高考数学总复习(整合考点+典例精析+深化理解)第七章 第十一节轨迹方程的求法精讲课件 文_图文

第七章 第十一节 轨迹方程的求法 用直接法求点的轨迹方程 【例1】 已知两条直线l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3 =0,有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交,且l1、l2被圆 截得的弦长分别是定值26和24,求圆心的轨迹方程. 思路点拨:弦长通常可与弦心距及半径相联系,因而 可由两个定圆心距与同一个半径的关系而得动圆圆心的几 何特征,从而进一步转化为方程. 自主解答: 解析:设动圆的圆心为 M(x,y), 半径为 r,点 M 到直线 l1,l2 的距离分别为 d1 和 d2. 由弦心距、半径、弦长间的关系得, ?? 2 ? ??2 r2-d21=26, r2-d22=24, 即?????rr22--dd1222==114649,, 消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d22-d21=25, 即?3x-123y+3?2-?2x-133y+2?2=25. 化简得(x+1)2-y2=65. 即为所求的动点 M 的轨迹方程. 点评:利用题设条件建立动点坐标x与y的关系,再等价变 形得到轨迹方程F(x,y)=0. 变式探究 1.(2012·襄阳调研)平面内动点 P(x,y)与 A(-2,0),B(2,0) 两点连线的斜率之积为41,则动点 P 的轨迹方程为( ) A.x42+y2=1 B.x42-y2=1 C.x42+y2=1(x≠±2) D.x42-y2=1(x≠±2) 解析:依题意有 kPA·kPB=14, 即x+y 2·x-y 2=41(x≠±2), 整理得x42-y2=1(x≠±2).故选 D. 答案:D 用定义法求点的轨迹方程 【例2】 如图,在平面直角坐标系中,N为圆A:(x+ 1)2+y2=16上的一动点,点B(1,0),点M是BN的中点,点P在 线段AN上,且 M→P·B→N= 0. (1)求动点P的轨迹方程; (2)试判断以PB为直径的圆与圆x2+y2=4的位置关系, 并说明理由. 自主解答: 解析:(1)由点 M 是 BN 的中点, 又M→P·B→N=0,可知 PM 垂直平分 BN, 所以|PN|=|PB|,又|PA|+|PN|=|AN|, 所以|PA|+|PB|=4>|AB|, 由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. 设椭圆方程为ax22+by22=1,其中 2a=4,2c=2, 可得 a2=4,b2=a2-c2=3. 可知动点 P 的轨迹方程为x42+y32=1. (2)设点 P(x0,y0),PB 的中点为 Q,则 Q???x0+2 1,y20???, |PB|= ?x0-1?2+y20 = x02-2x0+1+3-34x20 = 41x20-2x0+4=2-21x0, 即以PB为直径的圆的圆心为 , 半径为 r1=1-14x0,又圆 x2+y2=4 的圆心为 O(0,0), 半径 r2=2, 又|OQ|= ???x0+2 1???2+???y20???2 = 14x20+21x0+14+41???3-43x20??? = 116x20+12x0+1 =1+14x0, 故|OQ|=r2-r1,即两圆内切. 点评:根据题设条件,可以得出动点的轨迹是某种已知 曲线,则可以由该曲线的定义直接写出动点的轨迹方程. 变式探究 2 . 已 知 两 定 点 F1( - 1,0) 、 F2(1,0) , 且 |F1F2| 是 |PF1| 与 |PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是________. 解析:由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知: |PF1|+|PF2|=4>|F1F2|, 故动点 P 的轨迹是以定点 F1(-1,0)、F2(1,0)为焦点, 长轴长为 4 的椭圆,故其方程为x42+y32=1. 答案:x42+y32=1 用相关点代入法求轨迹方程 【例3】 如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一 点 , A , B 是 圆 上 两 动 点 , 且 满 足 ∠APB = 90° , 求 矩 形 APBQ的顶点Q的轨迹方程. 思路点拨:本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线 的轨迹方程.利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式 建立线段AB中点的轨迹方程. 解析:设AB的中点为R,坐标为(x1,y1), 则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|. 又因为R是弦AB的中点,依垂径定理: 在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x21+y21), 又|AR|=|PR|= ?x1-4?2+y21 , 所以有(x1-4)2+y21=36-(x21+y21), 即x21+y21-4x1-10=0, 因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,点Q即在 所求的轨迹上运动. 设 Q(x,y),因为 R 是 PQ 的中点, 所以 x1=x+2 4,y1=y+2 0, 代入方程 x21+y21-4x1-10=0,得 ???x+2 4???2+???2y???2-4·x+2 4-10=0, 整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程. 点评:相关点代入法(代入转移法):动点P(x,y)依 赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又 在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0, 再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程. 变式探究 3.M是抛物线y2=x上一动点,以OM为一边(O为原点),作 正方形MNPO,求动点P的轨迹方程. 解析:设动点 P(x,y),M(x0,y0), 因为正方形 MNPO,所以|OM|=|OP|,OP⊥OM. ?? x20+y20= x2+y2, ① 所以有???yx·yx00=-1. ② 又点 M(x0,y0)在抛物线 y2=x 上,所以 y20=x0.③ 由②得:y0=-xy0x代入③, 得 x0=xy20x22,所以 x0=yx22,④

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