广东省揭阳一中2012-2013学年高一下学期第二次阶段考试数学(文)试题

一、选择题(单项选择题,每小题 5 分,共 50 分) 1.Sin15? 等于 ( ) A.

6? 2 2

B.

3 2

C.

6? 2 4


D.

6? 2 4

2. sin17? sin 223? ? sin 73? cos 43? ? (
A.

1 2

B. ?

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

3.已知 ? ? (? A
7 24

?
2

, 0) , cos ? ?
? 7 24

B

C

3 ,则 tan 2? ? ( 5 24 24 D 7 7



?? π? ? ? 4.为得到函数 y ? cos ? x ? ? 的图象,只需将函数 y ? cos? x ? ? 的图象 ( 6? ? 2? ?
? 个长度单位 3 2? C.向左平移 个长度单位 3
A.向左平移 5.函数 y ? log a x

)

? 个长度单位 3 2? D.向右平移 个长度单位 3
B.向右平移 )

1 2 (a ? 0, a ? 1) 的反函数的图象过 ( , ) 点,则 a 的值为( 2 2

A. 2

B.

1 2

C. 2 或

1 2

D. 3


6.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 4 3 ,则这个圆锥的全面积是(
A. 8? 7.已知 tan? ? A. B. 12 3? C. 12? ( )

D. 9?

4 3

2 sin ? cos? 1 ,则 的值为: 2 sin 2 ? ? cos2 ? 4 B. ? C. 3 D. ? 3 3
2 2

8.已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x +y -2x=0 上的任意一点,则△ABC 的面积最小值 是( ) B.3+ 2 C.

A.3- 2

6? 2 2

D.

3? 2 2

9.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sin x 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M、N 两

点,则|MN|的最大值为 ( A. 1 B.
3

) C.
2

D.2

?(3a ? 1) x ? 4a , x ? 1 10.已知函数 f ( x) ? ? 满足:对任意实数 x1 , x 2 ,当 x1 ? x2 时,总有 ?log a x, x ? 1 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,那么实数 a 的取值范围是( 1 1 1 1 1 1 A. [ , ) B. (0, ) C. ( , ) D. [ ,1) 3 7 3 7 3 7

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
11.化简:已知

?
4

?? ?

?
2

, 则 1 ? sin2? ? _________;

A

D

12.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 (如图) ?ABC ? 45 , AB ? AD ? 1 , DC ? BC , ,
?

则这个平面图形的面积是

;

B

第 12 题图

C

13.阅读右面的程序框图,则输出的_______;

? B 14.在△ABC 中,A,B,C 是其三个内角,设 f ( B) ? 4 sin B ? cos2 ( ? ) ? cos 2 B. 当 f(B)-m<2 恒成 4 2
立时,实数 m 的取值范围是_ ________.

三、解答题(共 6 大题,共 80 分,写出详细解答过程)
15. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中 x ?R , 0 ? ? ? ? ) .
f x (1)求函数 ? ? 的最小正周期;

?? ? ?? 1? y ? f ? 2x ? ? , ? ? 6? ? ? 6 2 ? 在函数 (2)若点

的图像上,求 ?

16. (本小题满分 12 分)已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) (1)若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; (2)若| b |=

5 , 且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? . 2
π 3π π π 3 <α < ,0<β < ,cos( +α )=- , 4 5 4 4 4

17.( 本小题满分 14 分)已知

sin(

3π 5 +β )= ,求 sin(α +β )的值. 13 4

18.(本小题满分 14 分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中,

1 ?ABC ? 90 ? , SA ? 面ABCD,SA ? AB ? BC ? 1, AD ? . 2
(1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2)求证: 面SAB ? 面SBC; (3)求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值。

19.(本小题满分 14 分)已知 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,向量

a?

?

3 ,?1 , b ? (sin A, cos A) ,且 a ? b ? 1 .

?

(1)求角 A ;

(2)若

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan C . cos2 B ? sin 2 B

? a ? 2b ? 2a ? b ? 0 即 2a ? 3a ? b ? 2b ? 0

?

??

?

2

2

…………………………8 分

? 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ?

5 5 ? 0 整理得 a ? b ? ? 4 2
…………………………………………………11 分

? cos? ?

a?b a?b

? ?1

又? ? ? ?0, ? ?

?? ? ?

………12 分

即 2 sin? A ?

? ?

??

?? 1 ? ? ? 1 ,? sin? A ? ? ? ………………………………4 分 6? 6? 2 ?

而? 0 ? A ? ? ? ?

?
6

? A?

?
6

?

?A?

?
6

?

?
6

,即? A ?

?
3

5? …………………………5 分 6

…………………………………6 分

?cos B ? sin B ? ? cos B ? sin B ? 1 ? tan B ? ?3 1 ? sin 2 B ? (2)? 2 2 cos B ? sin B cos2 B ? sin 2 B cos B ? sin B 1 ? tan B
2

?解得 tan B ? 2 ……………………………………………11 分 ? tan C ? ? tan(A ? B) ? ?
tan A ? tan B 8?5 3 ? ………………………14 分 1 ? tan A ? tan B 11

20 解:(1)由题意知 (2 ? k )(1 ? k ) ? 0 ,解得: ?1 ? k ? 2 .…………………………2 分 又 k ? Z ∴ k ? 0 或 k ? 1 ,…………………………3 分 分别代入原函数,得 f ( x) ? x 2 .……………………4 分 (2)由已知得 F ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? 3 .…………………………5 分 1 要使函数不单调,则 2a ? 1 ? a ? 1,则 0 ? a ? .……………………8 分 2 2 (3)由已知, g ( x) ? ?qx ? (2q ? 1) x ? 1 .………………………………9 分 法一:假设存在这样的正数 q 符合题意, 2q ? 1 1 则函数 g ( x) 的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为 x ? ? 1? ?1, 2q 2q 因而,函数 g ( x) 在 [?1, 2] 上的最小值只能在 x ? ?1 或 x ? 2 处取得, 又 g (2) ? ?1 ? ?4 , 从而必有 g (?1) ? 2 ? 3q ? ?4 ,解得 q ? 2 . 3 此时, g ( x) ? ?2 x 2 ? 3x ? 1 ,其对称轴 x ? ? ? ?1, 2? , 4 3 3 3 17 ∴ g ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 g ( ) ? ?2 ? ( )2 ? 3 ? ? 1 ? ,符合题意. 4 4 4 8 17 ∴存在 q ? 2 ,使函数 g ( x) ? 1 ? qf ( x) ? (2q ? 1)x 在区间 [?1, 2] 上的值域为 [?4, ] 14 分 8 法二:假设存在这样的正数 q 符合题意, 由(1)知 g ( x) ? ?qx 2 ? (2q ? 1) x ? 1 , 则函数 g ( x) 的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为 x ?
2q ? 1 1 ? 1? ?1, 2q 2q


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