北京市顺义牛栏山第一中学高三月考考试数学试题理
数学试题（ 北京市顺义牛栏山第一中学高三月考考试数学试题（理）
2009 年 12 月 14 一、选择题（每小题 5 分） 选择题（ 1．已知集合 M = 3 , 2a ， N = {a , b} ，若 M ∩ N = {2} ，则 M ∪ N = A． {1, 2, 3} 2. 下列说法错误的是 ．． A．如果命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题，那么命题 q 一定是真命题； B．命题“若 a = 0 ，则 ab = 0 ”的否命题是：“若 a ≠ 0 ，则 ab ≠ 0 ”； C．若命题 p ： ?x ∈ R, x 2 ? x + 1 < 0 ，则 ?p : ?x ∈ R, x 2 ? x + 1 ≥ 0 ； D．“ sin θ =
1 ”是“ θ = 30° ”的充分不必要条件. 2
{
}
B． {0, 2, 3}
C． {0,1, 2}
D． {0,1, 3} （ ）
3. 已知复数 z = 1 + i, 则 A．
4 3 ? i 5 5
1+ z = 1+ z2 4 3 B． + i 5 5
( C． i D． ?i
)
4．点 O 是 ?ABC 所在平面内的一点，且满足 OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ，则点 O 是
?ABC 的
A．三条内角平分线交点（即内心） C．三条高线交点（即垂心） 5. 函数 f ( x) =
（
）
B．三边的垂直平分线交 点（即外心） D．三条中线交点（即重心） （ ）
∫
x
0
(t 2 ? 4t )dt在[?1,5] 上的最大和最小值情况是
B．有最大值 0 和最小值－
A．有最大值 0，但无最小值 C．有最小值－
32 3
32 ，但无最大值 D．既无最大值又无最小值 3 6. 已知函数 f ( x ) =| log 2 x | ，则下列不等式成立的是( ) ．．
1 1 A. f (2) < f ( ) < f ( ) 3 4
C. f ( 1 ) < f (2) < f ( 1 ) 3 4 B. f ( 1 ) < f (2) < f ( 1 ) 4 3 D. f ( ) < f ( ) < f (2)
1 4
1 3
? x = 1 + cos θ ? y = ?2 + sin θ （ θ 为参数） 7. 若直线 3 x + 4 y + m = 0 与圆 ? 相切,则实数 m 的值是 （
A．10 B．0 C．10 或 0 D．10 或 1
） .
x 1 f (0) = 0, f ( x) + f (1 ? x) = 1, f ( ) = f ( x) 3 2 8. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 ，且当
1 0 ≤ x1 < x2 ≤ 1 时，有 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ，则 f ( 2010 ) 的值为
1 256 A． 1 128 B． 1 64 C． 1 32 D．
(
)
二、填空题（每小题 5 分） 9.已知数列｛
an
2 a ｝的前 n 项和 Sn = 2n ? 3n + 1 ，则该数列的通项 n =____________；
10.与直线 3x－4y+1=0 平行且距离为 2 的直线方程为
_________；
11. 如图, AB 为⊙O 的直径, AC 切⊙O 于点 A,且 AC = 2 2cm ,过 C 的割线 CMN 交 AB 的延 长线于点 D,CM=MN=ND.则 AD 的长等于
cm ；
A O B D N M C
12. 当
x<
3 8 y = x+ 2 时，函数 2 x ? 3 的最大值是___________
f ( x) = sin(2 x +
13.关于函数
π
3
)x ∈ R
，有下列命题：
① 把函数 f (x ) 的图象向右平移 12 个单位后，可得 y = cos 2 x 的图象；
π
( ,0 ) 对称； ② 函数 f (x ) 的图象关于点 6 x=? 5π 12 对称；
π
③ 函数 f (x ) 的图象关于直线
1 π y = sin( x + ) f (x) 的图象上每个点的横坐标缩小到原来的 2 ，得到函数 6 的图 ④ 把函数
象，其中正确的命题序号为 ； 1 a f ( x) = x3 ? x 2 + (2 ? b) x ? 2 3 2 14. 设函数 有两个极值点，其中一个在区间 (0,1) 内，另一个
b?5 在区间 (1, 2) 内，则 a ? 4 的取值范围是
．
注意： 请把选择题、填空题的答案写在答题卡上
题号
一
二
三
总分
15 得分 答 题 卡 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 题号 答案 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 9. __________ ____ ； 11.______ ； 12.______ 三、解答题： ； 1 2 3
16
17
18
19
20
4
5
6
7
8
10. 14. __
；
13.______；
15．已知函数
（1）求 值，最小值．
的最小正周期； （2）若
，求
的最大
2 2 16．已知直线 l ： x ? 2 y ? 5 = 0 与圆 C ： x + y = 50 ，求：
（1）交点 A、B 的坐标；
（2） ?AOB 的面积.
