北京2013届高三最新理科数学试题分类汇编 专题:圆锥曲线


北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:圆锥 曲线
一、选择题 1 . (2013 届北京大兴区一模理科)双曲线 x 2 - my 2 = 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于





A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

2 2 . (2013 届北京海滨一模理科)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P(x, y ) 为该抛物线上的动点,又点 A( ?1,0) ,



| PF | 的最 | PA | 小值是





1 A. 2

2 B. 2

3 C. 2

2 2 D. 3

3 . (2013 届北京市延庆县一模数学理)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,一个焦点与抛物 a2 b2
( )

线 y ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为
2

A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ?

3 x 2

C. y ? ?

3 x 3

D. y ? ? 3 x

4 . (2013 届东城区一模理科)已知 F1 (?c,0) , F2 (c, 0) 分别是双曲线 C1 :
2 2 2

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两个 a 2 b2

焦点,双曲线 C1 和圆 C2 : x ? y ? c 的一个交点为 P ,且 2?PF1F2 ? ?PF2 F1 ,那么双曲线 C1 的离 心率为 A. ( B. 3 C. 2 D. 3 ? 1 )

5 2

5 . (2013 届门头沟区一模理科)已知 P ( x, y ) 是中心在原点,焦距为 10 的双曲线上一点,且

y x

的取值范围为

3 3 (? , ) ,则该双曲线方程是 4 4
A.

x2 9 x2 16

?

y2 16 y2 9

?1

B.

y2 9 y2 16

?

x2 16 x2 9

?1

C.

?

?1

D.
2

?

?1

6 . (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题) 已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与双曲线

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x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? 2 | AF | ,则 7 9
△ AFK 的面积为 A.4 ( B.8 C.16 D.32
2



7 . (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)方程 x ? xy ? x 的曲线是





A.一个点

B.一条直线

C.两条直线

D.一个点和一条直线

8 . (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,过其 a 2 b2

右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M , N 两点, O 为坐标原点.若 OM ? ON ,则双曲线的离心 率为 A. ( )

?1 ? 3 2

B.

1? 3 2

C.

?1 ? 5 2

D.

1? 5 2

9 . (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 ) 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,

抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是
2





A.

3 5 5

B. 2

C.

11 5

D. 3

10.【解析】北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知双曲线的中心在原点,一个焦点为 (

F1 (? 5 ,0) ,点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,则此双曲线的方程是 (



x2 ? y2 ? 1 A. 4

y2 ?1 B. x ? 4
2

x2 y2 C. ? ?1 2 3

x2 y2 D. ? ?1 3 2
C: x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 的左右焦点

11.【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )椭圆 (

分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使得 ?F1F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取 值范围是 ( )

1 2 ( , ) A. 3 3
二、填空题

1 ( ,1) B. 2

2 ( ,1) C. 3

1 1 1 ( , ) ? ( ,1) 2 D. 3 2

12. (2013 届北京西城区一模理科) 在直角坐标系 xOy 中, B 与点 A(?1, 0) 关于原点 O 对称. P( x0 , y0 ) 在 点 点

抛物线 y ? 4 x 上,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 2 ,则 x0 ? ______.
2

13. (2013 届房山区一模理科数学)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 4 ,且过点 (2,3) ,则它的 a 2 b2

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渐近线方程为

.

14. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 ) 若双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 y ? 3 x 无交点,则离心率 e 的取值范围是 a 2 b2

.

15. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 ) 已知直线

l : y ? ax ? 1 ? a( a? R),若存在实数 a 使得一条曲线与直线 l 有两个不同的交点,且以这两个交点为端点
的线段的长度恰好等于 a , 则称此曲线为直线 l 的“绝对曲线”. 下面给出的三条曲线方程: y ? ?2 x ? 1 ; ① ② ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ;③ x 2 ? 3 y 2 ? 4 .其中直线 l 的“绝对曲线”有_____. (填写全部正确选项的 序号)
16. (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )

y A

x2 y 2 如图, F1 和 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的两 a b
个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 OF1 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点,且 △F2 AB 是等边三角形,则双 曲线的离心率为 .

F1
B

O

F2

x

17. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点是 F1 , F2 , 4 2

点 P 在该椭圆上.若 | PF1 | ? | PF2 | ? 2 ,则△ PF1 F2 的面积是______.
18. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷 (解析) 在平面直角坐标系 xOy 中,设抛物线 y )
2

? 4x

的焦点为 F ,准线为 l, P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足.如果直线 AF 的倾斜角为 120 ? ,那么

PF ? _______.
19. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,并与其 9 16

渐近线相切的圆的标准方程是

_____.

20.【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )以 y ? ? x 为渐近线且经过点 (2, 0) 的双 (

曲线方程为______.
21.【解析】北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知定点 A 的坐标为 (1, 4) ,点 F 是双 (

曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,点 P 是双曲线右支上的动点,则 PF ? PA 的最小值为 4 12
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三、解答题 22. (2013 届北京大兴区一模理科)已知动点 P 到点 A(-2,0)与点 B(2,0)的斜率之积为 ?

1 ,点 P 的轨迹 4

为曲线 C。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若点 Q 为曲线 C 上的一点,直线 AQ,BQ 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点,直线 BM 与椭圆的交点 为 D。求证,A、D、N 三点共线。

23. (2013 届北京丰台区一模理科)已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆 C 过 P(2, 2 ),直线 l :

y=kx+m(k≠0)交椭圆 C 于不同的两点 A,B。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在实数 k,使线段 AB 的垂直平分线经过点 Q(0,3)?若存在求出 k 的取值范围;若不存 在,请说明理由。

24. (2013 届北京海滨一模理科)已知圆 M :( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2( r ? 0 ) .若椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2

的右顶点为圆 M 的圆心,离心率为

2 . 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)若存在直线 l : y ? kx ,使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交于 G , H 两 点,点 G 在线段 AB 上,且 AG ? BH ,求圆 M 半径 r 的取值范围.

25. (2013 届北京市延庆县一模数学理)已知动点 P ( x, y ) 与一定点 F (1,0) 的距离和它到一定直线 l : x ? 4 的距

离之比为

1 . 2

(Ⅰ) 求动点 P ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 l ? : x ? my ? 1 交轨迹 C 于 A 、 B 两点,过点 A 、 B 分别作直线 l : x ? 4 的垂线,垂足 依次为点 D 、 E .连接 AE 、 BD ,试探索当 m 变化时,直线 AE 、 BD 是否相交于一定点 N ?若交于 定点 N ,请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由.

