甘肃省民勤县第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题理(新)

民勤一中 2015-2016 学年度第二学期期中试卷 高 一 数 学(理)
(时间:120 分钟 总分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.化简 sin 510°的值是( A.0.5 ) B.- 3 2 C. 3 2 D.-0.5

→ 4→ → 2.已知 A、B、D 三点共线,存在点 C,满足CD= CA-λ CB,则 λ =( ) 3 2 1 1 2 A. B. C. - D.- 3 3 3 3 3.直线 l 将圆 x +y +2x- 4y=0 平分,且与直线 x+2y=0 垂直,则直线 l 的方程是( A.2x-y=0 B.2x-y-2=0 C.x+2y-3=0 sin x |cos x| tan x 4.函数 y= + - 的值域是( ) |sin x| cos x |tan x| A.{1} B.{1,3} C.{-1,1} D.x-2y+4=0
2 2

)

D.{-1,3}

5.关于空间直角坐标系 O-xyz 中的一点 P(1,2,3)有下列说法: ①点 P 到坐标原点的距离为 13; 3? ?1 ②OP 的中点坐标为? ,1, ?; 2? ?2 ③与点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为(-1,2,3); ④与点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3); ⑤与点 P 关于坐标平面 xOy 对称的点的坐标为(1,2,-3). 其中正确的个数是( A.2 A.相切 ) B.3
2 2

C.4 C.相离

D.5 ) D.不确定

6.已知点 M(a,b)在圆 O:x +y =1 内,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( B.相交

?π ? 7.已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),其中 θ ∈? ,π ?,b=(0,-1),则 a 与 b 的夹角等于( ) ?2 ? π 3π π A.θ - B. -θ C. +θ D.θ 2 2 2 π? π ? 8.函数 y=cos(2x+φ )(-π ≤φ <π )的图象向右平移 个单位后,与函数 y=sin?2x+ ?的图象重合, 3? 2 ?
则 φ =( 1 A. π 6 ) 5 B. π 6 π π C. D. 2 3 → → → 9.已知等边三角形 ABC 的边长为 1,BC=a,CA=b,AB=c,则 a?b+b?c+c?a 等于( 3 3 1 1 A.- B. C.- D. 2 2 2 2

)

10.已知奇函数 f(x)在[-1,0]上为增函数,又 α 、β 为锐角三角形两内角,则下列结论正确的是(

)
1

A.f(cos α )>f(cos β )

B.f(sin α )>f(sin β )

C.f(sin α )>f(cos β ) D.f(sin α )<f(cos β ) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) → → 11. 已知菱形 ABCD 的边长为 2, ∠BAD=120°, 点 E, F 分别在边 BC、 DC 上, BC=3BE, DC=-λ DF.若AE? AF =1,则 λ 的值为________. π 12.若将向量 a=(1,2)绕原点按顺时针方向旋转 得到向量 b,则 b 的坐标是________. 4 π? ? ? π? 13.已知 f(x)=2sin?2x- ?+m 在 x∈?0, ?上有两个不同的零点,则 m 的取值范围是________. 6? 2? ? ? π? ? 14.函数 y=2sin?2x+ ?(x∈[-π ,0])的递减区间是________. 6? ? 2π 5π 2π 15.设 a=cos ,b=sin ,c=tan ,则 a,b,c 的大小关系为________(按由小至大顺序排列). 7 7 7

2

高 一 数 学(理)答 题 页 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。) 11. 12. 13. 14. 15.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(10 分)点 M 在圆心为 C1 的方程 x +y +6x-2y+1=0 上,点 N 在圆心为 C2 的方程 x +y +2x+4y+ 1 =0 上,求|MN|的最大值.
2 2 2 2

17.(本小题满分 10 分)已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标; .

(2)若|b|=

5 ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ . 2

? π? 18. (本小题满分 10 分)(1)求函数 y=1-2sin?x+ ?的最大值和最小值及相应的 x 值; 6? ?

π? ? ? π? (2)已知函数 y=acos?2x+ ?+3, x∈?0, ?的最大值为 4,求实数 a 的值. 3? 2? ? ?