sin 17. 在 ?ABC 中，设内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，向量 m = (cos A， A) ，向 cos 量 n = ( 2 ? sin A， A) ，若 | m + n |= 2 .
（1）求角 A 的大小； （2）若 b = 4 2 ，且 c =
2a ，求 ?ABC 的面积.
18．已知数列
{an }
满足
a1 = 1, a2 = 3, an + 2 = 3an +1 ? 2an (n ∈ N ? )
是等比数列；
．
（1）证明：数列 （2）求数列 （3） 若数列 和为
{an +1 ? an }
{an }
的通项公式；
{bn }
的首项
b1 = 1
， 且满足
4 nbn +1 = (a n + 1) 2bn (n ∈ N ? )
， 求数列
{bn }
的前 n 项
Sn
．
19．函数 f ( x) = x + ax + bx + c ，在曲线 y = f (x ) 上的点 P (1, f (1)) 处的切线方程为
3 2
y = 3x + 1 ；
（1）若 y = f (x ) 在 x = ?2 时有极值，求 f ( x ) 的表达式； （2）在（1）的条件下，求 y = f ( x ) 在 [? 3,1] 上的最大值； （3）若函数 y = f ( x ) 在区间 [? 2,1] 上单调递增，求 b 的取值范围。
20．已知函数 y = f ( x ), x ∈ N , f ( x ) ∈ N ，满足：对任意 x1 , x 2 ∈ N , x1 ≠ x 2 , 都有
x1 f ( x1 ) + x 2 f ( x 2 ) > x1 f ( x 2 ) + x 2 f ( x1 )
（1）试证明： f (x ) 为 N 上的单调增函数； （2） ?n ∈ N ，且 f (0) = 1 ，求证： f (n) ≥ n + 1 ；
（3）对任意 m, n ∈ N ,有 f ( n + f ( m)) = f ( n) + 1 + m ，证明：
∑ f (3
i =1
n
1
i
? 1)
<
1 2．
参考答案 1-8：ACAC BACB
?0, (n = 1) an = ? ?4n ? 5, (n > 1) ； 9.
5 12. 2 ； ?
10. 3 x ? 4 y + 11 = 0, 或 3 x ? 4 y ? 9 = 0 ；
11. 2 7 cm;
13.③；
14.（1，5）
15.已知函数
（I）求
的最小正周期；
（II）若
4
，求
4
的最大值，最小值．
解： f ( x) = cos x ? 2 sin x cos x ? sin x
= ( cos 2 x + sin 2 x )( cos 2 x ? sin 2 x ) ? sin 2 x = cos 2 x ? sin 2 x
π? ? = ? 2 sin ? 2 x ? ? 4 ? -------------------------------------------------6 分 ?
（I）
的最小正周期为
--------------------8 分
（II）
∴?
π
4
≤ 2x ?
π
3 ≤ π 4 4
∴?
2 π? ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤ 1 2 4 ? ---------------10 分 ?
π? ? ∴? 2 ≤ ? 2 sin ? 2 x ? ? ≤ 1 4 ? -----------------------------------------12 分 ?
