2014年鄂州二中高二下学期数学复习检测题(文科)答

2014 年鄂州二中高二下学期期末数学检测题(文科 )
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知复数 z ? ?1 ? 2i ,则 A.第一象限

1 在复平面上表示的点位于( B ) z
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

2.命题“存在实数 x ,使 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ”的否定是 (C ) A.对任意实数 x , 都有 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 C.对任意实数 x , 都有 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0
3 .下列有关样本相关系数的说法不正确的是(

B.不存在实数 x ,使 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 D.存在实数 x ,使 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 D )

A.相关系数用来衡量 x 与 y 之间的线性相关程度B. r ≤1 ,且 r 越接近 0,相关程度越小 C. r ≤1 ,且 r 越接近 1,相关程度越大 D. r ≥1 ,且 r 越接近 1,相关程度越大 A )

4.已知条件 p : log 2 ( x ? 1) ? 1;条件 q : | x ? 2 |? 1 ,则 p 是 q 成立的( A.充分必要条件 C.充分不必要条件 5. 设函数 f ? x ? ? e ? 3x ,则 (
x

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 D ) B. x ?

A. x ?

3 为 f ( x) 的极大值点 e

3 为 f ( x) 的极小值点 e

C. x ? ln3 为 f ( x) 的极大值点 6.设 a>b>c, n∈ N,且 A.2 B.3 C.4

D. x ? ln3 为 f ( x) 的极小值点 C )

1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值是( a?b b?c a?c
D.6

7.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,过焦点且垂直于长轴的弦长为 3 ,则椭圆的 方程是( A. A ) B.

x2 y 2 ? ?1 4 3

x2 y 2 ? ?1 4 2

C.

x2 y 2 ? ?1 5 4

D.

x2 ? y2 ? 1 2

8.如图, O 为线段 A0 A2013 外一点, 若 A0 , A1 , A2 , A3 , ? , A2013 中任意相邻两点的距离相等, OA2013 ? b OA0 ? a, 用 a, b 表示 OA0 ? OA1 ? OA2 ? OA3 ? ... ? OA2013 其结果为 ( B )
[]

1

A. 1006(a ? b) C. 2012(a ? b) 9. y

B. 1007(a ? b) D. 2014(a ? b) A ) y y

函数 f ( x) ? x ln x 的大致图像为( y

o A

1

o x B

1

x o C 1 x

o

1

x

D

10. 如果函数 f ( x) 满足: 对定义域中的任意三个数 a , b, c , 都有 f (a), f (b), f (c) 是一个三角形三边的长,

1 则 称 f ( x) 为 “ 三 角 形 函 数 ” . 在 函 数 ① y ?| x | ; ② y ? 2 x ; ③ y ? x ? (1≤ x ≤ 2) ; ④ x
“三角形函数”的个数是( y ? 4x3 ? 3x2 ? 2(0 ≤ x ≤1) 中, A. 1 B. 2 C. 3 B ) D. 4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 设函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且 f ? x ? ? x2 ? 2 x ? f ? ?1? ,则 f ? ? 0 ? 等于-4 12. 不等式 |2x- log2 x|< 2x+|log 2 x|成立,则不等式的解集为 {x | x> 1} 13.在下面等号右侧两个分数的分母方块处,各填上一个自然数,并且使这两个自然数的和最小, 1=

1 9 ? . a= a b

4

, b=

12

.

14.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是

a ? ?3 或

a ? 6
15. 已知直线 y= kx+ 1 与曲线 y= x3+ ax+ b 切于点 (1,3),则 b 的值为 16. 已知双曲线 -3 左支上一点 M 到右焦点 F 的距离为 18. N 是线段 MF 的中点,O 为坐标

原点,则 |ON|的值是 4 . 2 1 1 2 1 1 2 1 1 17. 已知 ? ? , ? ? , ? ? , 5 3 15 7 4 28 9 5 45 观察以上各等式有 :( 1)

??????

2 1 1 1 1 ; ? ? ? ? 11 6 ? 6 11 6 66 1 1 1 2 ? ? ( 2) n ≥ 3 ,且 n ? N* 时, ? 2n ? 1 2n ? 1 n n(2n ? 1)

2 ? 11

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分 )设函数 f( x) =|x+1|+|x﹣ a|( a> 0) (Ⅰ )若 a=2 时,解不等式 f( x) ≤4;
2

(Ⅱ )若不等式 f( x) ≤4 的对一切 x∈[a, 2]恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ )由于函数 f( x) =|x+1|+|x﹣ a|( a> 0) ,若 a=2 时,则不等式 f( x) ≤4 即 |x+1|+|x﹣ 2|≤4. 而由绝对值的意义可得 |x+1|+|x﹣ 2|表示数轴上的 x 对应点到﹣2 和 2 对应点的距离之和,而﹣ 和 应 点到﹣ 2 和 2 对应点的距离之和正好等于 4, 故不等式 f( x) ≤4 的解集为 [﹣ , ]. (Ⅱ )当 x∈[a, 2],不等式即 x+1+x﹣ a≤4,解得 a≥2x﹣ 3.由于 2x﹣ 3 的最大值为 2×2﹣ 3=1,∴ a≥1, 故 1≤a≤2,实数 a 的取值范围为[1, 2]. 19. (本小题满分 12 分 )设 a>b>c>1,记 M=a- c , N=a- b , P=2(
3

a?b a?b?c - ab ), Q=3( - 2 3

abc ),试找出中的最小者,并说明理由。

20. (本小题满分 12 分 )) ( 1)证明: ab+

设 a, b∈ R+, a+b=1.

