )使 S= b 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y 0 ? a 2 , ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

③ ④

由④得 | y 0 |?

4 2 2 b2 2 . 上式代入③得 x0 ? a 2 ? b 2 ? (a ? b )(a ? b ) ? 0. c c c c

16

2 于是,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c
2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分

c

2 y0 y0 当 a ? b 时,记 k1 ? k F M ? , , k 2 ? k F2 M ? 1 c x0 ? c x0 ? c

由 | F1 F2 |? 2a, 知 ?F1 MF2 ? 90? ,所以 tan?F MF ?| k1 ? k 2 |? 2. …………14 分 1 2
1 ? k1k 2

待续

17


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