北京市顺义牛栏山第一中学高三月考考试数学试题理

数学试题( 北京市顺义牛栏山第一中学高三月考考试数学试题(理)
2009 年 12 月 14 一、选择题(每小题 5 分) 选择题( 1.已知集合 M = 3 , 2a , N = {a , b} ,若 M ∩ N = {2} ,则 M ∪ N = A. {1, 2, 3} 2. 下列说法错误的是 .. A.如果命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题; B.命题“若 a = 0 ,则 ab = 0 ”的否命题是:“若 a ≠ 0 ,则 ab ≠ 0 ”; C.若命题 p : ?x ∈ R, x 2 ? x + 1 < 0 ,则 ?p : ?x ∈ R, x 2 ? x + 1 ≥ 0 ; D.“ sin θ =
1 ”是“ θ = 30° ”的充分不必要条件. 2

{

}

B. {0, 2, 3}

C. {0,1, 2}

D. {0,1, 3} ( )

3. 已知复数 z = 1 + i, 则 A.

4 3 ? i 5 5

1+ z = 1+ z2 4 3 B. + i 5 5

( C. i D. ?i

)

4.点 O 是 ?ABC 所在平面内的一点,且满足 OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ,则点 O 是

?ABC 的
A.三条内角平分线交点(即内心) C.三条高线交点(即垂心) 5. 函数 f ( x) =





B.三边的垂直平分线交 点(即外心) D.三条中线交点(即重心) ( )



x

0

(t 2 ? 4t )dt在[?1,5] 上的最大和最小值情况是
B.有最大值 0 和最小值-

A.有最大值 0,但无最小值 C.有最小值-

32 3

32 ,但无最大值 D.既无最大值又无最小值 3 6. 已知函数 f ( x ) =| log 2 x | ,则下列不等式成立的是( ) ..
1 1 A. f (2) < f ( ) < f ( ) 3 4
C. f ( 1 ) < f (2) < f ( 1 ) 3 4 B. f ( 1 ) < f (2) < f ( 1 ) 4 3 D. f ( ) < f ( ) < f (2)

1 4

1 3

? x = 1 + cos θ ? y = ?2 + sin θ ( θ 为参数) 7. 若直线 3 x + 4 y + m = 0 与圆 ? 相切,则实数 m 的值是 (
A.10 B.0 C.10 或 0 D.10 或 1

) .

x 1 f (0) = 0, f ( x) + f (1 ? x) = 1, f ( ) = f ( x) 3 2 8. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 ,且当
1 0 ≤ x1 < x2 ≤ 1 时,有 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ,则 f ( 2010 ) 的值为
1 256 A. 1 128 B. 1 64 C. 1 32 D.

(

)

二、填空题(每小题 5 分) 9.已知数列{

an

2 a }的前 n 项和 Sn = 2n ? 3n + 1 ,则该数列的通项 n =____________;

10.与直线 3x-4y+1=0 平行且距离为 2 的直线方程为

_________;

11. 如图, AB 为⊙O 的直径, AC 切⊙O 于点 A,且 AC = 2 2cm ,过 C 的割线 CMN 交 AB 的延 长线于点 D,CM=MN=ND.则 AD 的长等于

cm ;
A O B D N M C

12. 当

x<

3 8 y = x+ 2 时,函数 2 x ? 3 的最大值是___________

f ( x) = sin(2 x +
13.关于函数

π
3

)x ∈ R

,有下列命题:

① 把函数 f (x ) 的图象向右平移 12 个单位后,可得 y = cos 2 x 的图象;

π

( ,0 ) 对称; ② 函数 f (x ) 的图象关于点 6 x=? 5π 12 对称;

π

③ 函数 f (x ) 的图象关于直线

1 π y = sin( x + ) f (x) 的图象上每个点的横坐标缩小到原来的 2 ,得到函数 6 的图 ④ 把函数
象,其中正确的命题序号为 ; 1 a f ( x) = x3 ? x 2 + (2 ? b) x ? 2 3 2 14. 设函数 有两个极值点,其中一个在区间 (0,1) 内,另一个
b?5 在区间 (1, 2) 内,则 a ? 4 的取值范围是



注意: 请把选择题、填空题的答案写在答题卡上

题号







总分

15 得分 答 题 卡 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. __________ ____ ; 11.______ ; 12.______ 三、解答题: ; 1 2 3

16

17

18

19

20

4

5

6

7

8

10. 14. __



13.______;

15.已知函数

(1)求 值,最小值.

