高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)9 直线圆与圆锥 文

各地解析分类汇编:直线圆、圆锥曲线
1 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 文 】 已 知 两 条 直 线 y ? ax ? 2 和

3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于(
A.1 或-3 【答案】A B.-1 或 3 C.1 或 3

) D.-1 或 3

【解析】 因为直线 y ? ax ? 2 的斜率存在且为 a , 所以 ?(a ? 2) ? 0 , 所以 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 的斜截式方程为 y ?

3 1 3 1 x? ?a且 ? ?2 ,解得 ,因为两直线平行,所以 a?2 a?2 a?2 a?2

a ? ?1 或 a ? 3 ,选 A.
2 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】在平面直角坐标系 xOy 中,直线

3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于
A. 3 3 【答案】B 【 解 析 】 圆 心 到 直 线 的 距 离 d?
2 2 2 A B ? 4 ( R ? d) ? 4 ( ? 4

B. 2 3

C. 3

D.1

?5 32 ? 42

? 1 , 所 以 R 2 ? d 2? (

AB 2 ) ,即 2

1 ,所以2 ? 12 ? 2 3 ,选 B. ?) 1 AB

3 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】 已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x -2y 十 2=0 平行,则 tan 2 ? 的值 A.

4 5

B.

4 3

C.

3 4

D.

2 3

【答案】B 【 解 析 】 直 线 的 斜 率 为

1 1 , 即 直 线 l 的 斜 率 为 k ? tan ? ? , 所 以 2 2

1 2 t a n ? 4 2 ? ? 1 ,选 B. t a n 2 ?? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 1 )2 3 3 2 4 2?
4 【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】直线 x ? y ? 1 ? 0 被圆 x 截得的弦长为 ( A.
1 2
2

? y2 ? 1 所

) B.1 C.
2 2

D. 2

【答案】D

【 解 析 】 圆 心 到 直 线 的 距 离 为

d?

1 2 ? 2 2

, 则 弦 长 为

2 2 r2 ? d ? 2 1? (

2 2 2 ) ? 2? ? 2 ,选 D. 2 2

5 【 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 文 】 直 线 ax ? y ? 3 ? 0 与 圆

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相交于 A 、 B 两点且 AB ? 2 3 ,则 a ? __________________
【答案】0 【 解 析 】 圆 的 圆 心 为 M (1, 2) , 半 径 r ? 2 。 因 为 AB ? 2 3 , 所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离

d ? r2 ? (

AB 2

)2 ? 4 ? ( 3)2 ? 1 , 即

a?2?3 a ?1
2

? 1 , 所 以 a ? 1 ? a2 ? 1 , 平 方 得

a 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ? 1 ,解得 a ? 0 。

x2 y2 6【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】椭圆 ? ? 1 的焦距为 16 9
A.10 【答案】D 【解析】 由题意知 a 2 ? 16, b2 ? 9 , 所以 c ? a ? b ? 7 , 所以 c ?
2 2 2

B.5

C. 7

D. 2 7

即焦距为 2c ? 2 7 , 7,

选 D. 7 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 文 】 已 知 点 F , F2 分 别 是 双 曲 线 1

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两 a 2 b2
点,若 ?ABF2 是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( A. ( 2 ?1, ??) 【答案】C B. ( 3 ? 1, ??) C. (1 ? 2, ??) )

D. (1,1 ? 2)

b2 ? 2c , 【解析】 由题设条件可知△ABC 为等腰三角形,只要∠AF2B 为钝角即可,所以有 a
即 b ? 2ac ,所以 c ? a ? 2ac ,解得 e ? 1 ? 2 ,选 C.
2 2 2

8【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线

x2 ?

y2 ? 1的离心率是 m





A.

3 2

B. 5

C.

3 或 5 2

D.

3 5 或 2 2

【答案】C 【解析】因为 m 是 2 和 8 的等比中项,所以 m ? 16 ,所以 m ? ?4 ,当 m ? 4 时,圆锥曲线
2

y2 y2 3 2 ? 1,离心率为 ? 1 ,离心 为椭圆 x ? ,当 m ? ?4 时,圆锥曲线为双曲线 x ? 4 4 2
2

率为 5 ,所以综上选 C.

9【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

的两条渐近线均与 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切,则该双曲线离心率等于

A.

