安徽省太和一中2012届高三最后一卷数学理科试题

太和一中 2012 年高考冲刺试卷—数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1. 复数 ( A.

i 2 ) = 1? i

( B.

)

1 i 2
?
3

1 2

C. ?

2.在极坐标系中,与点 P (2 , A. (?2 , ?

?
3

1 i 2
?
3

D. ? (

1 2
) D. (2 , ?

) 关于极点对称的点的坐标是 4? ) 3
C. (2 , ?



B. (?2 ,



2? ) 3

x2 2 2 3. 已知抛物线 y ? 8 x 焦点与双曲线 2 ? y ? 1 ? a ? 0 ? 的右焦点重合, 则此双曲线的离心 a
率是( )

2 3 4 3 C. B. 3 D.2 3 3 3 4“直线 l 垂直于 ?ABC 的边 AB , AC ”是“直线 l 垂直于 ?ABC 的边 BC ”的( A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.即非充分也非必要条件

A.

).

[来源:GkStK.Com]

[来源:GkStK.Com]

5.有 5 名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能值周一或周二,那么 5 名同学值 日顺序的编排方案共有( A.24 种 6.已知 cos(x ? A. 2m ) C.96 种 D.120 种 ( ) D. ? 3m

B.48 种

?
6

) ? m ,则 cos x ? cos(x ?
B. ? 2m

?
3

)?

C. 3m

7 函数 y ? f '(x) 是函数 y ? f ( x) 的导函数,且函数 y ? f ( x) 在点 p( x0 , f ( x0 )) 处的切线为 l : y ? g (x ) ? f '(x 0)( x ?x 0) ? f (x 0), F ( x) ? f ( x) ?g ( x) ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 且 那么 ) [a, b] 上的图像如图所示, a ? x0 ? b , ( A. F '( x0 ) ? 0, x ? x0 是 F ( x) 的极大值点 B. F '( x0 ) = 0, x ? x0 是 F ( x) 的极小值点 C. F '( x0 ) ? 0, x ? x0 不是 F ( x) 极值点
??? ??? ? ? ??? ? ??? ???? ? 8.设 O 为△ ABC 内一点,若 ?k ?R ,有 | OA ? OB ? k BC | ? | OA ? OC | ,则△ ABC 的形状

D. F '( x0 ) ? 0, x ? x0 是 F ( x) 极值点 一定是( )

A.锐角三角形 9 已知函数 f ( x ) ? ?

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

? 2 x ? 1( x ? 0) ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)

, 把方程 f ( x) ? x ? 0 的根按从小到大的顺序排列成

一个数列,则该数列的通项公式为 A. a
n

( B. an ? n(n ? 1)(n ? N )
*



?

n(n ? 1) (n ? N * ) 2
*

C. an ? n ? 1(n ? N )

D. an ? 2 ? 2(n ? N )
n *

10. 如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A B C D 的对角线 BD1 上.过点 P 作垂直于平面 1 1 1 1
BB1 D1 D 的直线,与正方体表面相交于 M,N .设 B ?x ,MN ? y ,则函数 y ? f ( x) 的 P
图象大致是( D1 A1 D M A B B1 P N C O A. x O B. x O C. x O D. x ) C1

y

y

y

y

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. ................. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11 已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径直径、高均是 d ,那么,圆锥的全面积 与圆柱的全面积之比为 .

12.设有算法如右图:如果输入 A=144, B=39,则输出的结果是

.

13.若 {an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,则 a1C9 ? a2C9 ? ? ? a10C9 ?
0 1 9

14 设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ? 3 , g ( x) ? ax ? 2a . ? x0 ? R , 若 使得 f ( x0 ) ? 0 与 g ( x0 ) ? 0 同时 成立,则实数 a 的取值范围是

15.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数 f(x)的图象恰好通过 k(k∈N*)个格点,则称函数 f(x)为 k 阶格点函数。下列函数: ①f(x)=sinx; ②f(x)=π (x-1) +3; ③ f ( x) ? ( ) x
2

1 3

④ f ( x) ? log 0.6 x ,

其中是一阶格点函数的有



三、解答题 本大题共 6 小题.共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos ? x( 3 sin ? x ? cos ? x) (其中 ? ? 0 ) ,且函数 f ( x) 的图象的

相邻两条对称轴间的距离为 ? 。 (I)若 f ( ) ? 2 ,求 cos(

x 2

2? ? x) 的值; 3

(Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC, 求函数 f(A)的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , AB ? 2, AD ? 4 将
?

