河北省石家庄市第二中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题

高一第一学期期中考试数学试题
一、选择题(每题只有一个正确答案,请将正确答案涂到正确位置,每题 5 分,共 60 分)
2 1.集合 M ? y | y ? x ? 1, x ? R ,集合 N ? x | y ? 9 ? x2 , x ? R M∩N=(

?

?

?

?



A.{t| ?1 ? t ? 3 } C.{t| ?3 ? t ? 3 }

B.{t| 0 ? t ? 3 } D.t| t ? 3或t ? ?3 } )

2.满足条件 {1, 2} ? B ? {1, 2,3, 4,5} 的所有集合 B 的个数为( A.2 3.计算 log 8 A. B.3 C.4 ) C. ? D.8

5 3

1 的值为( 32 10 B. 3

5 3

D. ? ) D、 lg 5

3 5

4.已知 f (10x ) ? x ,则 f (5) ? (
A、 10
5

B、 5

10

C、 lg10

5.幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2,
1 2

2 ) ,则 f ( x) 为 2
? 1 2





A、 y ? x

1 B、 y ? 2 x

C、 y ? x

D、 y ? 2x?1
c

?1? ?1? 6.设 a , b, c 均为正数,且 2a ? log 1 a, ? ? ? log 1 b, ? ? ? log 2 c, 则 ?2? ? 2? 2 2
A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b

b

(

)

D. b ? a ? c ).

7.设 f ( x) ? ax2 ? bx ? 2 是定义在 ?1 ? a, 2? 上的偶函数,则 f ( x) 的值域是( A.与 a , b 有关,不能确定 C. [?12, 2] B.

[?10, 2]

D. [?12,0] )

8.已知 y ? log a (2 ? ax) 在 ?0,1? 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A.

? 0,1?

B. ?1, 2 ?

C. ? 0, 2 ?

D.

? 2, ???
). D. 2 ? k )

) ? k ,则 f (?2013 ) ?( 9.已知 f ( x) ? ax3 ? bx ? 1(ab ? 0) ,若 f (2013
A. k B. ? k C. 1 ? k

?2 x , x ? 1 10.设 f ( x ) ? ? ,则 f (log0.5 1.5) =( ? f ( x ? 2), x ? 1
A. ?

3 8 8 C. D. ? 8 3 3 2 ? a) 是奇函数,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是( 11.设 f ( x ) ? lg( 1? x
B.

3 8



A. (?1, 0) 12. 若 f ( x) ? ?

B. (0,1)

C. (??, 0)

D. (??,0) ? (1, ??)

?(3 ? a) x ? 4a, x ? 1 是 R 上的增函数,那么 a 的取值范围是( ?log 5a x, x ? 1
B. [ , 3)



A. ? ,3 ?

?1 ?5

? ?

3 5

C. ( ,3)

3 5

D. ? ,3 ?

?1 ?5

? ?

二、填空题(请把正确答案填到指定位置,每题 5 分,共 20 分)

13.函数 y= log 1 ( x 2 ? 4 x ?12) 的单调递增区间是
2

14.如果函数 f ( x) ? 3x ? x2 ? a 的定义域为 ?1, 2? ,那么 a ? 15.已知 A ? ? x

1? ? 1 ? 3? x ? ? , B ? {x | log 2 ( x ? 2) ? 1} ,则 ?CU A? ? B ? _____. 9? ? 27

16.设函数 f ( x) ? 2x ,对于任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,有下列命题 ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ③ ② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ④ f(

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2

⑤曲线 g ( x) ? x2 与曲线 f ( x) ? 2x 有三个公共点. 其中正确的命题序号是 . 三、解答题(要有必要的解题过程即文字说明,共 6 题,共 70 分) 17.(本题 10 分)已知集合 A ? x a ? 1 ? x ? 2a ? 1 (Ⅰ)若 a ?

?

? , B ? ?x

0 ? x ? 1? .

1 时, 求A ? B ; 2

(Ⅱ)若 A ? B ? ? ,求实数 a . 18.(本题 12 分) ①求函数的定义域 y ? ②计算 lg 25 ?

ln( x 2 ? x ? 1)

2 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? (lg 2) 2 3 x x ?1
?x (2) g ( x) ? 2 ? 2

19. (本题 12 分) 作出下列函数的图象,并回答问题。 (不用列表,不用叙述作图过程,但要标明必要的 点或线) (1) f ( x ) ?

①写出函数 f ( x ) 的单调区间及其单调性 ②若方程 g ( x) ? 2a 有两个不同实数解,则 a 的取值范围是

. .

y

y

O

x

O

x

(1) 20. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? lg(2 ? x) ? lg(2 ? x) (Ⅰ)求值: f (

(2)

1 1 ) ? f (? ); 2015 2015

(Ⅱ)判断函数的单调性并用定义证明. 21 . ( 本 题 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 {x |x ? 0 } , 对 定 义 域 内 的 任 意 x1 x , 2都 有

f( x x)? f( 2,且当 x) x ? 1时,f ? x ? ? 0,f ? 2?= 1. 1? x 2 ) ? f( 1 (1)证明: f ( x ) 是偶函数;
(2) )解不等式 f (2 x - 1) ? 2.
2

22.(本题 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 .
x

?x

(I)若 f (a) ? 2 ,求 a 的值; (II)若 f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ?[1, 2] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

高一第一学期期中考试数学试题
参考答案 1—5 ACCDC 13 6—10 ABBDC 14 -2 15 11—12 AB

? ??, ?6?