3 5 5

B.

6 2

C.

3 2

D.

5 5

【答案】A
2 2 【解析】圆的标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 4 ,所以圆心坐标为 C (3, 0) ,半径 r ? 2 ,双曲线的

渐近线为 y ? ?

b b x ,不妨取 y ? x ,即 bx ? ay ? 0 ,因为渐近线与圆相切,所以圆心 a a

到 直 线 的 距 离 d?

3b a ?b
2 2

( ) ? 2 , 即 9b2 ? 4 a2? b2 , 所 以 5b2 ? 4a 2 ,

b2 ?

4 2 9 9 3 5 a ? c 2 ? a 2 ,即 a 2 ? c 2 ,所以 e2 ? , e ? ,选 A. 5 5 5 5
2

10 【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考文】直线 l 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点, 且交抛物线于 A, B 两点,交其准线于 C 点,已知 | AF |? 4, CB ? 3BF ,则 p ? ( A. )

2

B.

4 3

C.

8 3

D.

4

【答案】C 【 解 析 】 过 A,B 分 别 作 准 线 的 垂 线 交 准 线 于 E,D. 因 为

| AF |? 4, CB ? 3BF

,所以

AE ? 4, CB ? 3 BF ,且 BF ? BD ,设 BF ? BD ? a ,则 BC ? 3a ,根据三角形的相

似性可得

BD AE

?

CB

AC

,即

GF a 3a ? = ,解得 a?2 ,所以 AE 4 3 ?a? 4 a

CF

AC

,即

p 3a ? a 4a 4a 8 = ? ? ,选 C. ,所以 p ? 4 3a ? a ? 4 4a ? 4 a ?1 3

11 【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】过椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2

的左焦点 F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若 ?F PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率 1 1 为 ( ) A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

【答案】B 【解析】由题意知点 P 的坐标为(-c,

b2 b2 ),或(-c,) ,因为 ?F PF2 ? 60? ,那么 1 a a

2c 3 ? 3 ? 2ac ? 3b 2 ,这样根据 a,b,c 的关系式化简得到结论为 ,选 B 2 b 3 a
12 【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】已知抛物线方程为 y ? 4 x ,直线 l 的
2

方程为 x ? y ? 4 ? 0 , 在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1 , 到直线 l 的距离为 d2 , P 则 d1 ? d 2 的最小( )

A.

5 2 ?2 2

B.

5 2 ?1 2

C.

5 2 ?2 2

D.

5 2 ?1 2

【答案】D 【解析】因为抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,所以焦点坐标 F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 。因为点 P

到 y 轴 的 距 离 为 d1 , 所 以 到 准 线 的 距 离 为 d1 ? 1 , 又 d1 ? 1 ? PF , 所 以

d1 ? d2 ? d1 1 ? d2 1? ?

?P F ?2d ? 1 ,焦点到直线的距离 d ?

1? 0 ? 4 2

?

5 5 2 ,而 ? 2 2

PF ? d 2 ? d ?

5 2 5 2 ,所以 d1 ? d 2 ? PF ? d2 ? 1 ? ? 1 ,选 D. 2 2

x2 y 2 13 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】已知椭圆: ? ? 1(0 ? b ? 2) , 4 b2
左右焦点分别为 F,F2 ,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若 | BF2 | ? | AF2 | 的最大值为 5, 1 则 b 的值是 A.1 【答案】D 【解析】由题意知 a ? 2 ,所以 |BF2 | ? | AF2 | ? AB ? 4a ? 8 因为 |BF2 | ? | AF2 | 的最大值为 5,所以 AB 的最小值为 3,当且仅当 AB ? x 轴时,取得最小值,此时 A(?c, ), B( ?c, ? ) , B. 2 C.

