安徽省太和一中2012届高三最后一卷数学文科试题

太和一中 2012 年高考冲刺试卷—数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小班 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有-项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数

1 ? i 2012 (i 是虚数单位)对应的点位于 1? i
1 的定义域为集合 A,函数 y=log3(x+1)的定义域为 B,则 x?2

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.己知全集 U=R,函数 y=

集合 A I (CU B ) = A. (2,-1) B. (-2,-1]
2

C.(-∞,-2) D. [-1,+ ∞)
2

3.已知条件 p: x ? x ? 1 ? 0 条件 q: x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 ?q是?p 的( A.充要条件 C.必要而不充分的条件 4.为得到函数 y=cos(x+ B. 既不充分也不必要的条 D.充分而不必要的条件件

)

? )的图象,只需将函数 y=sinx 的图象 3 ? ? A.向左平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 6 6 5? 5? C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 6 6 1 5.在等差数列{ an }中, a9 ? a12 ? 6 ,则数列{ an }前 11 项和 S11 等于 2
A.、24 B.、48 C.、66 D.、132 ) 6.对于线性相关系数 r 叙述正确的是( A. B. C. D.

r ? (??,??) ,且 r 越大,相关程度越大. r ? (??,??) ,且 | r | 越大,相关程度越大. r ? [?1,1] ,且 | r | 越大,相关程度越大.
. r ? [?1,1] ,且 r 越大,相关程度越大

7.如图是一个几何体的三视,则它的表面为 A、4 ? B、

15 ? 4

C、5 ?

D、

17 ? 4

8.函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(2-x),且当 x∈(-∞,1)时,( x ? 1) f '( x) <0, 设 a=f(0) ,b=f(

1 ) ,c=f(3) ,则 2
D、b<c<a

A、a<b<c B、c<a<b C、c <b<a

9.已知椭圆 C1: 的取值范围为 A、 (

x2 y2 x2 y 2 =1 与双曲线 C2: ? ? =1 共焦点,则椭圆 C1 的离心率 e m?2 n m n

2 ,1) 2

B、 (0,

2 ) C、 (0,1) 2

D、 (0,

1 ) 2

10. 如图, 45? 的直角三角板 ADC 和 30? 的直角三角板 ABC 拼在一起组成平面四边形 ABCD, 将 其中 45? 的直角三角板的斜边 AC 与 30? 的直角三角板的 30? 所对的直角边重合,若

uuu r uuu r uuu r DB ? xDA ? yDC ,则 x,y 分别等于(
A. 3 C. 2



, 1 , 3

B. 3 D.

,

3 ?1 3

3 ?1 ,

二、填空题(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填在答题卷相应位置上)

? y ? 0, y?2 ? 11. 已知 x 和 y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 则 x ?1 ? x ? y ? 2 ? 0. ?
的取值范围为 . 12.一个总体分为 A、B 两层,其个体数之比 为 4﹕1 ,用分层抽样法从总体中抽取一 个容量为 5 的样本,已知 B 层中的某个 体甲被抽到的概率为 8 ,则总体中的个体 数是 .
2 2

开始 S=1 k=1 k=k+1 S=k ? S k≤4? 否 输出 S 结束 (第 14 题) 是

1

13.设 m<0,若两直线 x ? m y ? 1 ? 0 与 (m ? 1)x ? ny ? 3 ? 0 垂直, 则 mn 的最大值为 .

14.若某程序框图如图所示,则输出的 S 的值是

? a 11 ? 15.由 9 个正数组成的矩阵 ? a 21 ?a ? 31


a 12 a 22 a 32

a 13 ? ? a 23 ? 中,每行中的三个数成等差数列, a 33 ? ?

a 11 ? a 12 ? a 13 , a 21 ? a 22 ? a 23 , a 31 ? a 32 ? a 33 成等比数列.给出下列结论:

①第 2 列中的 a 12 , a 22 , a 32 必成等比数列; ②第1列中的 a 11 、 a 21 、 a 31 不成等比数列; ③ a 12 ? a 32 ? a 21 ? a 23 ; ④若这 9 个数之和等于 9,则 a 22 ? 1 . 其中正确的序号有 (填写所有正确结论的序号) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。: ) 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1, cos ) 与 b ? ( 3 sin (Ⅰ)若 f ( x) ? 1 ,求 cos(
?