?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD (I)求证: AB ? DE
(Ⅱ)求二面角 B-AE-D 的余弦值。

18. (本小题满分 12 分)为了让更多的人参与 2010 年在上海举办的“世博会” ,上海某旅游 公司面向国内外发行总量为 2000 万张的旅游优惠卡, 其中向境外人士发行的是世博金卡 (简 称金卡) ,向境内人士发行的是世博银卡(简称银卡) 。现有一个由 36 名游客组成的旅游团 到上海参观旅游,其中

3 1 是境外游客,其余是境内游客。在境外游客中有 持金卡,在境 4 3

内游客中有

2 持银卡。 3

(I)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (Ⅱ)在该团的境内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ? ,求 ? 的分 布列及数学期望 E? 。

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? ln x (a ? R) . x

(Ⅰ)若 a ? 4 ,求曲线 f (x) 在点 (e, f (e)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f (x) 的极值; (Ⅲ) 若函数 f (x) 的图象与函数 g ( x) ? 1的图象在区间 (0, e 2 ] 上有公共点, 求实数 a 的 取值范围.

20. (本小题满分 13 分) 已知圆 C1 的方程为 ( x ? 4) ? ( y ? 1) ?
2 2

32 ,椭圆 C2 的方程为 5

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? , 其离心率为 , 如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点, 且线段 AB 2 2 a b 恰为圆 C1 的直径.
(Ⅰ)求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程; (Ⅱ)如果椭圆 C2 的左右焦点分别是 F1、F2 ,椭圆上是否存在点 P ,使得

PF1 ? PF2 ? ? AB ,
如果存在,请求点 P 的坐标,如果不存在,请说明理由.

21.已知数列 {an } 满足: a1 ?

1 1 , an ?1 ? , 2 ? an 2

(Ⅰ)求 a 2 , a 3 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)数列 {an } 的前 n 项和 S n ; 证明 sn ? n ? ln

n?2 2

太和一中 2012 年高考冲刺试卷
数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 B 6 C 7 B 8 B 9 C 10 B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 11.

3?3 5 10

12.3

13.

10240

14. (7,+∞)

? 解由题设知, ? a ? 4 ? a ? 3? ? 0 , a ? ?2 或 a ? 6 ,且 g ( x) ? ax ? 2a 恒过定点 ? 2, 0 ? . 即 ①
2

当 a ? 6 时,如上左图,则 ?

?a ? 6 a ? ? a ? 7 ;③当 a ? ?2 时,如上右图, x对 ? ? ?1 , 2 ? f ? 2? ? 0 ?

又 f ?1? ? 4 ,显然不成立.综上知, a 的取值范围为 (7, ??) . 15. ①②④ 三、解答题:

16. 解:(1) f ( x) ? 2 3 sin ? x ? cos ? x ? 2cos 2 ? x = 3 sin 2? x ? cos 2? x ? 1 =2

sin(2? x ? ) ?1 6

?









f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 1 6

?

2? ? 2? 2?







??

1 2



????3 分

x x π 1 2π 2π π 由 f ( ) ? 2 可得 sin( + )= .∴cos( -x)=cos(x- )=-cos(x+ ) 2 6 2 3 3 3 2
= 1 2. - [1 - 2sin2( x 2 + π 6 )] = 2· ( 1 2 )2 - 1 = -

????6 分

(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB- cosBsinC=sinBcosC,∴2sinAcosB=sin(B+C),∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且 sinA≠0, 1 π 2π π π 5 1 π ∴cosB=2,B=3,∴0<A< 3 .∴6<A+6< ? ,2<sin(A+6)≤1.又∵f(x)=2sin( x + 6 π 6 ) + 1 , 3 ]. π ∴ f(A) = 2sin(A + 6 ) + 1 故 函 数 f(A) 的 取 值 范 围 是 (2 ,

????12 分
?

