2017-2018学年高中数学第一章+§1.1 正弦定理和余弦定理+1.1.1(一)+Word版含答案

1.1.1 学习目标 正弦定理(一) 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解最 新试卷十年寒窗苦,踏上高考路,心态放平和,信心要十足,面对考试卷,下笔如有神,短信送祝福,愿你能高中,马到功自成,金榜定题名。 决简单的解三角形问题. 知识点一 正弦定理的推导 思考 1 如图,在 Rt△ABC 中, 、 、 各自等于什么? sinA sinB sinC a b c 答案 = = =c. sinA sinB sinC = = 还成立吗?课本是如何说明的? sinA sinB sinC a b c 思考 2 在一般的△ABC 中, 答案 在一般的△ABC 中, =asinB 来证明. a b c 仍然成立,课本采用边 AB 上的高 CD=bsinA sinA sinB sinC = = a b c 梳理 任意△ABC 中,都有 = = ,证明方法除课本提供的方法外,还可借助三 sinA sinB sinC 角形面积公式,外接圆或向量来证明. 知识点二 正弦定理的呈现形式 1. = = =2R(其中 R 是△ABC 外接圆的半径); sinA sinB sinC a b c a b c 2.a= bsinA csinA = =2RsinA; sinB sinC a b c 3.sinA= ,sinB= ,sinC= . 2R 2R 2R 知识点三 解三角形 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 类型一 定理证明 例 1 在钝角△ABC 中,证明正弦定理. 证明 如图,过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,D 是 BA 延长线上一点, 根据正弦函数的定义知: CD CD =sin∠CAD=sin(180°-A)=sinA, =sinB. b a ∴CD=bsinA=asinB.∴ . sinA sinB a = b 同理, = .故 = = . sinB sinC sinA sinB sinC 反思与感悟 (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系,充分挖掘这些联系可以使你理 解更深刻,记忆更牢固. (2)要证 = ,只需证 asinB=bsinA,而 asinB,bsinA 都对应 CD.初看是神来之笔, sinA sinB 仔细体会还是有迹可循的,通过体会思维的轨迹,可以提高我们的分析解题能力. 跟踪训练 1 如图,锐角△ABC 的外接圆 O 半径为 R,证明 =2R. sinA b c a b c a b a 证明 连接 BO 并延长,交外接圆于点 A′,连接 A′C, 则圆周角∠A′=∠A. ∵A′B 为直径,长度为 2R, ∴∠A′CB=90°, ∴sinA′= BC a = , A′B 2R a ∴sinA= ,即 =2R. 2R sinA 类型二 用正弦定理解三角形 例 2 在△ABC 中,已知 A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形. 解 根据三角形内角和定理,C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°. 根据正弦定理,得 b= 根据正弦定理,得 c= a asinB 42.9sin81.8° = ≈80.1(cm); sinA sin32.0° asinC 42.9sin66.2° = ≈74.1(cm). sinA sin32.0° a b b c a c 反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式: = , = , = ,每 sinA sinB sinB sinC sinA sinC 个等式涉及四个元素, 所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)具体地说,以下两种情形适用正弦定理: ①已知三角形的任意两角与一边; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角. 跟踪训练 2 在△ABC 中,已知 a=18,B=60°,C=75°,求 b 的值. 解 根据三角形内角和定理, A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 根据正弦定理,得 b= 类型三 边角互化 命题角度 1 化简证明问题 例 3 在任意△ABC 中,求证:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0. 证明 由正弦定理,令 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC,k>0.代入得: 左边=k(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB)=0=右边, 所以等式成立. 命题角度 2 运算求解问题 asinB 18sin60° = =9 6. sinA sin45° π 例 4 在△ABC 中,A= ,BC=3,求△ABC 周长的最大值. 3 解 设 AB=c,BC=a,CA=b. a b c 3 由正弦定理,得 = = = =2 3. sinA sinB sinC π sin 3 ∴b=2 3sinB,c=2 3sinC, a+b+c=3+2 3sinB+2 3sinC =3+2 3sinB+2 3sin? =3+2 3sinB+2 3? ?2π -B? ? ? 3 ? 1 ? 3 ? cosB+ sinB? 2 ?2 ? ? π? =3+3 3sinB+3cosB=3+6sin?B+ ?, 6? ? π ∴当 B= 时,△ABC 的周长有最大值 9. 3 反思与感悟 利用 = = =2R 或正弦定理的变形公式 a=ksinA,b=ksinB,c sinA sinB sinC =ksinC(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化. 跟踪训练 3 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 A∶B∶C=1∶2∶3,求 a∶ a b c b∶c 的值. 解 ∵A+B+C=π ,A∶

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