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26. (2013 届北京西城区一模理科)如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆 a 2 b2
?

于 A , B 两点.当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 60 . (Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ) 设线段 AB 的中点为 G ,AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点. 记△ GFD 的面积为 S1 , △ OED ( O 为原点)的面积为 S 2 ,求

S1 的取值范围. S2

27. (2013 届东城区一模理科)已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 , 2 a b 2

过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,且△ MNF2 的周长为 8 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,证明:点 O 到直线 AB 的距离 为定值,并求出这个定值.

28. (2013 届房山区一模理科数学) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 F (1,0) , F 的直线 l 交抛物线 C 于 过

A,B 两点,直线 AO,BO 分别与直线 m : x ? ?2 相交于 M ,N 两点.
(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值.

29. (2013 届门头沟区一模理科)在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到直线 l : x ? 2 的距离是到点 F (1, 0) 的

距离的 2 倍. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 FP 与(Ⅰ)中曲线交于点 Q ,与 l 交于点 A ,分别过点 P 和 Q 作 l 的垂线,垂足为 M , N ,
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问:是否存在点 P 使得 ?APM 的面积是 ?AQN 面积的 9 倍?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说 明理由.

30. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习 (二) 数学 (理) 试题 ) (本小题满分 14 分) 已

知平面内一动点 P 到点 F (0,1) 的距离与点 P 到 x 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A, B , l 2 与轨迹 C 相交于 点 D, E ,求 AD ? EB 的最小值.

31. (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a2 b2



6 . 3

(I)若原点到直线 x ? y ? b ? 0 的距离为 2 , 求椭圆的方程; (II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为 45? 的直线和椭圆交于 A,B 两点. (i)当 | AB |?

3 ,求 b 的值;

(ii)对于椭圆上任一点 M,若 OM ? ? OA ? ? OB ,求实数 ? , ? 满足的关系式.

32. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题) 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点

0) (? 3 , , ( 3 , 的距离之和等于 4 ,设点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E (?1,0) 且与曲线 C 交于 0)

A , B 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明理由.

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x2 y2 33. (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,左焦 a b
点 F (? 3 ,0) ,且离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N( M , N 不是左、 右顶点) 且以 MN 为 , 直径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A. 求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标.

3 2

34. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)如图,已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F .过点
2

P(2,0) 的直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) ,
B( x2 , y2 ) 两点,直线 AF , BF 分别与抛物线交于点 M , N .
(Ⅰ)求 y1 y2 的值; (Ⅱ)记直线 MN 的斜率为 k1 ,直线 AB 的斜率为 k 2 .证明:

k1 为 k2

定值.

x2 2 35. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 已知椭圆 C : 2 ? y ? 1?a ? 1? 的上顶点为 ) a
1? ? A ,左焦点为 F ,直线 AF 与圆 M : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.过点 ? 0,? ? 的直线与椭圆 C 交于 2? ?
P, Q 两点.
(I)求椭圆 C 的方程; (II)当 ?APQ 的面积达到最大时,求直线的方程.
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36. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )已知椭圆的中心在原点 O ,短半轴的端点到其

右焦点 F ? 2, 0 ? 的距离为 10 ,过焦点 F 作直线,交椭圆于 A, B 两点. (Ⅰ)求这个椭圆的标准方程; (Ⅱ)若椭圆上有一点 C ,使四边形 AOBC 恰好为平行四边形,求直线的斜率.

37. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

)曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、离心率

相等的椭圆.点 M 的坐标是(0,1) ,线段 MN 是 C1 的短轴,是 C2 的长轴.直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交 于 A,D 两点(A 在 D 的左侧) ,与 C2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) .

(Ⅰ)当 m=

3 5 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 2 4

(Ⅱ)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围.

38. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 M 的对称轴为坐 标

轴, 离心率为

2 , 且抛物线 y 2 ? 4 2 x 的焦点是椭圆 M 的一个焦点. 2

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB,其中点 P 在椭 圆 M 上, O 为坐标原点. 求点 O 到直线 l 的距离的最小值.

39. ( 【解析】 北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) 已知点 A 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 的 9 t

左顶点,直线 l : x ? my ? 1( m?R )与椭圆 C 相交于 E , F 两点,与 x 轴相交于点 B .且当 m ? 0 时, △ AEF 的面积为

16 . 3
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(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于 M , N 两点,试判断以 MN 为直径的圆是否经过点 B ? 并请说明理由.

40.【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知 E ? 2,2 ? 是抛物线 C : y 2 ? 2 px 上一 (

点,经过点 (2,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点(不同于点 E ) ,直线 EA, EB 分别交直线 x ? ?2 于点

M,N .
(Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ)已知 O 为原点,求证: ?MON 为定值.

41. ( 【解析】 北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上,

离心率为

3 ,且经过点 M (4,1) ,直线 l:y =x +m 交椭圆于不同的两点 A B . 、 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不过点 M ,求证:直线 MA MB 的斜率互为相反数. 、

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北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:圆锥曲线参考答案 一、选择题 1. 2. 3. 4. 5. 6.

D B D D C 【答案】D 解:双曲线的右焦点为 (4, 0) ,抛物线的焦点为 (

p p , 0) ,所以 ? 4 ,即 p ? 8 。所以抛物线方程为 2 2
y2 , y) , 16

y 2 ? 16 x , 焦 点 F ( 4 , ,0 准 线 方 程 x ? ?4 , 即 K (? 4 , ,0 设 A( ) )

过 A 做 AM 垂直于准线于 M,由抛物线的定义可知 AM ? AF ,所以

AK ? 2 AF ? 2 AM , 即 AM ? MK , 所 以
2 (y ? 8) ? 0 ,所以 y ? 8 ,所以 S?AFK ?

y2 ? , ? (? 4 )? y , 整 理 得 y 2 ? 1 6y ? 6 4 0 即 16

1 1 KF y ? ? 8 ? 8 ? 32 ,选 D. 2 2

7.

【答案】C 【解析】由 x ? xy ? x 得 x( x ? y ? 1) ? 0 ,即 x ? 0或x ? y ? 1 ? 0 ,为两条直线,选 C.
2

8.