17.解: (I)证明:在 ?ABD 中,? AB ? 2, AD ? 4, ?DAB ? 60

? BD ?

AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? 2 AD cos ?DAB ? 2 3

? AB 2 ? BD 2 ? AD 2 ,? AB ? DE
又?平面 EBD ? 平面 ABD 平面 EBD ? 平面 ABD ? BD, AB ? 平面 ABD

? AB ? 平面 EBD

? DF ? 平面 EBD,? AB ? DE

18、 解: (1)由题意得,境外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;境内游客有 9 人,其中 6 人持银卡。设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少 于 2 人” , 事件 A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡” , 事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡” 。
[来源:学优高考网 GkStK]

P( B) ? P( A1 ) ? P( A2 )

?

1 2 1 1 C9C 2 1 C C C6 9 ? 3 3 C36 C36

1 2 1

????3 分 ?

9 27 36 ? ? 34 170 85

所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是

36 85

???6 分

(2) ? 的可能取值为 0,1,2,3

P(? ? 0) ?
个 1 分)

C33 1 C1C 2 3 C 2C1 15 C 3 15 ? , P(? ? 1) ? 6 3 3 ? P(? ? 2) ? 6 3 3 ? , P(? ? 3) ? 6 ? , (每 C93 84 C9 14 C9 28 C93 21

所以 ? 的分布列为

[来源:高[考∴试﹤题∴库]

?
P


0

[来源:学优高考网]

1

2

3
5 21

1 84

[来源:GkStK.Com][来源:高[考∴试﹤题∴库 GkStK]

3 14

15 28

[来源:高[考∴试﹤题∴库 GkStK]



E? ? 0

1 8
[

,? 19. 解: (Ⅰ) ∵ a ? 4 ,

4

1

3

?? 12 分

ln x ? 4 5 且 f ( e) ? . ????????? 1 分 x e (ln x ? 4)? x ? (ln x ? 4) x ? ? 3 ? ln x 又∵ f ?( x) ? , ? x2 x2 ?3 ? ln e 4 ∴ f ?(e) ? ????????? 3 分 ?? 2 . 2 e e 5 4 ∴ f (x) 在点 (e, f (e)) 处的切线方程为: y ? ? ? 2 ( x ? e) , e e
∴ f ( x) ? 即 4 x ? e y ? 9e ? 0 .
2

????????? 4 分

(Ⅱ) f (x) 的定义域为 (0,??) , f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0 得 x ? e 当 x ? (0, e 当 x ? (e
1? a

1 ? (ln x ? a) ,????????? 5 分 x2

1? a



) 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 是增函数;
???????? 7 分
1? a

1?a

,??) 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 是减函数;
1? a

∴ f (x) 在 x ? e (Ⅲ) (i)当 e
1? a

处取得极大值,即 f ( x) 极大值 ? f (e

) ? e a ?1 .??? 8 分

? e 2 ,即 a ? ?1时,

由(Ⅱ)知 f (x) 在 (0, e ∴当 x ? e 又当 x ? e
1? a

1? a

) 上是增函数,在 (e1?a , e 2 ] 上是减函数,
a ?1

时, f (x) 取得最大值,即 f ( x) max ? e
?a



?a

时, f ( x) ? 0 ,当 x ? (0, e
2 a ?1

] 时, f ( x) ? 0 ,

当 x ? (e , e ] 时, f ( x) ? (0, e

?a

],
2

所以, f (x) 的图像与 g ( x) ? 1的图像在 (0, e ] 上有公共点, 等价于 e
a ?1

? 1,解得 a ? 1,
?????? 11 分

又因为 a ? ?1,所以 a ? 1. (ii)当 e
1? a

? e 2 ,即 a ? ?1 时, f (x) 在 (0, e 2 ] 上是增函数,
2

2 ∴ f (x) 在 (0, e ] 上的最大值为 f (e ) ?