3 2

D. 3

3 2

3 2

代入椭圆方程得

c2 9 4 ? b2 9 2 2 2 2 4 ? 2 ? 1 , 又 c ? a ? b ? ? b, 所 以 ? 2 ?1 , 即 4 4b 4 4b

1?

b2 9 b2 9 2 ? 2 ? 1 ,所以 ? 2 ,解得 b ? 3 ,所以 b ? 3 ,选 D. 4 4b 4 4b
2

14 【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】抛物线 y ? 16x 的准线 为 【答案】 ?4 【解析】在抛物线中 2 p ? 16, p ? 8 ,所以准线方程为 x ? ?

p ? ?4 。 2
2

15 【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文】以抛物线 y ? 8x 的顶点为中心, 焦点为右焦点,且以 y ? ? 3x 为渐近线的双曲线方程是___________________

y2 ?1 【答案】 x ? 3
2

【解析】抛物线的焦点为 (2, 0) ,即双曲线的的焦点在 x 轴,且 c ? 2 ,所以双曲线的方程可

设为

b b x2 y 2 ? 2 ? 1 , 双 曲 线 的 渐 近 线 为 y ? ? x ? ? 3 x , 得 ? 3 , 所 以 b ? 3a , 2 a a a b

b2 ? 3a 2 ? c 2 ? a 2 ,即 4a 2 ? c 2 ? 4 ,所以 a 2 ? 1, b2 ? 3 ,所以双曲线的方程为 x 2 ?

y2 ? 1。 3

16 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)文】如图 4,椭圆的中心在坐标原点,

F 为左焦点, A 、 B 分别为长轴和短轴上的一个顶点,当 FB ? AB 时,此类椭圆称为“黄
金椭圆” .类比“黄金椭圆” ,可推出“黄金双曲线”的离心率为 .

【答案】

1? 5 2

【解析】由图知, (a ? c)2 ? (b2 ? c2 ) ? c2 ,整理得 c 2 ? ac ? a 2 ? 0 ,即 e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得
e? 1? 5 1? 5 ,故 e ? . 2 2
2

17 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的动 点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是(4,a) ,则当 | a |? 4 时,| PA | ? | PM | 的 最小值是 【答案】 a2 ? 9 ?1 【解析】当 x ? 4 时, y 2 ? 4 ? 4 ? 16 ,所以 y ? ?4 ,即 y ? 4 ,因为 | a |? 4 ,所以点 A 在 。

抛物线的外侧,延长 PM 交直线 x ? ?1 ,

由抛物线的定

义可知 PN ? PM ?1 ? PF ,当,三点 A, P, F 共线时, | PA | ? | PF |最小,此时为

| PA | ? | PF |? AF ,又焦点坐标为 F (1, 0) ,所以 AF ? (4 ? 1)2 ? a2 ? 9 ? a2 ,即 PM ? 1 ? PA 的最小值为 a2 ? 9 ,所以 PM ? PA 的最小值为 a2 ? 9 ?1。
18 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】 (本小题满分 12 分)设 F,F2 分别 1

x2 y 2 ? 是椭圆: 2 ? 2 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点, F1 倾斜角为 45 的直线 l 与该椭圆相交于 P,Q 过 a b
两点,且 | PQ |?

4 a. 3

(Ⅰ)求该椭圆的离心率;

? (Ⅱ)设点 M (0, 1) 满足 | MP |?| MQ | ,求该椭圆的方程。
2 2 【答案】 (Ⅰ) 解: 直线 PQ 斜率为 1, 设直线 l 的方程为 y ? x ? c , 其中 c ? a ? b .????

2分 设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 P, Q 两点坐标满足方程组

?y ? x ? c ? 2a 2c ? 2 2 化简得 (a 2 ? b2 ) x2 ? 2a 2cx ? a 2 (c2 ? b2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 2 , ?x y a ? b2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

x1 x2 ?

a 2c 2 ? b 2 . a 2 ? b2
4 | PQ |? 2 | x2 ? x1 |? 2[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? a 3 .??????6 分

因为,所以

4 4ab2 2 2 得 a? 2 ,故 a ? 2b , 2 3 a ?b
c a 2 ? b2 2 所以椭圆的离心率 e ? ? . ????????8 分 ? a a 2
(Ⅱ)设 PQ 的中点为 N ( x0 , y0 ) ,由(1)知 x0 ? 由 | MP |?| MQ | 得 kMN ? ?1. 即

x1 ? x2 ? a 2c 2 c ? 2 2 ? ? c, y0 ? x0 ? c ? . 2 3 3 a ?b

????????10 分

y0 ? 1 x2 y2 ? 1 ????12 分 ? ?1 ,得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2 , b ? 3 .故椭圆的方程为 ? 18 9 x0

19 【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 文科】 (本小题满分 12 分)

如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x =4y 相切于点 A。 (1) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 【答案】 (I)由 ?

