湖北省荆州中学2015-2016学年高二数学3月阶段性考试试题 文

湖北省荆州中学 2015-2016 学年高二数学 3 月阶段性考试试题 文
一、选择题:(本 大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知 b 是实数,若 A.2

1 ? bi 是纯虚数,则 b=( 2?i
B.﹣2
2

) C.

1 2
)
2

D. ?

1 2

2.已知命题 P:? x0∈R,x0 +2x0+2≤0,则¬p 是( A.? x0∈R,x0 +2x0+2>0 C.? x∈R,x +2x+2>0
2 2

B.? x∈R,x +2x+2≤0 D.? x∈R,x +2x+2≥0
2

3.我校三个年级共有 24 个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为 1 到 24,现用 系统抽样方法,抽取 4 个班进行调查,若抽到编号之和为 48,则抽到的最小编号为( A.2 B.3 x y 0 2.2 C.4 1 4.3 ) C.4.5 ) D.4.4 D.5 2 t 3 4.8 4 6.7 )

4.已知具有线性相关的两个变量 x,y 之间的一组数据如表:

且回归方程是 =0.95x+2.6,则 t=( A.4.7 B.4.6

5.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是(

①y=cosx(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=cosx(x∈R)是周期函数. A.①②③
2

B.②①③

C.②③①

D.③②① )

6.过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A (x1, y1) , B (x2, y2) , 如果 x1+x2=6, 那么|AB|=( A.8 B.10 C.6 D.4

7. 函数 f(x)=exsinx 的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为(
A.0 B. C.1 D.



8.对于曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 ,给出下面四个命题: 4 ? k k ?1
5 ; 2

(1)曲线 C 不可能表示椭圆; (2)若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1 ? k ?

1

(3)若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; (4)当 1<k<4 时曲线 C 表示椭圆,其中正确的是( A. (2) (3) B. (1) (3) C. (2) (4) ) D. (3) (4) )

9.设函数 f(x)在 x=x0 处可导,则 A.与 x0,h 都有关 C.仅与 h 有关而与 x0 无关

lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ( h
B.仅与 x0 有关而与 h 无关 D.与 x0、h 均无关

10.若函数 f ( x) ? ln x ? 2x 2 ? ax 存在与直线 2x-y=0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( ) A. ?? ?,?6? D. ?? ?,?6? ? ?2,??? 11.若方程 x3﹣3x+m=0 在[0,2]上只有一个解,则实数 m 的取值范围是( ) A.[﹣2,2] B.(0,2] C.[﹣2,0)∪{2} D. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) B.

?? ?,?6?? ?2,???

C. ?2,???

x2 y2 2 12.已知双曲线 C1: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 也是抛物线 C2: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,C1 a b
与 C2 的一个交点为 P,若 PF⊥x 轴,则双曲线 C1 的离心率为( A. 2 ? 1 B. 2 2 C. 2 2 ?1 ) D. 3 ? 1

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 13.函数 f(x)=(x +x+1)e (x∈R)的单调减区间为 14.正偶数列有一个有趣的现象: (1)2+4=6; (2)8+10+12=14+16; (3)18+20+22+ 24=26+28+30,按照这样的规律,则 72 在第 个等式中.
2 x



15.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f′(x)>1﹣f(x) ,f(0)=6,f′(x)是 f(x)的导函数,则 不等式 e f(x)>e +5(其中 e 为自然对数的底数)的解集为 16.已知椭圆 C :
x x



x2 y2 ? ? 1(a ? 2 ) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 e ,直线 l : y ? ex ? a , P 为点 a2 2


F1 关于直线 l 对称的点,若 ?PF1 F2 为等腰三角形,则 a 的值为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆; 17.(本题 10 分)已知命题 p:方程 2m m ? 1

2

命题 q:m ﹣15m<0,若 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,求 m 的取值范围.

2

18.(本题 12 分)某校高三数学竞赛初 赛考试后,对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统计,其频率 分布直方图如图所示.若 130~140 分数段的人数为 2 人. (1)求这组数据的平均数 M; (2)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、?、第五组) 中任意选 出两人,形成帮扶学习小组.若选出的两人成绩之差大于 20,则称这两人为“黄金搭档组”, 试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率.

19.(本题 12 分)某电视台推出某种游戏节目,规则如下:选手面对 1-8 号 8 扇大门,依次按响门上的 门铃,门铃会播放一段流行歌曲,选手需正确回答出这首歌的名字,方可获 得该扇门对应的家庭梦想 基金.在一次场外调査中,得到如下 2x2 列联表 正 误 年龄 [20,30) [30,40] 合计 正确 10 10 20 错误 30 70 100 合计 40 80 120 附

P( K 2 ? k0 )

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

k0

(Ⅰ) 判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称与年龄

有关,说明你的理由; (Ⅱ)若在这次场外调査中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手,并从中抽取两名幸运选手, 求两名幸运选手不在同一年龄段的概率.(视频率为概率) (参考公式:其中 K ?
2

n(ad ? bc)2 , n ? a ? b ? c ? d. ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20. (本题 12 分)观察下题的解答过程:已知正实数 a , b 满足 a ? b ? 1 ,求 2a ? 1 ? 2b ? 1 的最大

3

值.