【答案】D 【解析】由题意知三角形 OMN 为等腰直角三角形,所以 MF ? OF ? c ,所以点 M (c, c) ,代入双曲

c2 c2 c2 y 2 b2 b2 ? c ,的 b 2 ? ac ,即 线方程 2 ? 2 ? 1 ,当 x ? c 时, 2 ? 2 ? 1 ,得 y ? ,所以由 y ? a b a b a a
c 2 ? a 2 ? ac, c 2 ? ac ? a 2 ? 0 , 所 以 e2 ? e ? 1 ? 0 , 解 得 离 心 率 e ?

1? 5 , 选 D. 2

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9.

,【答案】B 【 解析】因为抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,所以焦点坐标 F (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 。所以设 P 到准线 的距离为 PB ,则 PB ? PF 。 P 到直线 l : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离为 PA , 1 所以 PA PB ? ?

P? A

P?F , 其 D FD 为 焦 点 到 直 线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的 距 离 , 所 以 F 中

FD ?

4?0?6 3 ?4
2 2

?

10 ? 2 ,所以距离之和最小值是 2,选 B. 5

10. 【答案】B

解:由双曲线的焦点可知 c ? 5 ,线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,所以设右焦点为 F2 ,则有 PF2 ? x , 且 PF2 ? 4 , 点 P 在 双 曲 线 右 支 上 。 所 以 PF1 ?

(2 5) 2 ? 4 2 ? 36 ? 6 , 所 以

PF1 ? PF2 ? 6 ? 4 ? 2 ? 2a ,所以 a ? 1, b2 ? c 2 ? a 2 ? 4 ,所以双曲线的方程为 x 2 ?
11. 【答案】D

y2 ? 1 ,选 B. 4

解:当点 P 位于椭圆的两个短轴端点时, ?F1F2 P 为等腰三角形,此时有 2 个。 若点不在短轴的端点时,要使 ?F1F2 P 为等腰三角形,则有 PF1 ? F1F2 ? 2c 或
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,

PF2 ? F1F2 ? 2c 。此时

c 1 ? ,又当点 P a 3 1 1 c 1 不在短轴上,所以 PF1 ? BF1 ,即 2c ? a ,所以 ? 。所以椭圆的离心率满足 ? e ? 1 且 e ? ,即 3 2 a 2
PF2 ? 2a ? 2c 。所以有 PF1 ? F1 F2 ? PF2 ,即 2c ? 2c ? 2a ? 2c ,所以 3c ? a ,即
1 1 1 ( , ) ? ( ,1) 3 2 2 ,所以选 D.
二、填空题 12. 1 ? 13.

2;

y ? ? 3x

14. (1, 2] 15. ②③ 16.

1? 3

17. 【答案】 2

解:由椭圆的方程可知 a ? 2, c ?

2 ,且 | PF1 | ? | PF2 | ? 2a ? 4 ,所以解得 | PF1 |? 3,| PF2 | ? 1 ,又
2

| F1 F2 | ? 2c ? 2 2 ,所以有 | PF1 |2 ?| PF2 |2 ? F1 F2 ,即三角形 PF2 F1 为直角三角形,所以△ PF1F2 的
面积 S? ?

1 1 F1F2 PF2 ? ? 2 2 ?1 ? 2 。 2 2

18. 答 案 4 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 F (1,0) , 准 线 方 程 为

x ? ?1 . 因 为 直 线 AF 的 倾 斜 角 为 120 ? , 所 以

?AFO ? 600 ,又 tan 60? ?

yA 2 ,所以 y A ? 2 3 .因为 PA ? l ,所以 yP ? y A ? 2 3 ,代入 y ? 4 x , 1 ? (?1)

得 xA ? 3 ,所以 PF ? PA ? 3 ? (?1) ? 4 .
19. 【答案】 ( x ? 5) ? y ? 16
2 2

解:双曲线的渐近线为 y ? ?

4 4 x ,不妨取 y ? x ,即 4 x ? 3 y ? 0 。双曲线的右焦点为 (5, 0) ,圆心到 3 3
4?5 32 ? 42 ? 4 ,即圆的半径为 4,所以所求圆的标准方程为

直 线 4 x ? 3y ? 0的 距 离 为 d ?

( x ? 5) 2 ? y 2 ? 16 。
20. 【答案】

x2 y 2 ? ?1 4 4

解:因为双曲线经过点 (2, 0) ,所以双曲线的焦点在 x 轴,且 a ? 2 ,又双曲线的渐近线为 y ? ? x ,所
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以双曲线为等轴双曲线,即 b ? a ? 2 ,所以双曲线的方程为
21. 【答案】9

x2 y 2 ? ? 1。 4 4

解: 由双曲线的方程可知 a ? 2 , 设右焦点为 F1 , F1 (,0 则 4)

F 。 PF ? PF1 ? 2a ? 4 , P ?P 即 F

1

?4,

所以 PF ? PA ? PF1 ? PA ? 4 ? AF1 ? 4 ,当且仅当 A, P, F1

三点共线时取等号,此时

AF1 ? (4 ? 1) 2 ? 42 ? 25 ? 5 ,所以 PF ? PA ? AF1 ? 4 ? 9 ,即 PF ? PA 的最小值为 9.
三、解答题 22.解: (I)设 P 点坐标 ( x, y ) ,则 k AP ?

y y ( x ? ?2 ) kBP ? , (x?2) , x?2 x?2

由已知

x2 y y 1 ? ? ? ,化简得: ? y 2 ? 1 . 4 x?2 x?2 4 x2 。 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 ) 4

所求曲线 C 的方程为

(II)由已知直线 AQ 的斜率存在, 且不等于 0,设方程为 y ? k ( x ? 2) ,
? x2 ? 4 y 2 ? 4 ? y ? k ( x ? 2)

由?

,消去 y 得:

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 ??? (1).

因为 ?2 , xQ 是方程(1)的两个根, 所以 ?2 ? xQ ?
16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 ,得 xQ ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2 ? 8k 2 4k 2 ? 8k 2 4k ,所以 Q( , )。 ? 2) ? 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

又 yQ ? k ( xQ ? 2) ? k (

当 x ? 4 ,得 yM ? 6k ,即 M (4, 6k ) 。 又直线 BQ 的斜率为 ?
1 1 1 1 ,方程为 y ? ? ( x ? 2) ,当 x ? 4 时,得 yN ? ? ,即 N (4, ? ) 。 4k 4k 2k 2k

直线 BM 的斜率为 3k ,方程为 y ? 3k ( x ? 2) 。
? x2 ? 4 y 2 ? 4 ? y ? 3k ( x ? 2)

由?