? x 3 ? x ? 4?

16

①③④⑤

17.解(Ⅰ)当 a ?

? 1 ? 1 时 A ? ? x ? ? x ? 2 ? , B ? ? x 0 ? x ? 1 ? …………… 2 2 ? ?

2分

? A ? B ? ?x 0 ? x ? 1 ?

…………… 5 分

(Ⅱ)当 a ? ?2 时 a ? 1 ? 2a ? 1,从而 A ? ? 故 A ? B ? ? 符合题意

? a ? ?2

…………… 7 分

当 a ? ?2 时,由于 A ? B ? ? ,故有 a ? 1 ? 1 或 2a ? 1 ? 0 解得 a ? 2 或

?2? a ? ?

1 2

……………9 分

综上所述实数 a 的取值范围是 ? ? ? , ?

? ?

1 ? ?? 2, ?? 2? ?

?

…………10 分

? x2 ? x ? 1 ? 0 ? 18 ①解: ? 2 ? ?ln( x ? x ? 1) ? 0
2 ? ?x ? x ?1 ? 0 ?? 2 ? ?x ? x ?1 ? 1
2

…………………………………… 2 分

……………………………………4 分

得 x ? x ? 2 ? 0 ,即为 x ? (??, ?1] ? [2, ??) ………………6 分

2lg 5 ? 2lg 2 ? lg 5(1 ? lg 2) ? (lg 2) 2 ②原式= ? 2 ? lg 5 ? lg 2(lg 5 ? lg 2) ……12 分 ?3
19. ①写出函数 f ( x ) 的单调区间及其单调性 减区间 ? ??,1? , ?1, ??? .

②若方程 g ( x) ? 2a 有两个不同实数解,则 a 的取值范围是 图略:注 1、两个图像与坐标轴的交点; 2、两个图像的渐近线;

?0 , 1 ?

20.解: (1) ?

?2 ? x ? 0 ? ?2 ? x ? 2 ?2 ? x ? 0

. . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

又 f (? x) ? lg(2 ? x) ? lg(2 ? x) ? ? f ( x)

? f ( x) 为奇函数,
故 f(

1 1 ) ? f (? )?0. 2015 2015

. . . . . . . . . . . . . . . .6 分

(2)设 ?2 ? x1 ? x2 ? 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? lg

2 ? x1 2 ? x2 (2 ? x1 )(2 ? x2 ) . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 ? lg ? lg 2 ? x1 2 ? x2 (2 ? x1 )(2 ? x2 )

. . . . . . . . . . . . . . .8 分 ?(2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? 4( x2 ? x1 ) ? 0 . 又 (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? 0,(2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? 0

?

(2 ? x1 )(2 ? x2 ) (2 ? x1 )(2 ? x2 ) . . . . . . . . . . . . . . .11 分 ? 1,? lg ? 0. (2 ? x1 )(2 ? x2 ) (2 ? x1 )(2 ? x2 )
. . . . . . . . . . . . . . .12 分

从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故 f ( x ) 在 (?2, 2) 上为减函数.

21.(1)证明

令x1=x2=,得 1 f ?1?=2 f ?1?,

? f ?1?=0.令x1=x2=-,得 1 f (- 1)=0,
∴f(x)是偶函数 (2)证明  设x2 ? x1 ? 0

? f (-x)=f (- 1? x)=f (- )+f ? x ?=f ? x ?. ? f ? x ? 是偶函数.
............4 分

x .............6 分. 则f ? x2 ?-f ? x1 ?=f ( x1 ·2 )-f ? x1 ? x1 x f ( 2 ) ? 0,? f ? x2 ?-f ? x1 ? ? 0 x1 x ............7 分 ? x2 ? x1 ? 0, ? 2 ? 1. x1 x f ( 2 ) ? 0,? f ? x2 ?-f ? x1 ? ? 0 x1

? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x ? 在(0,+?)上是增函数 .......8 分

  ? f ? 2?=, 1 ? f ? 4?=f ? 2?+f ? 2?=2. 又? f ? x ? 是偶函数

.......9 分

?不等式f (2x2- 1) ? 2可化为f (2x2- 1) ? f ? 4? .......10 分
又 ?函数f ? x ? 在(0,+?)上是增函数,
10 10 2 <x< ,? 2 x ? 1 ? 0 2 2

?| 2 x 2-1 |? 4.
解得 -

不等式的解集为 ? ? 22.解: (Ⅰ) 2 ? 2
a ?a

? ? ?

10 2 ? ? 2 10 ? ,? ??? ? 2 , 2 ? ? 2 2 ? ? ? ?

a 2 (2 )? ? 2 a2 ? ?1

.......12 分

?2

0

得: 2 ?
a

2?2 2 ? 2a ? 0 ? 2a ? 1 ? 2 2
2)

? 即 a ? log (1 2



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

t ?t (Ⅱ)?1 ? t ? 2 ? 2 ? 2 ? 0

不等式即为
t

22t ? 2?2t ? m(2t ? 2?t ) ? 0

化简得: 2 ? 2 ? ?m
t

?t

. . . . . . .8 分

令 2 ? u(u ?[2, 4]) 可证 y ? u ?

ymin

1 在 [2, 4] 是增函数. u 1 5 5 ? 2? ? ? m ? ? 满足条件. 2 2 2

. . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分


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