2? ? 2 x) 的值; 3 (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C ,的对边分别是 a, b, c ,且满足 2a cosC ? c ? 2b ,求函 数 f (B) 的取值范围.
17.现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查,随机抽查了 50 人,他们月收入 (单位:百元)的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表: [25,35 ) [35,45 ) [45,55 ) [55,65 ) [65,75 ) 月收入(单位百元) [15,25 ) 频数 赞成人数 5 4 10 8 15 12 10 5 5 2 5 1

x 2

?

x x ? cos , y) 共线,且有函数 y ? f (x) . 2 2

(Ⅰ) 根据以上统计数据填写下面 2×2 列联表, 并回答是否有 99%的把握认为月收入以 5500 元为分界点对“楼市限购政策” 的态度有差异? 月收入不低于 55 百元的人数 赞成 不赞成 合计 (Ⅱ)若从月收入在[55,65)的被调查对象中随机选取两人进行调查,求至少有一人不 赞成“楼市限购政策”的概率. (参考公式: K 2 ? 参考值表: P( K 2 ? k0 )
k0
n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d .) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

月收入低于 55 百元的人数
b? d?

合计

a?
c?

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635
D

0.005 7.879

0.001 10.828

18. (本题满分 12 分) 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的 直观图与三视图的侧视图、俯视图,在直观图中, M 是 BD 的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有 关数据如图所示. (Ⅰ)求出该几何体的体积。 (Ⅱ)若 N 是 BC 的中点,求证: AN // 平面 CME ; (Ⅲ)求证:平面 BDE ? 平面 BCD .

M E

4 2

C

A

N

B

直观图

侧视图

2
2
俯视图

19. 已 知 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 , a2 ? 6, a5 ? 18 ; 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 是 Tn , 且

1 Tn ? bn ? 1 . 2
(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (3) 记 cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

x2 y2 2 20. 13 分) ( 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 左、 右焦点分别为 F1 、 2 a b

F2 ,点 P(2, 3 ) 满足 F2 在线段 PF1 的中垂线上.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)如果圆 E: ( x ? ) 2 ? y 2 ? r 2 被椭圆 C 所覆盖,求圆的半径 r 的最大值

1 2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 6 x ? 3x ? t )e ,t ? R .依次在 x ? a, x ? b, x ? c(a ? b ? c) 处
3 2 x

取得极值. (Ⅰ)求 t 的取值范围; (Ⅱ)若 a, b, c 成等差数列,求 t 的值.

太和一中 2012 年高考冲刺试卷--数学(文科)参考答案
一、选择题 1 D 二、填空题 11. ( ,1) 12.40 13. -2 14.24 15. ① ③ 三、解答题 16(本小题满分 12 分)
? ?

2 B

3 D

4 C

5 D

6 C

7 D

8 B

9 A

10 B

1 4

解: (Ⅰ)∵ a 与 b 共线



1 ? x x 3 sin ? cos 2 2

cos y

x 2

x x x 3 1 ? 1 y ? 3 sin cos ? cos2 ? sin x ? (1 ? cos x) ? sin(x ? ) ? 3分 2 2 2 2 2 6 2 ………
∴ f ( x) ? sin(x ?

?
6

)?

1 ? 1 4分 ? 1 ,即 sin(x ? ) ? 2 6 2 ……………………

2? ? ? ? 1 cos( ? 2 x) ? cos 2( ? x) ? 2 cos2 ( ? x) ? 1 ? 2 sin 2 ( x ? ) ? 1 ? ? 3 3 3 6 2
6分 …………………… (Ⅱ)已知 2a cosC ? c ? 2b 由正弦定理得:

2 sin A cosC ? sin C ? 2 sin B ? 2 sin(A ? C ) 2 sin A cosC ? sin C ? 2 sin A cosC ? 2 cos A sin C
∴ cos A ?