,消去 y 得:

(1 ? 36k 2 ) x2 ? 144k 2 x ? 144k 2 ? 4 ? 0 ??? (2).

因为 2, xD 是方程(2)的两个根,所以

第 13 页,共 30 页

2 ? xD ?

144k 2 ? 4 , 1 ? 36k 2 72k 2 ? 2 12k 72k 2 ? 2 12k ,又 yD ? 3k ( xD ? 2) ? ? ,即 D( ,? )。 2 2 2 1 ? 36k 1 ? 36k 2 1 ? 36k 1 ? 36k 72k 2 ? 2 12k 1 ,? ) , N (4, ? ) 。 2 2 1 ? 36k 1 ? 36k 2k

得 xD ?

由上述计算: A(?2, 0) , D( 因为 k AD ? ?

1 1 , k AN ? ? ,所以 k AD ? k AN 。 12k 12k

所以 A、D、N 三点共线。

23.解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? ,由题意 a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? 4 x2 y2 ? 2 2 ,解得 a ? 8 , b ? 4 ,所以椭圆 C 的方程为 ? ? 1 . …………5 分 ?4 2 8 4 ? 2 ?1 ? 2 ?a b
(Ⅱ)假设存在斜率为 k 的直线,其垂直平分线经过点 Q(0,3) , 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点为 N(x0,y0),

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 由? 8 得 (1 ? 2k ) x ? 4mkx ? 2m ? 8 ? 0 , …………………6 分 4 ? y ? kx ? m ?
? ? 16m2 k 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 64k 2 ? 8m2 ? 32 ? 0 ,所以 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,…7 分

4mk , 1 ? 2k 2 x ?x m 2mk , y0 ? kx0 ? m ? , ? x0 ? 1 2 ? ? 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k , ?线段 AB 的垂直平分线过点 Q(0,3) x1 ? x2 ? ?

……………8 分

? k NQ ? k ? ?1 ,即
?? ? 0 ,

y0 ? 3 ? k ? ?1,? ?m ? 3 ? 6k 2 ,…………10 分 x0

整理得 36k ? 28k ? 5 ? 0 ,显然矛盾?不存在满足题意的 k 的值。………13 分
4 2

24.解: (I)设椭圆的焦距为 2c ,

因为 a ?

2,

c 2 ,所以 c ? 1 ,所以 b ? 1 . ? a 2

所以椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 ………………4 分 2

(II)设 A ( x1 , y1 ) B ( x 2 , y 2 ) ,
第 14 页,共 30 页

由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A , B ,则 ?

? y ? kx
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

所以 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? ?

2 ………………6 分 1 ? 2k 2

所以 AB ?

(1 ? k 2 )

8 8(1 ? k 2 ) ………………7 分 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2k 1? k2

点 M ( 2 ,0)到直线 l 的距离 d ?

则 GH ? 2 r 2 ?

2k 2 ………………9 分 1? k2

显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性可知,直线 y ? kx 就是 y 轴,矛盾, 所以要使 AG ? BH ,只要 AB ? GH
B H

所以

8(1 ? k 2 ) 2k 2 ? 4( r 2 ? ) 1 ? 2k 2 1? k2

G A

r2 ?

2k 2 2(1 ? k 2 ) 2(3k 4 ? 3k 2 ? 1) k4 ? ? ? 2(1 ? 4 ) ………………11 分 1 ? k 2 1 ? 2k 2 2k 4 ? 3k 2 ? 1 2k ? 3k 2 ? 1
2 ………………12 分

当 k ? 0 时, r ? 当 k ? 0 时,

1 1 ) ? 2(1 ? ) ? 3 1 3 2 ? ?2 k4 k2 1 r 2 ? 2(1 ? )?2 , 1 3 又显然 所以 2 ? r ? 3 ? 2 ?2 4 k k r 2 ? 2(1 ?
综上, 2 ? r ?

3 ………………14 分

( x ? 1) 2 ? y 2 1 x2 y2 ? ,化简并整理,得 ? ? 1. 25.解:(Ⅰ)由题意得 4 3 | x?4| 2
所以动点 P ( x, y ) 的轨迹 C 的方程为椭圆

x2 y2 ? ? 1. 4 3
3 2 3 2

………3 分

(Ⅱ)当 m ? 0 时, A(1, ) 、 B (1,? ) , D (4, ) 、 E (4,? ) 直线 AE 的方程为: 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,直线 BD 的方程为: 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,

3 2

3 2

第 15 页,共 30 页

5 5 , y ? 0 ,直线 AE 、 BD 相交于一点 ( ,0) . 2 2 5 假设直线 AE 、 BD 相交于一定点 N ( ,0) . ………5 分 2
方程联立解得 x ? 证明:设 A(my1 ? 1, y1 ) , B (my 2 ? 1, y 2 ) ,则 D (4, y1 ) , E (4, y 2 ) ,

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y2 消去 x 并整理得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 ,显然 ? ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
? 6m ?9 , y1 y 2 ? . 2 3m 2 ? 4 3m ? 4 3 3 因为 NA ? (my1 ? , y1 ) , NE ? ( , y 2 ) , 2 2 3 3 3 所以 (my1 ? ) ? y 2 ? y1 ? ? my1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 2 2 ? 9m 3 ? 6m ?0 ………11 分 ? ? ? 2 3m ? 4 2 3m 2 ? 4
由韦达定理得 y1 ? y 2 ? 所以, NA // NE ,所以 A 、 N 、 E 三点共线, ………7 分

………12 分

同理可证 B 、 N 、 D 三点共线,所以直线 AE 、 BD 相交于一定点 N ( ,0) .14 分
26. (Ⅰ)解:依题意,当直线 AB 经过椭圆的顶点 (0, b) 时,其倾斜角为 60 .
?

5 2

……1 分

设 F (?c, 0) , 则

b ? tan 60? ? 3 . c

………………2 分

将 b?

3c 代入 a 2 ? b2 ? c 2 ,
………………3 分

解得 a ? 2c . 所以椭圆的离心率为 e ?

c 1 ? . a 2

…………4 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,椭圆的方程可设为

x2 y2 ? 2 ?1. 4c 2 3c

……5 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .依题意,直线 AB 不能与 x, y 轴垂直,故设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) , 将其代入 3x ? 4 y ? 12c ,整理得 (4k ? 3) x ? 8ck x ? 4k c ? 12c ? 0 .……………7 分
2 2 2
2 2 2 2 2 2

则 x1 ? x2 ?