的最大值为 1，最小值为 分
---------------------------------------13
16．已知直线 l ： x ? 2 y ? 5 = 0 与圆 C ： x + y = 50 ，求：
2 2
（1）交点 A、B 的坐标； 解： （1）A（7，1） （2）S = 15
（2） ?AOB 的面积.
B（-5，-5）
sin 17、在 ?ABC 中，设内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，向量 m = (cos A， A) ，向 cos 量 n = ( 2 ? sin A， A) ，若 | m + n |= 2 .
（1）求角 A 的大小； （2）若 b = 4 2 ，且 c =
2
2a ，求 ?ABC 的面积. 2 ? sin A) 2 + (sin A + cos A) 2
解： （1） | m + n | = (cos A +
= 4 + 2 2 (cos A ? sin A)
= 4 + 4 cos(
π
4
+ A)
∴ cos(
π
4
=4 + A) = 0 ∴
∵ A ∈ (0, π )
π
4
+A=
2
π
2
2
，A =
2
π
4
（2）由余弦定理知： a = b + c ? 2bc cos A
即
a 2 = (4 2 ) 2 + ( 2a ) 2 ? 2 × 4 2 × 2a cos
∴c = 8
π
4
解得 a = 4 2
∴ S ?ABC =
1 2 × 4 2 ×8× = 16 2 2 .
18．已知数列
{an }
满足
a1 = 1, a2 = 3, an + 2 = 3an +1 ? 2an (n ∈ N ? )
是等比数列；
．
（I）证明：数列 （II）求数列
{an +1 ? an }
{an }
的通项公式；
（Ⅲ） 若数列 和为
{bn }
的首项
b1 = 1
， 且满足
4 bn +1 = (a n + 1) 2bn (n ∈ N ? )
， 求数列
{bn }
的前 n 项
Sn
．
（I）证明：
∵ an + 2 = 3an +1 ? 2an ,
……………………………………… 2分
∴ an + 2 ? an +1 = 2(an +1 ? an )
∵ a1 = 1, a2 = 3
∴ a2 ? a1 = 2 ≠ 0
∴{an +1 ? an }
是以 2 为首项，2 为公比的等比数列． ……………………… 4 分
（II）解：由（I）得
an +1 ? an = 2n (n ∈ N * ),
……………………………… …………………… 9分
5分 7分
∴ an = (an ? an ?1 ) + (an ?1 ? an ? 2 ) + ... + (a2 ? a1 ) + a1 = 2 n ?1 + 2n ? 2 + ? + 2 + 1 = 2n ? 1
（III）因为 且由（II）知， 所以 所以
……………………………… ， ………………………… …………………………
4 bn +1 = (a n + 1) 2bn (n ∈ N ? )
bn +1 = bn
10 分 11 分
{bn }
是首项为 1 的常数数列
S n = n( n ∈ N ? )
……………………………………………… 13 分
3 2 19 ． 函 数 f ( x ) = x + ax + bx + c ， 过 曲 线 y = f (x ) 上 的 点 P (1, f (1)) 的 切 线 方 程 为
y = 3x + 1 ；
（1）若 y = f (x ) 在 x = ?2 时有极值，求 f ( x ) 的表达式； （2）在（1）的条件下，求 y = f ( x ) 在 [? 3,1] 上的最大值； （3）若函数 y = f ( x ) 在区间 [? 2,1] 上单调递增，求 b 的取值范围。 19、分值安排（5，5，4）
3 2 2 ′ 解： （1）由 f ( x ) = x + ax + bx + c 求导数得 f ( x ) = 3x + 2ax + b 过 y = f ( x ) 上点
P (1, f (1)) 的切线方程为：
y ? f (1) = f ′(1)( x ? 1),即y ? (a + b + c + 1) = (3 + 2a + b)( x ? 1) ，
而过 y = f ( x ) 上点 P (1, f (1)) 的切线方程为 y = 3 x + 1
故
?3 + 2a + b = 3 ?2 a + b = 0 ? ? c?a =3 ? c?a =3 即?
