知识讲解《数列》全章复习与巩固基础

如果对你有帮助,请下载使用! 《数列》全章复习与巩固 编稿:张林娟 审稿:孙永钊 【学习目标】 1.系统掌握数列的有关概念和公式; 2.掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前 n 项和公式,并运用这些知 识解决问题; 3.了解数列的通项公式 an 与前 n 项和公式 Sn 的关系,能通过前 n 项和公式 Sn 求出数列 的通项公式 an ; 4.掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】 【要点梳理】 数列的通项 an ? ???SS1n,?当Snn?1?,当1时n ? 2时 数列的递推公式 知识点一:等差数列 通项公式 1. 判定一个数列为等差数列的常用方法 等差数列 等差中项 ①定义法: an?1 ? an ? d (常数) ? {an}是等差数列; 性质 应 用 ②中项公式法: 2an?1 ? an ? an?2 (n ? N*) ?前{na项n}和是公等式差数列; 数③列通项公式法: an ? pn ? q (p,q 为常数)通?项公{a式n}是等差数列; ④前 n 项和公式法:等Sn比?数An列2 ? Bn ( A,B 为常数) ? 等比中项 {an } 是等差数列. 性质 要点诠释:对于探索性较强的问题,则应注意从特例入手,归纳猜想一般特性。 前 n 项和公式 2. 等差数列的通项公式及前数列n 项前和n 项和 通项公式: an =a1+?n 1? d 要点诠释: ① 该公式可改写为: an = d ? n+a1 d 当 d =0 时,an 是关于 n 的常函数;当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次函数;点( n an )分布 在以 d 为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点. ②通项公式的推.广.: an ? am +?n-m? d 前 n 项和公式: Sn =na1 + n?n 2 1? d= n ? a1 +an 2 ? 要点诠释: ① 该公式可改写为: Sn = d 2 n2 + ? ?? a1 d 2 ? ?? n 当 d =0 时, Sn 是关于 n 的正比例函数;当 d≠0 时, Sn 是关于 n 的二次函数(无常数 项). 1 如果对你有帮助,请下载使用! ② 在应用 Sn = n ? a1 +an 2 ? 时,注意相关性质的应用。 3. 等差数列有关性质 (1)若 m ? n ? p ? q(m、n、p、q ? N*) ,则 am ? an ? ap ? aq ; 特别地,若 m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? 2ap ; (2)若 a,b,c 成等差数列,则 a+c=2b ; (3)公差为 d 的等差数列中,连续 k 项和 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k ,… 组成新的等差数列; (4)等差数列{an},前 n 项和为 Sn : ①当 n 为奇数时, Sn ? n ? an?1 2 ; S奇 ? S偶 ? an?1 ; 2 S奇 S偶 ? n ?1 ; n ?1 ②当 n 为偶数时, Sn ? ? n ? ? ??? an 2 ? an ?1 2 2 ? ? ??? ; S偶 ? S奇 ? 1 2 dn ; S奇 S偶 ? an 2 an ?1 2 . (5)等差数列{an},前 n 项和为 Sn ,则 Sm ? Sn m?n ? Sm?n m?n ( m、n?N*,且m ? n ); ( 6 ) 等 差 数 列 {an} 中 , 若 m ? n ? p ? q(m、n、p、q ? N*,且m ? n,p ? q), 则 Sm ? Sn ? Sp ? Sq ; m?n p?q (7)等差数列 {an}中,公差 d ,依次每 k 项和: Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 成等差数列, 新公差 d ' ? k2d . 4. 等差数列前 n 项和 Sn 的最值问题: 等差数列 {an } 中 ① 若 a1 >0, d <0, Sn 有最大值,可由不等式组 ?an ? 0 ??an?1 ? 0 来确定 n ; ② 若 a1 <0, d >0, Sn 有最小值,可由不等式组 ?an ? 0 ??an?1 ? 0 来确定 n ,也可由前 n 项和 公式 Sn ? d 2 n2 ? (a1 ? d )n 2 来确定 n . 要点诠释:等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 知识点二 :等比数列 1. 判定一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法: an ?1 an ? q ( q 是不为 0 的常数, n ∈N*) ? {an}是等比数列; 2 如果对你有帮助,请下载使用! (2)通项公式法: an ? cqn (c、q 均是不为 0 的常数 n ∈N*) ? {an}是等比数列; (3)中项公式法: a2 n ?1 ? an ? an?2 ( an ? an?1 ? an?2 ? 0 , n? N * ) ? {an}是等比数列. 2. 等比数列的通项公式及前 n 项和 通项公式: an ? a1 ? qn?1 (n ? N *,a1 ? q ? 0) 要点诠释: ① 该公式可改写为: an ? a1 ? qn q q ? 0且q ? 1时,是关于 n 的指数型函数; q ? 1 时,是常数函数; ② 推广: an ? am ? qn?m . ?na1 前 n 项和公式: Sn ? ? ? a1 (1 ? q n ) ? ? 1? q ? a1 ? anq 1? q (q ? 1) (q ? 1) 要点诠释: ①在求等比

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