π 19.(本小题满分 10 分)设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线 x= 8 . (1)求 φ ;

(2)画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图像.

3

20.(本小题满分 10 分)已知圆 C:x +y -4x-14y+45=0 及点 Q(-2,3). (1)若点 P(m,m+1)在圆 C 上,求 PQ 的斜率;

2

2

(2)若点 M 是圆 C 上任意一点,求|MQ|的最大值、最小值;

(3)若 N(a,b)满足关系:a +b -4a-14b+45=0, 求出 t=

2

2

b-3 的最大值. a+2

π ? ? 21. (本小题满分 10 分)已知 A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2))是函数 f(x)=2sin(ω x+φ )?ω >0,- <φ <0? 2 ? ? π 图像上的任意两点,且 角 φ 的终边经过点 P(1,- 3),若|f(x1)-f(x2)|=4 时,|x1-x2|的最小值为 . 3 (1)求函数 f(x)的解析式;

(2)求函数 f(x)的递增区间;

? π? (3)当 x∈?0, ?时,不等式 mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数 m 的取值范围. 6? ?

4

高一数学试题答案 一、选择题 1--5ABDCB 二、填空题 11.-2; 三、解答题 16.(10 分)点 M 在圆心为 C1 的方程 x +y +6x-2y+1=0 上,点 N 在圆心为 C2 的方程 x +y +2x+4y+1 =0 上,求|MN|的最大值. 解 把圆的方程都化成标准形式,得 (x+3) +(y-1) =9,
2 2 2 2 2 2

6--10CBBAC

12.(

3 2 2 , ) 2 2

13. -2 ≤m< -1

π? ? 5π 14. ?- ,- ? 6 3

?

?

15. a<b<c

(x+1) +(y+2) =4.

2

2

如图所示,C1 的坐标是(-3,1),半径长是 3;C2 的坐标是(-1,-2),半径长是 2. 所以,|C1C2|= ?-3+1? +?1+2? = 13.因此,|MN|的最大值是 13+5. 17.(本小题满分 10 分)已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5 ,且 c∥a,求 c 的坐标; 5 (2)若|b|= ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ . 2 解:(1)由 a=(1,2),得|a|= 1 +2 = 5,又|c|=2 5,所以|c|=2|a|. 又因为 c∥a,所以 c=±2a,所以 c=(2,4)或 c=(-2,-4). (2)因为 a+2b 与 2a-b 垂直,所以(a+2b)?(2a-b)=0, 5 5 2 2 即 2|a| +3a?b-2|b| =0,将|a|= 5,|b|= 代入,得 a?b=- . 2 2 所以 cos θ =
2 2 2 2

a?b =-1,又由 θ ∈[0,π ],得 θ =π ,即 a 与 b 的夹角为 π . |a|?|b|

? π? 18. (本小题满分 10 分)(1)求函数 y=1-2sin?x+ ?的最大值和最小值及相应的 x 值; 6? ? π? ? ? π? (2)已知函数 y=acos?2x+ ?+3,x∈?0, ?的最大值为 4,求实数 a 的值. 3? 2? ? ? π π π ? ? 解:(1)当 sin?x+ ?=-1,即 x+ =- +2kπ ,k∈Z. 6? 6 2 ? 2 所以当 x=- π +2kπ ,k∈Z 时,y 取得最大值 1+2=3. 3 π π π π ? ? 当 sin?x+ ?=1,即 x+ = +2kπ ,k∈Z.所以当 x= +2kπ ,k∈Z 时,y 取得最小值 1-2=-1. 6? 6 2 3 ? π? 1 π ?π 4π ? ? π? ? (2)因为 x∈?0, ?,所以 2x+ ∈? , ?,所以-1≤cos?2x+ ?≤ . 2? 3 ? 3? 2 3 ?3 ? ? π? 1 1 1 ? 当 a>0,cos?2x+ ?= 时,y 取得最大值 a+3.所以 a+3=4,所以 a=2. 3? 2 2 2 ? π? ? 当 a<0,cos?2x+ ?=-1 时,y 取得最大值-a+3.所以-a+3=4,所以 a=-1. 3? ? 综上可知,实数 a 的值为 2 或-1. π 19. (本小题满分 10 分)设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0), y=f(x)图像的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ ;(2)画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图像.
5

