【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 2.3.2等差数列习题课课件 新人教A版必修5


第二章 数列

§2.3 等差数列的前n项和

第二课时

等差数列习题课

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

课前热身 1.等差数列的定义 在等差数列的定义中,要强调“从第二项起”和“同一常 数”,因为它们体现了等差数列的基本特征.还应注意公差是 “每一项与它前一项的差”,防止将被减数和减数颠倒. 等差数列的定义用数学语言叙述为:若an-an-1=d(n≥2,n ∈N*,d为常数),则{an}是等差数列.还可写为:若an+1-an= d(n∈N*,d为常数),则{an}是等差数列.

2.等差数列的通项公式 (1)通项公式为:an=a1+(n-1)d(n∈N*). 可以看出,通项公式是由a1与d完全确定的,一旦一个数列 的首项和公差确定了,该等差数列就确定了. (2)把通项公式an=a1+(n-1)d变形整理,得an=dn+a1- d,从函数的角度来看,an是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函 数(d=0时),它的图象是一条射线上的一群间距相等的点,其 am-an 中公差d是该射线所在直线的斜率.易知d= ,得am=an+ m-n (m-n)d(m,n∈N*).

3.等差中项 (1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项, a+b 即A= (或2A=a+b).容易看出,两个数的等差中项就是两 2 个数的算术平均数. (2)等差中项描述了等差数列中相邻三项之间的数量关 系.2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*)还可推广为:若2n=m+p(m, p,n∈N*),则2an=am+ap.

4.等差数列的前n项和公式 将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d代入等差数列的前n项和 n?n-1? d 2 d 公式,可得Sn=na1+ 2 d=2n +(a1-2)n.当d=0时,Sn=na1,其 中若a1=0,则Sn=0,若a1≠0,则Sn是关于n的一次函数;当d≠0 时,Sn是关于n的不含常数项的二次函数,可表示为Sn=an2+bn,易 证,若数列{an}的前n项和为Sn=an2+bn(a≠0),则{an}是等差数列, 其公差为2a;若数列{an}的前n项和为Sn=an2+bn+c(a≠0,c≠0), 则{an}不是等差数列,但从第二项起为等差数列.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通



典 例 剖 析 等差数列前n项和的最值问题
等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,问数列前多

【例1】

少项之和最大,并求此最大值.

【解】

? ?a1=25, 解法1: ? ? ?S17=S9.

17×16 9×8 则17a1+ 2 d=9a1+ 2

d,解得d=-2. n?n-1? 从而Sn=25n+ 2 (-2)=-(n-13)2+169. 故前13项之和最大,最大值是169.

解法2:同解法1求出d=-2. d? d 2 ? Sn=2n +?a1-2?n(d<0), ? ?

Sn的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点,最高点的 9+17 纵坐标为 2 ,即S13最大.如图所示,最大值为169.

解法3:同解法1先求出d=-2. ∵S17=S9, ∴a10+a11+?+a17=0. ∴a10+a17=a11+a16=?=a13+a14=0. ∵a1=25>0, ∴a13>0,a14<0. ∴S13最大,最大值为169.

解法4:先求出d=-2,∵a1=25>0, 1 ? ? ?n≤132, ?an=25-2?n-1?≥0, 由? 得? ? ?an+1=25-2n≤0, ?n≥121. 2 ? ∴当n=13时,Sn有最大值169.

规律技巧

综合上面的方法我们可以得到求数列前n项和的

最值问题的方法:(1)运用配方法转化为二次函数,借助函数的 单调性以及数形结合,从而使问题得解. (2)通项公式法:求使an≥0(或an≤0)成立的最大n即可.这 是因为:当an<0时,Sn<Sn-1,即单调递减. 一般地,等差数列{an}中,若a1>0,且Sp=Sq(p≠q),则① p+q 当p+q为偶数时,则n= 2 时,Sn最大;②当p+q为奇数时, p+q-1 p+q+1 则n= 或n= 时,Sn最大. 2 2



已知Sn求an

【例2】 式.