① ②
∵ y = f ( x ) 在 x=-2 时有极值，故 f ′( ?2) =0 ∴?4a + b = ?12
3 2
③
由①②③式联立解得 a = 2, b = ?4, c = 5 ，∴ f ( x ) = x + 2 x ? 4 x + 5
2 2 ′ （2） f ( x ) = 3x + 2ax + b = 3x + 4 x ? 4 = (3x ? 2)( x + 2)
x
f ′( x ) f ( x)
[ ?3 ? 2)
+ ↗
-2 0 极大
2 ( ?2, ) 3
— ↘ ，
2 3
0 极小
2 ( ,1] 3
+ ↗
f ( x )极大 = f ( ?2) = ( ?2)3 + 2( ?2) 2 ? 4( ?2) + 5 = 13
f (1) = 13 + 2 × 1 ? 4 × 1 + 5 = 4 ，∴ f ( x ) 在[-3，1]上最大值为 13。
2 ′ （3） y = f ( x ) 在区间 [-2，1]上单调递增，又 f ( x ) = 3x + 2ax + b ， 2 ′ 由（1）知 2a + b = 0 ，∴ f ( x ) = 3x ? bx + b 2 ′ ′ 依题意 f ( x ) 在[-2，1]上恒有 f ( x ) ≥ 0,即3 x ? bx + b ≥ 0 在[-2，1]上恒成立。
当
x=
b ≥1 f ′( x )小 = f ′(1) = 3 ? b + b > 0 ∴ b ≥ 6 6 时， ，
b ≤ ?2 f ′( x )小 = f ′( ?2) = 12 + 2b + b ≥ 0 ∴ b ∈? 6 时， ， b 12b ? b 2 ≤1 f ′( x )小 = ≥0 6 12 时， ，∴0≤b≤6
当
x=
③当
?2 ≤
综合上述讨论可知，所求参数 b 取值范围是：b≥0。
20. 已知函数 y = f ( x ), x ∈ N , f ( x ) ∈ N ，满足：对任意 x1 , x 2 ∈ N , x1 ≠ x 2 , 都有
x1 f ( x1 ) + x 2 f ( x 2 ) > x1 f ( x 2 ) + x 2 f ( x1 ) ；
（1）试证明： f (x ) 为 N 上的单调增函数； （2） ?n ∈ N ，且 f (0) = 1 ，求证： f (n) ≥ n + 1 ；
（3）对任意 m, n ∈ N ,有 f ( n + f ( m)) = f ( n) + 1 ，证明：
*
∑ f (3
i =1
n
1
i
? 1)
<
1 4.
证明： （1）由①知，对任意 a, b ∈ N , a < b ，都有 ( a ? b)( f ( a ) ? f (b)) > 0 ，
* 由于 a ? b < 0 ，从而 f (a ) < f (b) ，所以函数 f ( x) 为 N 上的单调增函数.
----- 3 分
（2）由（1）可知 ?n ∈ N 都有 f(n+1)>f(n),则有 f(n+1) ≥ f(n)+1----- 5 分
∴ f(n+1)-f(n) ≥ 1 ,
∴ f(n)-f(n-1) ≥ 1 ??? ∴ f(2)-f(1) ≥ 1 ∴ f(1)-f(0) ≥ 1
由此可得 f(n)-f(0) ≥ n ∴ f(n) ≥ n+1 命题得证-------------------------------------8 分 （3）令 m=0,可得出 f(0)=1-----------------------------------10 分 则 f(n+1)=f(n)+1,则 f(n)=n+1--------------------------------------12 分
1 1 (1? n ) 1 1 1 1 1 1 1 3 ∑ f (3i ?1) = 3 + 32 +???+ 3n = 3 1 = 2 (1? 3n ) < 2 i =1 1? 3 --------14 分
n