π ? π ? 解:(1)因为 x= 是函数 y=f(x)的图像的对称轴,所以 sin?2? +φ ?=±1. 8 8 ? ? π π 3π 所以 +φ =kπ + ,k∈Z.因为-π <φ <0,所以 φ =- . 4 2 4

x y

3π ? ? (2)由(1)知 y=sin?2x- ?,列表如下: 4 ? ? π 3π 5π 0 8 8 8 -

7π 8

π

2 2 -1 0 1 0 - 2 2 描点连线,可得函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图像如下. 2 2 20.(10 分)已知圆 C:x +y -4x-14y+45=0 及点 Q(-2,3), (1)若点 P(m,m+1)在圆 C 上,求 PQ 的斜率; (2)若点 M 是圆 C 上任意一点,求|MQ|的最大值、最小值; (3)若 N(a,b)满足关系:a +b -4a-14b+45=0,求出 t= 值. 解 圆 C:x +y -4x-14y+45=0 可化为(x-2) +(y-7) =8. (1)点 P(m,m+1)在圆 C 上,所以 m +(m+1) -4m-14(m+1)+45=0,解得 m=4, 5-3 1 故点 P(4,5).所以 PQ 的斜率是 kPQ= = ; 4+2 3 (2)如图,点 M 是圆 C 上任意一点,Q(-2,3)在圆外,所以|MQ|的最大值、最小值分别是 |QC|+r,|QC|-r.易求|QC|=4 2,r=2 2,所以|MQ|max=6 2,|MQ|min=2 2. (3)点 N 在圆 C:x +y -4 x-14y+45=0 上,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b-3 的最大 a+2

b-3 t= 表示的是定点 Q(-2,3)与圆上的动点 N 连线 l 的斜率. a+2
设 l 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0.当直线和圆相切时,d=r, 即 |2k-7+2k+3| b-3 =2 2,解得 k=2± 3.所以 t= 的最大值为 2+ 3. 2 a+2 k +1

π ? ? 21. (本小题满分 10 分)已知 A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2))是函数 f(x)=2sin(ω x+φ )?ω >0,- <φ <0? 2 ? ? π 图像上的任意两点,且角 φ 的终边经过点 P(1,- 3),若|f(x1)-f(x2)|=4 时,|x1-x2|的最小值为 . 3 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的递增区间; ? π? (3)当 x∈?0, ?时,不等式 mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数 m 的取值范围. 6? ? π π 解:(1)因为角 φ 的终边经过点 P(1,- 3),所以 tan φ =- 3,且- <φ <0,得 φ =- . 2 3

6

π 2π 2π 2π 函数 f(x)的最大值为 2, 又|f(x1)-f(x2)|=4 时, |x1-x2|的最小值为 , 得周期 T= , 即 = , 3 3 ω 3 π ? ? 所以 ω =3.所以 f(x)=2sin ?3x- ?. 3? ? π π π π 2kπ 5π 2kπ (2)令- +2kπ ≤3x- ≤ +2kπ ,k∈Z,得- + ≤x≤ + ,k∈Z. 2 3 2 18 3 18 3 ? π 2kπ ,5π +2kπ ?,k∈Z. 所以函数 f(x)的递增区间为?- + 3 18 3 ? ? 18 ? π π π ? π? (3)当 x∈?0, ?时,- ≤3x- ≤ ,得- 3≤f(x)≤1,所以 2+f(x)>0, 6? 3 3 6 ? f(x) 2 则 mf(x)+2m≥f(x)恒成立等价于 m≥ =1- 恒成立. 2+f(x) 2+f(x) 2 1 因为 2- 3≤2+f(x)≤3,所以 1- 最大值为 , 2+f(x) 3 ?1 ? 所以实数 m 的取值范围是? ,+∞?. 3 ? ?

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