∴原问题等价于

又∵ a ? ?1 ∴无解 综上, a 的取值范围是 a ? 1.
2

2?a ? 1 ,解得 a ? e 2 ? 2 , 2 e

2?a , e2

?????? 14 分
2

x y2 c 3 3a a 2 2 ,? c ? ,b ? 20 解:? e ? ? 设椭圆方程 2 ? 2 ? 1 ,????1 分 a 2 4 4 4b b x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ? 2 , 又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则
x ? x2 y ?y x y x y ? 1 2 2 ? 0 ,??3 分 又 1 2 ? 12 ? 1, 2 2 ? 22 ? 1 ,两式相减,得 1 2 4b b 4b b 4b b ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 . 即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
2 2 2 2 2 2 2 2

2

若 x1 ? x2 ,直线 AB 的方程为 x ? 4 ,由椭圆的对称性可知, A , B 两点关于 x 轴对 称,A,B 的中点为(4,0) ,又线段 AB 恰为圆 C1 的直径,则圆心为(4,0) ,这与已知圆心 为(4,1)矛盾,所以 x1 ? x2 .

y1 ? y2 =-1,故直线 AB 的方程为 y ? ? x ? 5 , ??5 分 x1 ? x2 2 2 代入椭圆方程,得 5x -40x+100-4b =0 . ????????????6 分
因此直线 AB 斜率存在,且

? x1 ? x2 ? 8, x1 x 2 ?

100 ? 4b 2 2 , ? ? 0 ,得 b ? 5 .????????7 分 5 32 2 |AB|= 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 2 , 5
16b 2 ? 80 32 x2 y2 2 ?2 ? ? 1 . ??8 分 得 2? ,解得 b =9.故所求椭圆方程为 5 5 36 9 (Ⅱ)因为 F1 , F2 的中点是原点 O , ??? ??? ? ? 所以 PF1 ? PF2 ? 2 PO ? ? AB ,所以 PO 与 AB 共线, ???????10 分, 而直线 AB 的方程为 y=-x+5,所以直线 PO 所在的直线方程为 y=-x.

? ? 6 5 6 5 ? y ? ?x ?x ? ?x ? ? ? ? ? 2 5 5 ,? 或? . ?x y2 ?1 ? 6 5 6 5 ? ? ? ? 36 9 ?y ? 5 ?y ? ? 5 ? ? ?6 5 6 5? ? 6 5 6 5? 所以 P 点坐标为 ? ? 5 ,? 5 ? ,?? 5 , 5 ? . ? ? ? ? ? ? ?
21. (本小题满分 14 分) 解: (1)解得 a2 ? 2)猜想 an ?

…………………13 分

2 3 4 , a3 ? , a4 ? 3 4 5

n , 数学归纳法证明之 n ?1
a ?1 1 ?1 ? n 2?an 2?an

解法二 a n ?1 ?1 ?

所以

1 a n ?1 ?1

?

1 ?1. a n ?1

所以 an ?

n , n ?1

3)令 f ( x) ? ln( x ?1) ? x( x ? 0) 求导可得 ln( x ? 1) ? x( x ? 0)

1 1 1 1 )? ,1 ? ? 1 ? ln(1 ? ) n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 1 1 1 即 ln(k ? 1) ? ln k ? ( ? ) , k ? 1, 2,3....n 2 k k ?1 n an ? ? 1 ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1) n ?1
有 ln(1 ?

sn ? 1 ? ln 3 ? ln 2 ? 1 ? ln 4 ? ln 3 ? ? ? 1 ? ln(n ? 2) ? ln( n ? 1) ? n ? ln

n?2 2


相关文档

安徽省太和一中2012届高三最后一卷理科数学试题
安徽省太和一中2012届高三最后一卷数学文科试题
安徽省芜湖一中2012届高三第六次模拟考试(最后一卷)数学(文)试题
安徽省合肥一中2012届高三数学最后一卷试题 文
安徽省合肥一中2012届高三冲刺高考最后1卷数学(理)试题
安徽省淮北一中2012届高三第三次月考数学理科试卷
安徽省太和一中2012届高三最后一卷文科综合试题
安徽省合肥一中2012届高三冲刺高考最后1卷数学(理)试题及答案(扫描版)
安徽省合肥一中2012届高三数学最后一卷试题 理 (扫描版,无答案)
安徽省阜阳一中2012届高三最后一卷数学文科试题
电脑版