1 ? ,∴在 ?ABC 中 ∠ A ? 3 2

8分 ……………

f ( B) ? sin(B ?
∵∠ A ?

?
6

)?

1 2
2? ? ? 5? , ? B? ? 10 分 3 6 6 6 ……………

?
3

∴0 ? B ?

1 ? 3 ? sin(B ? ) ? 1 , 1 ? f ( B) ? 2 6 2 3 ∴函数 f (B) 的取值范围为 (1, ] 12 分 2 ……………………
∴ 17. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)根据题目得 2×2 列联表: 月收入不低于 55 百元人数 赞成 不赞成 合计
a?3 c?7

月收入低于 55 百元人数
b ? 29 d ? 11

合计 32 18 50

10

40

………………………………………………4 分 假设月收入以 5500 为分界点对“楼市限购政策” 的态度没有差异,根据列联表中的 数据,得到:
K2 ? 50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29) 2 ? 6.27 ? 6.635 ……………………6 分 (3 ? 7)(29 ? 11)(3 ? 29)(7 ? 11)

假设不成立. 所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差 异……8 分 (Ⅱ)设此组五人为 A, B, a, b, c ,其中 A, B 表示赞同者, a, b, c 表示不赞同者 从中选取两人的所有情形为: AB, Aa, Ab, Ac, Ba, Bb, Bc, ab, ac, bc 其中至少一人赞同的有 7 种,故所求概率为 P ? 18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题意可知:四棱锥 B ? ACDE 中, 平面 ABC ? 平面 ACDE , AB ? AC 所以, AB ? 平面 ACDE 又 AC ? AB ? AE ? 2, CD ? 4 , 则四棱锥 B ? ACDE 的体积为: V ?
7 …………………12 分 10

………………………2 分

1 1 (4 ? 2) ? 2 S ACDE ? AB ? ? ? 2 ? 4 ………4 分 3 3 2

(Ⅱ)连接 MN ,则 MN // CD, AE // CD,

1 CD ,所以四边形 ANME 为平行四边形,? AN // EM ………6 分 2 ? AN ? 平面 CME , EM ? 平面 CME , 所以, AN // 平面 CME ; ……………8 分 (Ⅲ)? AC ? AB , N 是 BC 的中点, AN ? BC 又平面 ABC ? 平面 BCD ………………10 分 ? AN ? 平面 BCD 由(Ⅱ)知: AN // EM ?EM ? 平面 BCD 又 EM ? 平面 BDE 所以,平面 BDE ? 平面 BCD . …………………12 分
又 MN ? AE ? 19. (本小题满分 13 分) 解: (1)设 ?an ? 的公差为 d ,则: a2 ? a1 ? d , a5 ? a1 ? 4d , ∵ a2 ? 6 , a5 ? 18 ,∴ ?

?a1 ? d ? 6 ,∴ a1 ? 2, d ? 4 . ………………………(2 分) ?a1 ? 4d ? 18
…………………………………………(4 分)

∴ an ? 2 ? 4(n ? 1) ? 4n ? 2 . (2)当 n ? 1 时, b1 ? T1 ,由 T1 ?

1 2 …………………(5 分) b1 ? 1 ,得 b1 ? . 2 3 1 1 当 n ? 2 时,? Tn ? 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 2 2 1 1 ∴ Tn ? Tn ?1 = (bn ?1 ? bn ) ,即 bn ? (bn ?1 ? bn ) . …………………………(7 分) 2 2 1 2 1 ∴ bn = bn ?1 . ∴ ?bn ? 是以 为首项, 为公比的等比数列.……………(8 分) 3 3 3 2 1 n?1 1 n (3)由(2)可知: bn ? ? ( ) ? 2 ? ( ) . 3 3 3 1 n 1 n ∴ cn ? an ? bn ? (4n ? 2) ? 2 ? ( ) ? (8n ? 4) ? ( ) . 3 3
∴ Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?1 ? cn ? 4 ? ( ) ? 12 ? ( ) 2 ? ? ? (8n ? 12) ? ( ) n?1 ? (8n ? 4) ? ( ) n .