( 2a ? 1) 2 ? 2 3 解:? 2a ? 1 ? 2 ? ?a? 2 2

2

2b ? 1 ? 2 3 , 2b ? 1? 2 ? ?b? 2 2

2

2

相加得 2a ? 1 ? 2 ? 2b ? 1 ? 2 ? 2 ( 2a ? 1 ? 2b ? 1) ? a ? b ? 3 ? 4

? 2a ?1 ? 2b ?1 ? 2 2, 等号在 a ? b ?
请类比上题解法,使用综合法证明下题:

1 时取得, 即 2a ? 1 ? 2b ? 1 的最大值为 2 2 2

已知正实数 x, y , z 满足 x ? y ? z ? 2 ,求证: 2x ? 1 ? 2 y ? 1 ? 2z ? 1 ? 21

21.(本题 12 分)设 M 是焦距为 2 的椭圆 E:

+

=1 (a>b>0)上一点,A、B 是椭圆 E 的左、右

顶点,直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=﹣ . (1)求椭圆 E 的方程; (2)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)上点 N(x0,y0)处切线方程为 + =1,若 P 是直

线 x=2 上任意一点,从 P 向椭圆 E 作切线,切点分别为 C、D,求证直线 CD 恒过定点,并求出该定点坐 标.

22.(本题 12 分)已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=2 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)设函数 h(x)=f(x)+ ,求函数 h(x)的单调区间;

4

荆州中学高二年级下学期第一次质量检测数学卷(文科) 参考答案 1-5ACBCB,6-10 ABABC.11-12 CA. 13. ?? 2,?1? 14.6 15. ?0,??? 16. 3

17 解:命题 p 为真命题时,将方程 只有当 1﹣m>2m>0,即 0 ? m ?

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 改写为 ? ?1, 2m m ? 1 2m 1 ? m

1 时,方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆, 3

若命题 q 为真命题时,0<m<15, ∵p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,∴p,q 中有一真一假;

当 p 真 q 假时, 综上:m 的取值范围为

无解;当 p 假 q 真时,

,解得

1 ? m ? 15 3

1 ? m ? 15 3

18.解: (Ⅰ)由频率分布直方图可知:90~100 分的频率为 0.1,100~110 分的频率为 0.25,110~120 分的频率为 0.45,120~130 分的频率为 0.15,130~140 分的频率为 0.05; ∴这组数据的平均数 M=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113(分) (Ⅱ)∵第五组 130~140 分数段的人数为 2 人, 频率为 0.05;故参加的总人数为 2÷0.05=40 人. 第一组共有 40×0.01×10=4 人,记作 A1、A2、A3、A4; 第五组共有 2 人, 记作 B1、B2 从第一组和第五组中任意选出两人共有下列 15 种选法:{A1,A2}、{A1,A3}、 {A1,A4}、{A2,A3}、{A2,A4}、{A3,A4};{A1,B1}、{A2,B1}、{A3,B1}、 {A4,B1};{A1,B2}、{A2,B2}、{A3,B2}、{A4,B2};{B1,B2}. 共有 15 种结果, 设事件 A:选出的两人为“黄金搭档组” . 若两人成绩之差大于 20,则两人分别来自于第一组和第五组,共有 8 种选法,故 P(A)=

8 . 15

18. (1)由 所以有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关。 ???????6 分

(2)设事件 A 为两名幸运选手不在同一年龄段,由已知得 20~30 岁之间的人数为 2 人,30~40 岁之间
5

的人数为 4 人, 从 6 人中取 2 人的结果有 15 种,事件 A 的结果有 8 种, 故两名幸运选手不在同一年龄段的概率 P ( A) ?

8 15

????????12 分

20.

??????????7 分

相加得



,等号在 +
2

时取得。 =1,即 n =b ?
2

21.(1)解:设 A(﹣a,0) ,B(a,0) ,M(m,n) ,则



由 k1k2=﹣ ,即

?

=﹣ ,即有

=﹣ ,即为 a =2b ,又 c =a ﹣b =1,解得 a =2,b =1.

2

2

2

2

2

2

2

即有椭圆 E 的方程为

+y =1; +y1y=1,

2

(2)证明:设点 P(2,t) ,切点 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,则两切线方程 PC,PD 分别为: +y2y=1,由于 P 点在切线 PC,PD 上,故 P(2,t)满足 +y1y=1, +y2y=1,

得:x1+y1t=1,x2+y2t=1,故 C(x1,y1) ,D(x2,y2)均满足方程 x+ty=1,即 x+ty=1 为 CD 的直线方程. 令 y=0,则 x=1,故 CD 过定点(1,0) . 22.解: (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)=x﹣2lnx,f(1)=1,切点(1,1) , ∴ ,∴k=f′(1)=1﹣2=﹣1,

∴曲线 f(x)在点(1,1)处的切线方程为:y﹣1=﹣(x﹣1) ,即 x+y﹣2=0.

6

(Ⅱ)

,定义域为 (0,+∞) ,

, ①当 a+1>0,即 a>﹣1 时,令 h′(x)>0, ∵x>0,∴x>1+a 令 h′(x)<0,∵x>0,∴0<x<1 +a. ②当 a+1≤0,即 a≤﹣1 时,h′(x)>0 恒成立, 综上:当 a>﹣1 时,h(x)在(0,a+1)上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增. 当 a≤﹣1 时,h(x)在(0,+∞)上单调递增.

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