?8ck 2 ?4ck 2 3ck 6ck , 2 ) .8 分 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c) ? , G( 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3

第 16 页,共 30 页

3ck 2 4k 2 ? 3 ? k ? ?1, x ? ?ck . ………9 分 因为 GD ? AB ,所以 D ?4ck 2 4k 2 ? 3 ? xD 4k 2 ? 3
因为 △ GFD ∽△ OED ,

?4ck 2 ?ck 2 2 3ck 2 ? 2 ) ?( 2 ) 2 S1 | GD | 4k ? 3 所以 ? ? 4k ? 3 4k ? 3 ?ck 2 2 S2 | OD |2 ( 2 ) 4k ? 3
2

(

…11 分

?

(3ck 2 )2 ? (3ck ) 2 9c 2 k 4 ? 9c 2 k 2 9 ? ? 9 ? 2 ? 9 .……13 分 2 2 2 4 (ck ) ck k

所以

S1 的取值范围是 (9, ??) . S2

…………14 分

27.解: (I)由题意知, 4a ? 8 ,所以 a ? 2 .

因为 e ?

1 2

所以

b2 a 2 ? c 2 3 ? ? 1 ? e2 ? , 2 2 a a 4
2

所以 b ? 3 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(II)由题意,当直线 AB 的斜率不存在,此时可设 A( x0 , x0 ) , B( x0 , ? x0 ) . 又 A , B 两点在椭圆 C 上, 所以

x0 2 x0 2 12 ? ? 1 , x0 2 ? . 4 3 7
12 2 21 ? . 7 7

所以点 O 到直线 AB 的距离 d ?

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 ?1 ? ? 3 ?4
(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 .
由已知 ? ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .
第 17 页,共 30 页

所以 x1 ? x2 ? ?

4m2 ? 12 8km , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为 OA ? OB , 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 所以 x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 . 即 (k ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0 .
2 2

所以 (k ? 1)
2

4m2 ? 12 8k 2 m2 ? ? m2 ? 0 . 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2

整理得 7m ? 12(k ? 1) ,满足 ? ? 0 .
2

所以点 O 到直线 AB 的距离

d?

|m| k 2 ?1

?

12 2 21 ? 为定值. 7 7
可知

28. (Ⅰ)由焦点坐标为 (1, 0)

p ?1 2

所以 p ? 2 所以抛物线 C 的方程为 y ? 4 x …………………………………4 分
2

(Ⅱ) 当直线 l 垂直于 x 轴时, ?ABO 与 ?MNO 相似, 所以

OF 2 1 S?ABO ?( ) ? S?MNO 2 4

…………………………………….…6 分

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) ………………………7 分 设 M (?2, y M ) , N (?2, y N ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 解

? y ? k ( x? 1 ) ? 2 ? y ? 4x

整理得

k 2 x 2 ? ( 4 ? 2k 2 )x? k2 ? , 0

所以 x1 ? x2 ? 1

…………………………………………………………….9 分

1 ? AO ? BO ? sin ?AOB S ?ABO AO BO x1 x2 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? …………………….14 分 S ?MNO 1 ? MO ? NO ? sin ?MON MO NO 2 2 4 2
综上

S?ABO 1 ? S?MNO 4
第 18 页,共 30 页

29. (Ⅰ)解:设点 P 的坐标为 ( x, y ) .

由题意知 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ? x 化简得

……………………………3 分

x2 ? 2 y 2 ? 2 x2 ? 2 y 2 ? 2
……………………………5 分

所以动点 P 的轨迹方程为

(Ⅱ)设直线 FP 的方程为 x ? ty ? 1 ,点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 因为 ?AQN ∽ ?APM ,所以有 PM ? 3QN ,由已知得 PF ? 3QF , 所以有 y1 ? ?3 y2 (1) 由? ……………………………7 分

? x ? ty ? 1 ?x ? 2 y ? 2
2 2
2

,得 (t 2 ? 2) y 2 ? 2ty ? 1 ? 0 , ? ? 0

2t 1 (2) y1 ? y2 ? ? 2 , (3) ……………………………10 分 t ?2 t ?2 1 1 由(1) (3)得 t ? ?1, y1 ? 1, y2 ? ? 或 t ? 1, y1 ? ?1, y2 ? (2) 3 3 y1 ? y2 ? ?
所以 存在点 P 为 (0, ?1)
30.解析: (1)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意得

……………………………13 分

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? y ? 1

……………2 分

化简得 x ? 2 y ? 2 y
2

当 y ? 0 时 x ? 4 y ;当 y ? 0 时 x ? 0
2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x ? 4 y 和 x ? 0 ( y ? 0 )
2

………………………5 分

[来源:Z&xx&k.Com]

(2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? kx ? 1 . 由 ?

? y ? kx ? 1 得x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 2 ? x ? 4y

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则

x1 ? x 2 ? 4k , x1 x 2 ? ?4 , y1 ? y 2 ? 4k 2 ? 2, y1 y 2 ? 1
因为 l1 ? l2 ,所以 l 2 的斜率为 ?

…………………………7 分

1 .设 D( x3 , y3 ), E ( x4 , y4 ) ,则同理可得 k 4 4 x 3 ? x 4 ? ? , x 3 x 4 ? ?4 , y3 ? y4 ? 2 ? 2, y3 y4 ? 1 …………………………8 分 k k
第 19 页,共 30 页

AD ? EB ? ( AF ? FD) ? ( EF ? FB) ? AF ? EF ? FD ? EF ? AF ? FB ? FD ? FB ? FD ? EF ? AF ? FB ? FD EF ? AF FB ? ( y 3 ? 1)( y 4 ? 1) ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1)
? y3 y 4 ? ( y3 ? y 4 ) ? 1 ? y1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 1
…………………………………11 分

4 1 ? 8 ? 4(k 2 ? 2 ) ? 8 ? 4 ? 2 ? 16 2 ……………………………13 分 k k ???? ??? ? 1 2 当且仅当 k ? 2 即 k ? ?1 时, AD ? EB 取最小值 16. …………………………14 分 k ? 8 ? 4k 2 ?
31.解: (I)? d ?

b 2

? 2

?b ? 2
2 2 a 3

?e ?
2

c 6 ? a 3
2

?

c2 2 ? a2 3

? a2 ? b2 ? c2

?a2 ? 4 ?