2

?y ? x ?b ?x ? 4 y
2

2 得 x ? 4 x ? 4b ? 0

(? )

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4)2 ? 4 ? (?4b) ? 0 ,解得 b ? ?1 ????5 分
2 (II)由(I)可知 b ? ?1 ,故方程( ? )即为 x ? 4 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 ,将其代入 x2 ? 4 y ,

得 y=1,故点 A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的 距离等于圆 A 的半径 r,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ??.12 分 20 【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】 (本小题满分 13 分)

x2 y 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . a b
(1)若椭圆的长轴长为 4,离心率为

3 ,求椭圆的标准方程; 2

(2)在(1)的条件下,设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B, 且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; 【答案】 (1)椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1???6 分 4

21 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】 (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 短轴一个端到右焦点的距离为 3 。 2 a b 3

(1)求椭圆 C 的方程: (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 的最大值。 【答案】

3 ,求△AOB 面积 2

22 【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考文】 (本小题满分 12 分)已知定点 A(1, 0) 和定直 线 x ? ?1上的两个动点 E 、 F ,满足 AE ? AF ,动点 P 满足 EP // OA, FO // OP (其中 o 为坐标 原点). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 B(0, 2) 的直线 l 与(1)中轨迹 C 相交于两个不同的点 M 、 N ,若 AM ? AN ? 0 ,求直 线 l 的斜率的取值范围. 【答案】解: (1)设 P( x, y), E(?1, y1 ), F (?1, y2 )( y1 、 y 2 均不为 0) 由 EP // OA y1 ? y,即E(?1, y) ????????????2 分 得 由 FO // OP得y 2 ? ?

y y , 即 F ( ?1,? ) ????????????4 分 x x
2

由 AE ? AF 得 AE ? AF ? 0 ? (2,? y1 ) ? (2, y2 ) ? 0 ? y1 y2 ? ?4 ? y ? 4x( x ? 0) ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x( x ? 0) ????????6 分
2

(2)设直线 l 的方程 y ? kx ? 2(k ? 0), M (

y12 y2 , y1 ), N ( 2 , y 2 ) 4 4

联立得 ?

? y ? kx ? 2 消去x得ky 2 ? 4 y ? 8 ? 0 2 ? y ? 4x

? y1 ? y 2 ?

4 8 , y1 y 2 ? , ????????????8 分 k k 1 且 ? ? 16 ? 32 k ? 0即k ? . 2

? AM ? AN ? (
?

y12 y2 y2 y2 ? 1, y1 ) ? ( 2 ? 1, y 2 ) ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? y1 y 2 4 4 4 4

2 2 y1 y 2 1 2 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? y1 y 2 ? 1 16 4

?

4 1 16 16 8 k ? 12 ? ( 2 ? ) ? ?1 ? 2 4 k k k k k

??????????10 分 ????????????12 分

? AM ? AN ? 0,? ?12 ? k ? 0.

23 【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文】 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a2 b2

右 焦 点 为 F , 椭 圆 C 与 x 轴 正 半 轴 交 于 A 点 , 与 y 轴 正 半 轴 交 于 B(0,2) , 且

BF ? BA ? 4 2 ? 4 ,过点 D(4,0) 作直线 l 交椭圆于不同两点 P, Q
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求直线 l 的斜率的取值范围; (3)若在 x 轴上的点 M (m,0) ,使 MP ? MQ ,求 m 的取值范围。 【答案】解:? b ? 2

A(a,0) F (0,0) B(0,2)

? BF ? BA ? 4 2 ? 4 ,?ac ? 4 2
a 2 ? c 2 ? 4 ? a 4 ? 4a 2 ? 32 ? 0 ,

(a 2 ? 8)(a 2 ? 4) ? 0
?a2 ? 8 c 2 ? 4 ,?

x2 y2 ? ?1 8 4

(2) ? x 2

? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 2 2 , (1 ? 2k ) x ? 16k x ? 32k ? 8 ? 0 y2 ? ?1 ?8 4 ?

? ? ? 0 ,? (16k 2 ) 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(32k 2 ? 8) ? 0
8k 4 ? 4k 2 ? 8k 4 ? 1 ? 2k 2 ? 0 , 2k 2 ? 1 , ?

