2011年数学第一轮复习专题(理)第三章 第一单元2 函数的解析式与定义域

第二节
一、选择题 1.函数 f(x)=

函数的解析式与定义域

3x 2 +lg(3x+1)的定义域是 1? x
? 1 ? B.?- ,1? ? 3 ? ? 1 1? C.?- , ? ? 3 3?
1? ? D.?-∞,- ? 3? ?

(

)

? 1 ? A.?- ,+∞? ? 3 ?

(1 ? x) 1 ? x 2 2.已知 f ,则 f(x)的解析式可取为 ? 1? x 1? x2
A.

( D. ?

)

x 1? x2

B. ?

2x 1? x2

C.

2x 1? x2

x 1? x2

3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是 ( )

4. 设函数 f(x)= 15 A. 16

(1 ? x 2 , x ? 1, ) x 2 ? x ? 2, x ? 1,
B.- 27 16

则f

(1) 的值为 f (2)
8 C. 9 D.18

(

)

1 ( , x ? 0) 1 x 5. (2009 年北京卷)若函数 f(x)= 则不等式|f(x)|≥ 的解集为 3 (1) , x ? 0 3x
A.(-3,1) 二、填空题 B.[-1,3] C.(-1,3] D.[-3,1]

(

)

6. 已知函数 f(x)= x 2 ? 2ax ? a 2 ?1 的定义域为 A,2?A, 则 a 的取值范围是____________. 7.如果 f[f(x)]=2x-1,则一次函数 f(x)=_____________. 8.(2009 年潮州模拟)为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密 加密 发送 解密 x 原理如下:明文――→密文――→密文――→明文已知加密为 y=a -2(x 为明文、y 为 密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6” ,再发送,接受方通过解密得到明文 “3” ,若接受方接到密文为“14” ,则原发的明文是_______. 三、解答题 9.如右图所示,
1

在边长为 4 的正方形 ABCD 上有一点 P,沿着折线 BCDA 由 B 点(起点)向 A 点(终点)移动,设 P 点移动的路程为 x,△ABP 的面积为 y=f(x). (1)求△ABP 的面积与 P 移动的路程间的函数关系式; (2)作出函数的图象,并根据图象求 y 的最大值.

10.(2009 年汕头模拟)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c,(a<0)不等式 f(x)>-2x 的解集为 (1,3). (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)的最大值为正数,求实数 a 的取值范围.

2

2

参考答案
?1-x>0 ? 1.解析:由? ? ?3x+1>0

1 ? - <x<1,故选 B. 答案:B 3

2t 2x 1- x 1-t 2.解析:令 =t,则 x= ,∴f(t)= 2 ,∴f(x)= 2 . 答案:C 1+ x 1+t t ?1 x ?1 3.A 4.A

?x<0 1 ? 5.解析:(1)由|f(x)|≥ ? ??1? 1 3 ? ?≥ ? ??x? 3 ?x≥0 1 ? (2)由|f(x)|≥ ????1?x? 1 3 ? ???3? ?≥3

? -3≤x<0.

x≥0 ? ? ???1?x 1 ?0≤x≤1. ? ??3? ≥3

1 ∴不等式|f(x)|≥ 的解集为{x|-3≤x≤1}.答案:D 3 6.解析:∵2?A,∴4-4a+a -1<0,即 a -4a+3<0,解得 1<a<3. 答案:1<a<3 2 7.解析:设 f(x)=kx+b,则 f[f(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k x+kb+b. 由于该函数与 y=2x-1 是同一个函数, ∴k =2 且 kb+b=-1,∴k=± 2. 当 k= 2时,b=1- 2; 当 k=- 2时,b=1+ 2. 答案: 2x+1- 2或- 2x+1+ 2 8.4 9.解析:(1)这个函数的定义域为(0,12), 1 当 0<x≤4 时,S=f(x)= ·4·x=2x; 2 当 4<x≤8 时,S=f(x)=8; 1 当 8<x<12 时,S=f(x)= ·4·(12-x)=24-2x. 2 2x, ? ? ∴这个函数的解析式为 f(x)=?8, ? ?24-2x, x∈? x∈? x∈? 0,4], 4,8], 8,12? .
2 2 2

(2)其图形如右,由图知,[f(x)]max=8. 10.解析:(1)∵不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3), 2 ∴x=1 和 x=3 是方程 ax +(b+2)x+c=0(a<0)的两根, b+2 ? ? a =-4 ∴? c ? ?a=3

,∴b=-4a-2,c=3a,

3

又方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根. 2 2 ∴ Δ =b -4a(c+6a)=0,∴4(2a+1) -4a×9a=0. 1 ∴(5a+1)(1-a)=0,∴a=- 或 a=1(舍). 5 1 6 3 ∴a=- ,b=- ,c=- , 5 5 5 1 2 6 3 ∴f(x)=- x - x- . 5 5 5 (2)由(1)知 f(x)=ax -2(2a+1)x+3a 2a+1?2 ?2a+1?2 =a?x- - +3a a a ? ? 2a+1?2 -a2-4a-1 =a?x- + a a ? ? ∵a<0, -a2-4a-1 ∴f(x)的最大值为 , a ∵f(x)的最大值为正数. a<0 ? ? 2 ∴?-a -4a-1 >0 ? a ?
?a<0 ? ∴? 2 ?a +4a+1>0 ?
2

解得 a<-2- 3或-2+ 3<a<0.

∴所求实数 a 的取值范围是(-∞,-2- 3)∪(-2+ 3,0).

4


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