吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 1.2.2.2.3对数函数(三)教案 新人教A版必修1

吉林省东北师范大学附属中学 2014-2015 学年高中数学 1.2.2.2.3 对数函数(三)教案 新人教 A 版必修 1
教学目标: 知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系,了解反函数的概念,加深对函数 的模型化思想的理解. 过程与方法 通过作图,体会两种函数的单调性的异同. 情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一. 教学重点: 重点 难两种函数的内在联系,反函数的概念. 难点 反函数的概念. 教学程序与环节设计: 创设情境 由函数的观点分析例题,引出反函数的概念.

组织探究

两种函数的内在联系,图象关系.

尝试练习

简单的反函数问题,单调性问题.

巩固反思

从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对 数函数的定义、图象、性质作一小结. 简单的反函数问题,单调性问题.

作业回馈

课外活动

互为反函数的函数图象的关系.

1

教学过程与操作设计: 环节 呈现教学材料 师生互动设计 生:独立思考完成, 讨论展示并分析自己 的结果. 材料一: 当生物死亡后, 它机体内原有的碳 14 会按确定的规律 衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时间称 为“半衰期” .根据些规律,人们获得了生物体碳 14 含量 创 P 与生物死亡年数 t 之间的关系.回答下列问题: (1) 求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P, 并 设 用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系, 指出是我们所学 过的何种函数? 情 (2)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求该生物 死亡的年数 t,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系, 境 指出是我们所学过的何种函数? (3)这两个函数有什么特殊的关系? (4)用映射的观点来解释 P 和 t 之间的对应关系是何 种对应关系? (5)由此你能获得怎样的启示? 数 t ? log
5730

师:引导学生分析归 纳,总结概括得出结 论: (1)P 和 t 之间的对 应关系是一一对应; (2)P 关于 t 是指数 函数 P ? (5730

1 x ) ; 2

t 关于 P 是对数函
1 2

x ,它

们的底数相同,所描 述的都是碳 14 的衰 变过程中, 碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间 的对应关系; (3) 本问题中的同底 数的指数函数和对数 函数,是描述同一种 关系 (碳 14 含量 P 与 死亡年数 t 之间的对 应关系)的不同数学 模型.

2

材料二: 由对数函数的定义可知,对数函数 y ? log2 x 是把指 数函数 y ? 2 x 中的自变量与因变量对调位置而得出的,在 列表画 y ? log2 x 的图象时,也是把指数函数 y ? 2 x 的对 应值表里的

x 和 y 的数值对换,而得到对数函数

y ? log2 x 的对应值表,如下:

表一

y ? 2x .

环节

呈现教学材料

师生互动设计 生: 仿照材料一分析: 1 2 2 4 3 8 ? ?

x
y

? ?

-3

-2

-1

0 1

1 8

1 4

1 2

y ? 2x



y ? log2 x 的关系.

表二

y ? log2 x .

在同一坐 标系中, 用描点法 画出图象.

x
y

? ?

-3

-2

-1

0 1

1 2

2 4

3 8

? ?

1 8

1 4

1 2

师:引导学生分析, 讲评得出结论,进而 引出反函数的概念. 师:说明: (1) 互为反函数的两 个函数是定义域、值 域相互交换,对应法 则互逆的两个函数; (2) 由反函数的概念 可知“单调函数一定 有反函数” ;
3

组织 探究

材料一:反函数的概念: 当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量 作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为 新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数. 由反函数的概念可知,同底数的指数函数和对数函数 互为反函数.

(3) 互为反函数的两 个函数是描述同一变 化过程中两个变量关 系的不同数学模型. 师:引导学生探索研 究材料二. 生: 分组讨论材料二, 选出代表阐述各自的 结论,师生共同评析 归纳. 尝试 练习 巩固 反思 作业 反馈 环节 求下列函数的反函数: (1) y ? 3 x ; (2) y ? log6 x 生:独立完成.

从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的 定义、图象、性质作一小结. 1. 求下列函数的反函数:

x
y

1 3

2 5

3 7

4 9 师生互动设计 4 9

呈现教学材料

x
y

1 3

2 5

3 7

答案: 互换 x 、y 的数值. 2. (1)试着举几个满足“对定义域内任意实数 a、b, 1. 都有 f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) . ”的函数实例,你 2.略. 能说出这些函数具有哪些共同性质吗? (2)试着举几个满足“对定义域内任意实数 a、b, 都有 f (a + b) = f ( a )·f ( b ) . ”的函数实例,你 能说出这些函数具有哪些共同性质吗? 我们知道,指数函数 y ? a (a ? 0 ,且 a ? 1) 与对数
x

课外 活动

函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 互为反函数,那么,它们 的图象有什么关系呢?运用所学的数学知识,探索下面几 个问题,亲自发现其中的奥秘吧!

结论: 互为反函数的两 个函数的图象关于直 线 y ? x 对称.

4

问题 1

在同一平面直角坐标系中,画出指数函数

y ? 2 x 及其反函数 y ? log2 x 的图象,你能发现这两个函
数的图象有什么特殊的对称性吗? 问题 2 取 y ? 2 x 图象上的几个点,说出它们关于直 线 y ? x 的对称点的坐标,并判断它们是否在 y ? log2 x 的图象上,为什么? 问题 3 如果 P0(x0,y0)在函数 y ? 2 x 的图象上,那 么 P0 关于直线 y ? x 的对称点在函数 y ? log2 x 的图象上 吗,为什么? 问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论? 问题 5 上述结论对于指数函数 y ? a x

(a ? 0 ,且 a ? 1) 及其反函数 y ? loga x(a ? 0 ,且

a ? 1) 也成立吗?为什么?

5


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