解得 a ? 12, b ? 4.

x2 y2 椭圆的方程为 ? ? 1. 12 4
(II) ? ? (i)∵e

…………………………4 分

c 2

6 2 ,? a 2 ? 3b 2 , c 2 ? a 2 ? 2b 2 . 椭圆的方程可化为: 3 3
① ②

x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2

易知右焦点 F ( 2b,0) ,据题意有 AB: y ? x ? 2b 由①,②有: 4 x ? 6 2bx ? 3b ? 0
2 2



设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,

| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? 12 )

72b 2 ? 48b 2 24b 2 ? 2 ? 2 ? 3b ? 3 42 4
………………………8 分

?b ? 1

(2) (ii)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量

OM ,有且只有一对实数λ ,μ ,使得等 OM ? ? OA ? ? OB 成立.
设 M(x,y) ,

? ( x, y ) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x 2 , y 2 ),? x ? ?x1 ? ?x 2 , y ? ?y1 ? ?y 2 ,
又点 M 在椭圆上,? (?x1 ? ?x 2 ) ? 3(?y1 ? ?y 2 ) ? 3b
2 2 2



由③有: x1 ? x 2 ?

3 2b 3b 2 , x1 x 2 ? 2 4
第 20 页,共 30 页

则 x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x 2 ? 3( x1 ? 2b)( x 2 ? 2b) ? 4 x1 x 2 ? 3 2b( x1 ? x 2 ) ? 6b 2

3b 2 ? 9b 2 ? 6b 2 ? 0
2


2 2 2 2 2

又 A,B 在椭圆上,故有 x1 ? 3 y1 ? 3b , x 2 ? 3 y 2 ? 3b 将⑥,⑤代入④可得: ? ? ? ? 1.
2 2



……………………14 分

32. 解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点

0) 0) P 的轨迹 C 是以 (? 3, , ( 3 , 为焦点,长半轴长为 2 的椭

圆.……………………………………………………………………………3 分 故曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. …………………………………………………5 分 4

(Ⅱ)存在△ AOB 面积的最大值. …………………………………………………6 分 因为直线 l 过点 E (?1,0) ,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍) .

? x2 2 ? ? y ? 1, 则? 4 ? x ? my ? 1. ?
整理得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 .…………………………………7 分
2 2

由 ? ? (2m) ? 12(m ? 4) ? 0 .
2 2

设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .

解得

y1 ?

m ? 2 m2 ? 3 , m2 ? 4

y2 ?

m ? 2 m2 ? 3 . m2 ? 4

2 则 | y2 ? y1 |? 4 m ? 3 . 2 m ?4 因为 S?AOB ? 1 OE ? y1 ? y2 2

?

2 m2 ? 3 ? m2 ? 4

2 m ?3 ?
2

. ………………………10 分
1 m2 ? 3

设 g (t ) ? t ? , t ?

1 t

m2 ? 3 , t ? 3 .

则 g (t ) 在区间 [ 3, ??) 上为增函数. 所以 g (t ) ?

4 3 . 3

所以 S ?AOB ?

3 3 ,当且仅当 m ? 0 时取等号,即 ( S?AOB ) max ? . 2 2
第 21 页,共 30 页

所以 S ?AOB 的最大值为

3 .………………………………………………………………13 分 2

?c ? 3 ? c 3 ? 33.解: (Ⅰ)由题意可知: ?e ? ? a 2 ? 2 2 ?a ? b ? c 2 ?
解得 a ? 2, b ? 1

……1 分

………2 分

所以椭圆的方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

……3 分

? x2 2 ? ? y ?1 (II)证明:由方程组 ? 4 ?y ? kx? m ?

得( ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 …4 分 1

? ? (8km) 2 ? 4(1 ? 4k 2 )( 4m 2 ? 4) ? 0
整理得 4k 2 ? m 2 ? 1 ? 0 设 M ( x1 , x2 ), N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ? ? ………..5 分

8km 4m 2 ? 4 , x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

…….6 分

由已知, AM ? AN 且椭圆的右顶点为 A(2,0)

………7 分 ……… 8分

? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y 2 ? 0

y1 y 2 ? (kx1 ? m)( kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2
即 (1 ? k ) x1 x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m ? 4 ? 0
2 2

4m 2 ? 4 ? 8km ? (km ? 2) ? ? m2 ? 4 ? 0 也即 (1 ? k )) ? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k
2

…… 10 分

整理得: 5m 2 ? 16 mk ? 12 k 2 ? 0 解得 m ? ?2k或m ? ? 当

……11 分 ……12 分

6k 均满足 4k 2 ? m 2 ? 1 ? 0 5

m ? ?2k 时,直线的 l 方程为 y ? kx ? 2k ,过定点(2,0)与题意矛盾舍去……13 分
6 6k 6 时,直线的 l 方程为 y ? k ( x ? ) ,过定点 ( ,0) 5 5 5
第 22 页,共 30 页

当m ? ?

故直线 l 过定点,且定点的坐标为 ( ,0)
34. (Ⅰ)解:依题意,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 .

6 5

…….14 分 ………………1 分 ………………4 分 ………………5 分

将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,整理得 y ? 4my ? 8 ? 0 .
2 2

从而 y1 y2 ? ?8 . (Ⅱ)证明:设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y4 ) .



y3 ? y4 k1 y3 ? y4 x1 ? x2 ? ? ? 2 k2 x3 ? x4 y1 ? y2 y3 y2 ? 4 4 4

y12 y2 2 ? 4 4 ? y1 ? y2 . ? y1 ? y2 y3 ? y4

………………7 分

设直线 AM 的方程为 x ? ny ? 1 ,将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,
2

整理得 y ? 4ny ? 4 ? 0 .
2

………………9 分 ………………10 分 ………………11 分

所以 y1 y3 ? ?4 . 同理可得 y2 y4 ? ?4 . 故

k1 y1 ? y2 y ? y2 yy ? ? 1 ? 1 2. k2 y3 ? y4 ?4 ? ?4 ?4 y1 y2
k1 ? 2 ,为定值. k2
2

………………13 分

由(Ⅰ)得

………………14 分

35.解:(I)将圆 M 的一般方程 x

? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 化为标准方程 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 3 ,则圆 M 的圆
2 2

心 M ?? 3,1? ,半径 r ?