1 3

1 3

1 3

1 3

1 1 1 1 1 Sn ? 4 ? ( )2 ? 12 ? ( )3 ? ? ? (8n ? 12) ? ( ) n ? (8n ? 4) ? ( ) n?1 .…………(10 分) 3 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n?1 ∴ Sn ? Sn ? Sn ? 4 ? ? 8 ? ( ) ? 8 ? ( ) ? ? ? 8 ? ( ) ? (8n ? 4) ? ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ( ) 2 ? [1 ? ( ) n ?1 ] 8 1 1 4 1 3 ? ? 8? 3 ? (8n ? 4) ? ( ) n ?1 ? ? 4 ? ( )n?1 ? (8n ? 4) ? ( ) n?1 . 1 3 3 3 3 3 1? 3 1 n ∴ Sn ? 4 ? 4(n ? 1) ? ( ) . …………………………………………………(13 分) 3


20. (本小题满分 13 分)
解(1) :椭圆 C 的离心率 e ? 其中 c ?

2 c 2 ,得: ? , 2 a 2

……1 分

a 2 ? b 2 ,椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,

又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上,

?| F1F2 |?| PF2 | ,? (2c) 2 ? ( 3 ) 2 ? (2 ? c) 2 ,……3 分
解得 c ? 1, a ? 2, b ? 1 ,?椭圆 C 的方程为
2 2

x2 ? y2 ? 1 . 2

………6 分

(2)设 P ( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上任意一点, 则
2 x0 x2 1 2 2 2 ? y0 ? 1 , | PE |? ( x0 ? )2 ? y0 , ? y0 ? 1 ? 0 , 2 2 2

………8 分

1 x2 1 2 5 ?| PE |? ( x0 ? ) 2 ? 1 ? 0 ? x0 ? x0 ? ( ? 2 ? x0 ? 2 ) . 2 2 2 4
当 x0 ? 1 时, | PE |min ?

1 5 3 ?1? ? 2 4 2
2 x 3

?半径 r 的最大值为
2 x

3 .……13 分 2
3 2 x

21. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) f ?( x) ? (3x ? 12 x ? 3)e ? ( x ? 6 x ? 3x ? t )e ? ( x ? 3x ? 9x ? t ? 3)e

? f ( x) 有三个极值点,? x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3 ? 0 有三个根 a, b, c .
令g ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 9x ? t ? 3 ,则 g '( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 1)( x ? 3)
由 g '( x) ? 3x ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 1)( x ? 3) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 3
2

g ( x)在区间(-?,-1)和(3,+?)上递增,在区间(-1,3)上递减. ...............4 分 ? g ( x) 有有三零点
?g(-1)=t+8>0 ?? ??8 ? t ? 24. ...............................................6 分 g (3) ? t ? 24 ? 0 ? 3 2 (Ⅱ) ? a, b, c 是方程 x ? 3x ? 9x ? t ? 3 ? 0 的三个根.
? x3 ? 3x 2 ? 9x ? t ? 3 ? (x-a)(x-b)(x-c)=x 3 ? (a ? b ? c) x 2 ? (ab ? bc ? ac) x ? abc

?a ? b ? c ? 3 ? ? ?ab ? ac ? bc ? ?9 ?t ? 3 ? ?abc ? 且 a ? c ? 2b ............................................................................9 分 ?a ? 1 ? 2 3 ? 解得: ?b ? 1 ? t ? 8 ....................................................................13 分 ? ?c ? 1 ? 2 3


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