已知数列{an}的前n项和Sn,求数列{an}的通项公

(1)Sn=2n-1; (2)Sn=2n2+n+3. 【分析】 本题为通过Sn求an,因为Sn=a1+a2+?+an, 可求得an.

? ?S1 ?n=1?, ∴Sn与an有关系an=? ? ?Sn-Sn-1 ?n≥2?.

【解】

(1)由Sn=2n-1,

当n=1时,a1=S1=21-1=1; 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1) =2n-2n 1=2n 1.
- -

当n=1时也适合a1=21-1=20=1, ∴an=2n 1.


(2)由Sn=2n2+n+3, 当n=1时,a1=S1=6; 当n≥2时, an=Sn-Sn-1 =(2n2+n+3)-[2(n-1)2+(n-1)+3] =4n-1.
? ?6 ?n=1?, ∴an=? ? ?4n-1 ?n≥2?.

规律技巧

已知数列{an}的前n项和Sn求an,一般使用公式an

=Sn-Sn-1?n≥2?,但必须注意它成立的条件?n∈N*,n≥2?.,为 正确使用公式an=Sn-Sn-1要注意以下几点: ?1?由an=Sn-Sn-1求an,使用的条件是n≥2. ?2?由Sn-Sn-1求得的an,如果在a1=S1时,恰好与n=1时a1的 值相等,那么an就是{an}的通项公式.

?3?由Sn-Sn-1求得的an,当n=1时,a1的值不等于S1的值, 那么数列的通项公式应采用分段表示:
? ?S1 ?n=1?, an=? ? ? Sn-Sn-1?n≥2?.



等差数列前n项和性质的应用

【例3】

一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和

为10,求其前110项之和. 【分析】 本题基本解法是求a1,d或令Sn=an2+bn,求

Sn,再求S110,或利用性质.

【解】 解法1:设等差数列{an}的公差为d,前n项和Sn, n?n-1? 则Sn=na1+ d. 2 ? ?10a +10×9d=100, 2 ? 1 由已知得? 100×99 ? 100a1+ d=10, ? 2 ? 11 ①×10-②,整理得d=- . 50 1099 代入①,得a1= , 100 ① ②

110×109 ? 11? ∴S110=110a1+ ×?-50? 2 ? ?
?1099-109×11? ? =110? ? ?=-110. 100 ? ?

故此数列的前110项之和为-110.

解法2:设Sn=an2+bn, ∵S10=100,S100=10, 11 ? 2 ? ?a=-100, ?10 a+10b=100, ∴? ?? 2 ? ?100 a+100b=10, ?b=111. 10 ? 11 2 111 ∴Sn=-100n + 10 n. 11 111 2 ∴S110=-100×110 + 10 ×110=-110.

解法3:∵S10,S20-S10,S30-S20,?,S100-S90,S110- S100,?成等差数列,设公差为D, ∴该数列的前10项和为 10×9 10×100+ 2 ×D=S100=10,∴D=-22. 11×10 ∴前11项和S110=11×100+ ×(-22)=-110. 2

规律技巧

解法1和解法2称为基本方法,有时运算量大

些,也有通法.解法3利用了等差数列前n项和的性质,简化了 运算.

随堂训练 1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则 S7等于( A.13 C.49 ) B.35 D.63

7?a1+a7? 7?a2+a6? 7?3+11? 解析 S7= = = =49. 2 2 2 答案 C

2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则{an} 的通项an=________.
? ?a1+5d=12, 由已知? ? ?3a1+3d=12, ? ?a1=2, ?? ? ?d=2.

解析

∴an=2n.

答案 2n

3.已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求an. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2.

解 (1)当n=1时,a1=S1=-1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)] =4n-5, 由于a1也适合此等式, ∴an=4n-5(n∈N*). (2)当n=1时,a1=S1=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)=2· 3n-1,由于
? ?1 ?n=1?, a1不适合此等式,∴an=? n-1 ? 3 ?n≥2?. ?2·


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