≥4+ =4 ;

( 2)探索、猜想,将结果填在括号内; a b+ a3 b3 +
2 2

≥( ≥(

_________ ) ; _________ ) ;

( 3)由( 1) ( 2)你能归纳出更一般的结论吗?请证明你得出的结论. 解:设 a, b∈ R+, a+b=1. ( 1)证明: ab+ a2 b2 + ≥( ≥4+ =4 ; ( 2)探索、猜想,将结果填在括号内; 16 ) ; a3 b3 + ≥( 64 ) ;

( 3)由( 1) ( 2)你能归纳出更一般的结论吗?请证明你得出的结论. ( 1)证明:∵ a+b=1∴ ∴ ab+ =t+ ∴ 令 y=t+ 单调递减∴ 当 t= 时,有最小值 4+ = 令 ab=t 则 t∈( 0, ]

3

故 ( 2) 由( 1)归纳猜测 ( 3) 证明:令 an bn =m 由( 1)知, m 令 y= = , , ,

由( 1)知当 m= ∴ 21. (本小题满分 14 分)

时,函数有最小值

已知函数 f ( x) ? ax ? e x (其中 e 是自然对数的底数) . (Ⅰ)若函数 f ( x) 图象在点 (0, f (0)) 处的切线过点 (1,1) ,求 a 的值; (Ⅱ)当 1 ≤ a ≤ 1 ? e 时,求证: f ( x) ≤ x . 21.(Ⅰ)函数 f ( x) 图象过点 (0, ?1) ,切线斜率为 f ?(0) ?

1 ? (?1) ? 2 ,??????? 2 分 1? 0

f ( x) ? ax ? ex ? f ?( x) ? a ? ex ? f ?(0) ? a ? 1 ? 2 ,∴ a ? 3 .???????????? 6 分
(Ⅱ )令 g ( x) ? x ? f ( x) ,则 g ( x) ? e x ? (a ? 1) x . 若 a ? 1 ,则 g ( x) ? e x ? 0 ,∴ f ( x) ≤ x 成立 .????????????????? 8 分 若 1 ? a ≤ 1 ? e ,则 g ?( x) ? ex ? (a ? 1) . ∴当 x ? ln(a ? 1) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(a ? 1) 时, g ?( x) ? 0 . ∴ g ( x) 的 (??, ln(a ? 1)) 上单调递减;在 (ln(a ? 1), ??) 上单调递增 . ∴ g ( x) ≥ g (ln(a ? 1)) ? eln( a ?1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? (a ? 1)[1 ? ln(a ? 1)] .????????? 11 分 又∵ 1 ? a ≤ 1 ? e ? a ? 1 ? 0 , ln(a ? 1) ≤ ln e ? 1 , ∴ (a ? 1)[1 ? ln(a ? 1)] ≥ 0 . ∴ g ( x) ≥ 0 ,即 f ( x) ≤ x 恒成立 . 综上,当 1 ≤ a ≤ 1 ? e 时 f ( x) ≤ x .?????????????????????? 14 分 22. (本小题满分 14 分)

4

动圆 E 过点 F (1,0) ,且与直线 x ? ?1 相切,圆心 E 的轨迹是曲线 C . (Ⅰ )求曲线 C 的方程; (Ⅱ )过点 Q(4, 2) 的任意一条不过点 P(4, 4) 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点,直线 AB 与直线 y ? x ? 4 交于点 M ,记直线 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,问是否存在实数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 恒成 立?若存在,求出 ? 的值,若不存在,说明理由. y

E

O

F y

x y

22.(Ⅰ )点 E 到 A 的距离与到直线 x ? ?1 的距离相等, 所以曲线 C 是以 A 为焦点的抛物线 .设为 y 2 ? 2 px ,

p ? 1 ? p ? 2 ,故曲线 C 的方程为 y 2 ? 4 x .??????????????? 4 分 2 ( Ⅱ )设直线 AB 的斜率为 k ,则直线 AB 的方程为 y y ? 2 ? k ( x ? 4) . M ? y ? 2 ? k ( x ? 4) 4k ? 2 8k ? 2 由? 得 M( , ). A P y ? x ? 4 k ?1 k ?1 ? y Q 8k ? 2 4? y k ? 1 ? 2k ? 1 .??????? 7 分 O ∴ k3 ? 4k ? 2 3 4? k ?1
则 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .
? y ? 2 ? k ( x ? 4) ? 2 ? y ? 4x

x y

B







k 2 x2 ? (8k 2 ? 4k ? 4) x ? 16k 2 ? 16k ? 4 ? 0 .

8k 2 ? 4k ? 4 16k 2 ? 16k ? 4 .?????????????????? 9 分 , x x ? 1 2 k2 k2 y ? 4 y2 ? 4 k ( x1 ? 4) ? 2 k ( x2 ? 4) ? 2 ? ? ? ∴ k1 ? k2 ? 1 x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4
∴ x1 ? x2 ?
5

? 2k ? 2(

2( x1 ? x2 ? 8) 1 1 ? ) ? 2k ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16

8k 2 ? 4k ? 4 ? 8) 4k ? 2 k2 ? 2k ? ? 2 2 16k ? 16k ? 4 8k ? 4k ? 4 3 ? 4? ? 16 2 2 k k 2(

∴ k1 ? k2 ? 2k3 ,即 ? ? 2 .?????????????????????????? 14 分

6


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