3 .由 A?0,1?, F ?? c,0 ? c ? a 2 ? 1 得直线 AF 的方程为 x ? cy ? c ? 0 .

?

?

由直线 AF 与圆 M 相切,得

?3?c ?c 1? c
2

? 3,

所以 c ? 当c ?

2 或 c ? ? 2 (舍去). 2 时, a 2 ? c 2 ? 1 ? 3 ,
x2 ? y2 ? 1 3

故椭圆 C 的方程为

(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为 k ,

第 23 页,共 30 页

则直线的方程为 y ? kx ? 因为点 ? 0,?

1 . 2

? ?

1? ? 在椭圆内, 2?

所以对任意 k ? R ,直线都与椭圆 C 交于不同的两点.

1 ? ? y ? kx ? 2 , 9 ? 由? 2 得 ?1 ? 3k 2 ?x 2 ? 3kx ? ? 0 . 4 ? x ? y2 ? 1 ? 3 ?
设点 P, Q 的坐标分别为 ? x1 , y1 ?, ? x 2 , y 2 ? ,则

y1 ? kx1 ?
所以 PQ ?

1 1 3k 9 , , y 2 ? kx 2 ? , x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? ? 2 2 2 1 ? 3k 4 1 ? 3k 2

?

?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2
1

?

?1 ? k ???x
2

? x 2 ? ? 4 x1 x 2
2

?

3 1 ? k 2 1 ? 4k 2 . ? 1 ? 3k 2
又因为点 A?0,1? 到直线 y ? kx ?

?

??

?

3 1 的距离 d ? , 2 2 k 2 ?1

1 9 1 ? 4k 2 PQ ? d ? 所以 ?APQ 的面积为 S ? 2 4 1 ? 3k 2

?

?

设t ?

1 1 1 ,则 0 ? t ? 1 且 k 2 ? ? , 2 3t 3 1 ? 3k

S?

9 4 1 9 t? ? ? 4 3t 3 4

4t t 2 9 1 4 2 ? ? ? ?t ? 2 ? ? . 3 3 4 3 3

因为 0 ? t ? 1 , 所以当 t ? 1 时, ?APQ 的面积 S 达到最大, 此时

1 ? 1 ,即 k ? 0 . 1 ? 3k 2 1 2

故当 ?APQ 的面积达到最大时,直线的方程为 y ? ?

36.解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,…………………… 1 分 a 2 b2

则 a ? 10 , c ? 2 .

…………………………………………2 分
第 24 页,共 30 页

所以

b ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6 , …………………………………3 分
x2 y 2 ? ? 1 . …………………………………………4 分 10 6

所以 椭圆方程为

(Ⅱ) 若直线 l ? x 轴, 则平行四边形 AOBC 中, C 与点 O 关于直线对称, 点 此时点 C 坐标为 ? 2c,0 ? . 因 为 2c ? a 直. , 所 以 点 C 在 椭 圆 外 , 所 以 直 线 与 …………………………………………6 分

x 轴 不 垂

于是,设直线的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ,点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , …7 分

? x2 y 2 ? ? 1, ? 则 ? 10 6 整理得, ? 3 ? 5k 2 ? x 2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 30 ? 0 … 8 分 ? y ? k ? x ? 2? , ?

20k 2 , x1 ? x2 ? 3 ? 5k 2
所以

………………………………………… 9 分

12k . ……………………………………… 10 分 3 ? 5k 2 因为 四边形 AOBC 为平行四边形, ??? ??? ???? ? ? 所以 OA ? OB ? OC , ……………………………………… 11 分 y1 ? y2 ? ?

? 20k 2 12k ? ,? 所以 点 C 的坐标为 ? ? , ……………………………12 分 2 3 ? 5k 2 ? ? 3 ? 5k

所以

? 20k 2 ? ? 12k ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 3 ? 5 k ? ? ? 3 ? 5k ? ? 1 , 10 6

2

……………………………13 分

解得 k 2 ? 1 , 所以 k ? ?1 .
37.解: (Ⅰ)设 C1 的方程为

………………………………14 分

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,C2 的方程为 2 ? y 2 ? 1 ,其中 a ? 1, 0 ? b ? 1...2 分 b a2

a2 ?1 ?C1 ,C2 的离心率相同,所以 2 ? 1 ? b2 ,所以 ab ? 1 ,……………………….…3 分 a

?C2 的方程为 a 2 x 2 ? y 2 ? 1 .
当 m=

3 a 3 1 3 ) ,C ( , ) . .………………………………………….5 分 时,A (? , 2 2 2 2a 2

又? AC ?

5 1 a 5 1 ,所以, ? ? ,解得 a=2 或 a= (舍), ………….…………..6 分 4 2a 2 4 2
第 25 页,共 30 页

?C1 ,C2 的方程分别为
2

x2 ? y 2 ? 1 , 4 x 2 ? y 2 ? 1 .………………………………….7 分 4

(Ⅱ)A(- a 1 ? m ,m), B(?
?

1 1 ? m2 ,m) . …………………………………………9 分 a

OB∥AN,? kOB ? k AN ,

?

1 m m ?1 ,? m ? 2 . …………………………………….11 分 ? 2 1 a ?1 2 ?a 1 ? m ? 1? m a

e2 ?

a2 ?1 1 ? e2 1 ,? a 2 ? ,? m ? . ………………………………………12 分 a2 e2 1 ? e2 1 ? e2 2 ? 1 ,? ? e ? 1.........................................................13 分 2 2 e


? 0 ? m ? 1 ,? 0 ?

x2 y 2 38. 解 : I ) 由 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 ( 2, 0) , 故 设 椭 圆 方 程 为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , ( a b

c ? 2,由e ?

2 x2 y 2 , 得a ? 2, b 2 ? 2. 所以椭圆 M 的方程为 ? ? 1. ……5 分 2 4 2

(II)当直线 l 斜率存在时,设直线方程为 y ? kx ? m , 则由 ?