2 2 ?k? 2 2

(3)? MP ? MQ ,? M 在 PQ 中垂线上, PQ 中点 N (

8k 2 ? 4k , ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

PQ 中垂线

24 【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考文】 (本题 12 分)如图所示,已知椭圆 C1 和抛 物线 C 2 有公共焦点 F (1,0) , C1 的中心和 C 2 的顶点都在坐标原点, 过点 M (4,0) 的直线 l 与抛物线 C 2 分别相交于 A, B 两点 (Ⅰ)写出抛物线 C 2 的标准方程; (Ⅱ)若 AM ?

1 MB ,求直线 l 的方程; 2

(Ⅲ)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C 2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭 圆 C1 的长轴长的最小值。

【答案】解: (1)

(2)设

(3)

椭圆设为

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25 【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】 (本题满分 12 分)已知椭圆的中心在

原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴 上的截距为 m(m≠0) l 交椭圆于 A、B 两个不同点。 , (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

x2 y2 【答案】解: (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
?a ? 2b ? 2 ? ?a ? 8 解得? 2 则? 4 1 ? 2 ?1 ?b ? 2 ?a2 b ? ?

x2 y2 ? ?1 ∴椭圆方程为 8 2
1 2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m ; 又 KOM=

? l的方程为: y ?

1 x?m 2

1 ? ?y ? 2 x ? m ? ? x 2 ? 2m x ? 2m 2 ? 4 ? 0 由? 2 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?
∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) ? 0, 解得 ? 2 ? m ? 2, 且m ? 0
(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4

2 2 由 x ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0 可得

而 k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)(x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)(x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? ? x1 x 2 ? (m ? 2)(x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2)

?

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ?0 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

? k1 ? k 2 ? 0
故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 26 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)文】 (本小题满分 12 分)已知直线

y ? ? x ? 1 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、 B 两点. a 2 b2

(1)若椭圆的离心率为

2 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 2
?1 2? ? 时, 2 ?

(2) 若向量 OA 与向量 OB 互相垂直 (其中 O 为坐标原点) 当椭圆的离心率 e ? ? , ,

??? ?

??? ?

?2

求椭圆长轴长的最大值. 【答案】解: (Ⅰ) e ?
2 ,2c ? 2 , a ? 2 ,c ? 1 , ? 2

则b ? a2 ? c2 ? 1 ,

?椭圆的方程为

x2 ? y=1 , 2

? x2 ? ? y =1 , 联立 ? 2 消去y得: x 2 ? 4 x ? 0 , A( x1,y1 ), B( x2,y2 ) , 3 设 ? y ? ? x ? 1, ?
1? 4 ?4 2. 则 A ? , ? ? , B(0, 1), ? AB ? 3 3? 3 ?

????????????????? 分) (6

(Ⅱ)设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) .

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?OA ? OB , OA? =0 , x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , ? OB 即

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由 ? a 2 b2 消去y得(a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 , ? y ? ? x ? 1, ?

由?=(?2a2 )2 ? 4a2 (a2 ? b2 )(1 ? b2 ) ? 0 ,整理得 a 2 ? b2 ? 1 ,
又x1 ? x2 ? a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ,x1 x2 ? 2 , a 2 ? b2 a ? b2

? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 +x2 )+1 ,
由x1 x2 ? y1 y2 ? 0 得2x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,

?

2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? 2 ?1? 0 , a 2 ? b2 a ? b2

整理得:a2 ? b2 ? 2a2 b2 ? 0 , ? b2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 e 2 , 代入上式得
2a 2 ? 1 ? 1 1? 1 , a 2 ? ?1 ? ? 2 ? 1 ? e2 1 ? e2 ? ?, ?

1 2 1 1 ? ≤e≤ , ≤ e2 ≤ , ? 2 2 4 2

1 3 4 1 ? ≤1 ? e2 ≤ , ≤ ? ≤ 2, 2 4 3 1 ? e2 7 1 ? ≤1 ? ≤3 , 3 1 ? e2 7 3 ? ≤ a2 ≤ , 适合条件a2 ? b2 ? 1, 6 2

由此得

42 6 42 ≤a≤ , ? ≤ 2a ≤ 6 , 6 2 3

故长轴长的最大值为 6 .

?????????????????????? (12 分)


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