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 2
2 2 2

消去 y 得, (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 4 ? 0 ,

…………………6 分

? ? 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 4) ? 8(2 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 , ①…………7 分 ( ( 设 A、B、P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) ,则:
x0 ? x1 ? x2 ? ? 4km 2m …………8 分 , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ,
……… 9 分

2 2 x0 y0 ? ?1 . 由于点 P 在椭圆 M 上,所以 4 2

从而

4k 2 m 2 2m 2 ? ? 1 ,化简得 2m2 ? 1 ? 2k 2 ,经检验满足①式. (1 ? 2k 2 ) 2 (1 ? 2k 2 ) 2

………10 分 又点 O 到直线 l 的距离为:
第 26 页,共 30 页

d?

|m| 1? k 2

?

1 2 ?k 1 1 2 2 ? 1? ? 1? ? 2 2(1 ? k ) 2 2 1? k 2

………11 分 ………12 分

当且仅当 k ? 0 时等号成立 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,

从而点 P 的坐标为 (?2,0)或(2,0) ,直线 l 的方程为 x ? ?1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1 .

所以点 O 到直线 l 的距离最小值为

2 . 2

………13 分

39.解: (Ⅰ)当 m ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,设点 E 在 x 轴上方,

? x2 y 2 ? 1, 2 2t 2 2t 4 2t ? ? ), F (1, ? ) ,所以 EF ? 由? 9 解得 E (1, . t 3 3 3 ? x ?1 ?
因为△ AEF 的面积为

1 4 2t 16 ? 4? ? ,解得 t ? 2 . 2 3 3
…………………………………………………4 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 2

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 (Ⅱ)由 ? 9 得 (2m ? 9) y ? 4my ? 16 ? 0 ,显然 m?R .…………………5 分 2 ? x ? my ? 1 ?
设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?

?4m ?16 ,………………………………………………6 分 , y1 y2 ? 2 2m ? 9 2m 2 ? 9

x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 .
y1 ? ( x ? 3), y1 6 y1 ?y ? x1 ? 3 ( x ? 3) ,由 ? ), 又直线 AE 的方程为 y ? 解得 M (3, x1 ? 3 x1 ? 3 ? x?3 ?
同理得 N (3,

???? ? 6 y2 6 y1 ???? 6 y2 ), BN ? (2, ) ,……………………9 分 ) .所以 BM ? (2, x1 ? 3 x2 ? 3 x2 ? 3 6 y1 6 y2 ) ? (2, ) [来源:Zxxk.Com] x1 ? 3 x2 ? 3

又因为 BM ? BN ? (2,

???? ???? ?

? 4?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? 4? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) (my1 ? 4)(my2 ? 4)
第 27 页,共 30 页

?

4(my1 ? 4)(my2 ? 4) ? 36 y1 y2 m2 y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16

?16(4m 2 ? 36) ? 16 ? 4m 2 ? 16 ? 4(2m 2 ? 9) ? ?32m 2 ? 16(2m 2 ? 9)

?64m2 ? 576 ? 64m2 ? 128m2 ? 576 ? ? 0 .…………………………13 分 9
所以 BM ? BN ,所以以 MN 为直径的圆过点 B . …………………………………14 分
40.解: (Ⅰ)将 E ? 2, 2 ? 代入 y ? 2 px ,得
2

???? ?

????

p ?1

2 所以抛物线方程为 y ? 2 x ,焦点坐标为 ( ,0)

1 2

………………3 分

2 y12 y2 (Ⅱ)设 A( , y1 ) , B( , y2 ) , M ( xM , y M ), N ( x N , y N ) , 2 2

法一: 因为直线 l 不经过点 E ,所以直线 l 一定有斜率 设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) 与抛物线方程联立得到 ?

? y ? k ( x ? 2)
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

ky 2 ? 2 y ? 4k ? 0
则由韦达定理得:

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ?

2 k

………………6 分 直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 ? 2 y1 ?2 2
x ? ?2
, 得 ……



yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2
理 可 得

…………9 分 同

: …

yN ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2

……………10 分
第 28 页,共 30 页

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

????

?4 ), ym
2 y1 ? 4 2 y2 ? 4 ? y1 ? 2 y2 ? 2

所以 OM ? ON ? 4 ? y M y N ? 4 ?

???? ???? ?

?4?

4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

4 ? 4) k ? 4? 4 4( ?4 ? ? 4) k ?0 4( ?4 ?
所以 OM ? ON ,即 ?MON 为定值 法二: 设直线 l 方程为 x ? my ? 2 与抛物线方程联立得到 ?

………………13 分

π 2

………………14 分

? x ? my ? 2
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

y 2 ? 2my ? 4 ? 0
则由韦达定理得:

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2m
………………6 分 直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 ? 2 y1 ?2 2
, 得 ……



x ? ?2

yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2

…………9 分 同 理 可 ………………10 分 又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2, 得 :

yN ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2

???? ?

????

?4 ), ym

???? ???? ? 4( y1 ? 2)( y2 ? 2) OM ? ON ? 4 ? y M y N ? 4 ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2)
第 29 页,共 30 页

?4?

4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

?4?

4( ?4 ? 2m ? 4) 4( ?4 ? 2m ? 4)
……

?0
…………12 分 所以 OM ? ON ,即 ?MON 为定值

π 2

………………13 分

41.

(Ⅰ)设椭圆的方程为

x2 y 2 3 ,所以 a 2 ? 4b2 , ? 2 ? 1 ,因为 e ? 2 2 a b

又因为 M (4,1) ,所以

16 1 ? 2 ? 1 ,解得 b 2 ? 5, a 2 ? 20 , 2 a b
…………………4 分

x2 y 2 ? ?1. 故椭圆方程为 20 5
(Ⅱ)将 y ? x ? m 代入

x2 y 2 ? ? 1 并整理得 5x2 ? 8mx ? 4m2 ? 20 ? 0 , 20 5
…………………7 分

?=(8m)2 -20(4m2 -20)>0, ?5 ? m ? 5 . 解得

(Ⅲ)设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 和 k 2 ,只要证明 k1 ? k2 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

8m 4m2 ? 20 , x1 x2 ? 则 x1 ? x2 ? ? . 5 5
k1 ? k2 ?

…………………9 分

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 4) ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

分子 ? ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 4) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 4) ? 2 x1 x2 ? (m ? 5)( x1 ? x2 ) ? 8(m ? 1) ? 2(4m 2 ? 20) 8m(m ? 5) ? ? 8(m ? 1) ? 0 5 5
…………………14 分

所以直线 MA MB 的斜率互为相反数. 、

第 30 页,共 30 页


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