的最小正周期; (2)若

,求

的最大

2 2 16.已知直线 l : x ? 2 y ? 5 = 0 与圆 C : x + y = 50 ,求:

(1)交点 A、B 的坐标;

(2) ?AOB 的面积.

sin 17. 在 ?ABC 中,设内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,向量 m = (cos A, A) ,向 cos 量 n = ( 2 ? sin A, A) ,若 | m + n |= 2 .
(1)求角 A 的大小; (2)若 b = 4 2 ,且 c =

2a ,求 ?ABC 的面积.

18.已知数列

{an }

满足

a1 = 1, a2 = 3, an + 2 = 3an +1 ? 2an (n ∈ N ? )
是等比数列;



(1)证明:数列 (2)求数列 (3) 若数列 和为

{an +1 ? an }

{an }

的通项公式;

{bn }

的首项

b1 = 1

, 且满足

4 nbn +1 = (a n + 1) 2bn (n ∈ N ? )

, 求数列

{bn }

的前 n 项

Sn



19.函数 f ( x) = x + ax + bx + c ,在曲线 y = f (x ) 上的点 P (1, f (1)) 处的切线方程为
3 2

y = 3x + 1 ;
(1)若 y = f (x ) 在 x = ?2 时有极值,求 f ( x ) 的表达式; (2)在(1)的条件下,求 y = f ( x ) 在 [? 3,1] 上的最大值; (3)若函数 y = f ( x ) 在区间 [? 2,1] 上单调递增,求 b 的取值范围。

20.已知函数 y = f ( x ), x ∈ N , f ( x ) ∈ N ,满足:对任意 x1 , x 2 ∈ N , x1 ≠ x 2 , 都有

x1 f ( x1 ) + x 2 f ( x 2 ) > x1 f ( x 2 ) + x 2 f ( x1 )
(1)试证明: f (x ) 为 N 上的单调增函数; (2) ?n ∈ N ,且 f (0) = 1 ,求证: f (n) ≥ n + 1 ;

(3)对任意 m, n ∈ N ,有 f ( n + f ( m)) = f ( n) + 1 + m ,证明:

∑ f (3
i =1

n

1
i

? 1)

<

1 2.

参考答案 1-8:ACAC BACB

?0, (n = 1) an = ? ?4n ? 5, (n > 1) ; 9.
5 12. 2 ; ?

10. 3 x ? 4 y + 11 = 0, 或 3 x ? 4 y ? 9 = 0 ;

11. 2 7 cm;

13.③;

14.(1,5)

15.已知函数

(I)求

的最小正周期;

(II)若
4

,求
4

的最大值,最小值.

解: f ( x) = cos x ? 2 sin x cos x ? sin x

= ( cos 2 x + sin 2 x )( cos 2 x ? sin 2 x ) ? sin 2 x = cos 2 x ? sin 2 x

π? ? = ? 2 sin ? 2 x ? ? 4 ? -------------------------------------------------6 分 ?

(I)

的最小正周期为

--------------------8 分

(II)

∴?

π
4

≤ 2x ?

π

3 ≤ π 4 4

∴?

2 π? ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤ 1 2 4 ? ---------------10 分 ?

π? ? ∴? 2 ≤ ? 2 sin ? 2 x ? ? ≤ 1 4 ? -----------------------------------------12 分 ?

的最大值为 1,最小值为 分

---------------------------------------13

16.已知直线 l : x ? 2 y ? 5 = 0 与圆 C : x + y = 50 ,求:
2 2

(1)交点 A、B 的坐标; 解: (1)A(7,1) (2)S = 15

(2) ?AOB 的面积.

B(-5,-5)

sin 17、在 ?ABC 中,设内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,向量 m = (cos A, A) ,向 cos 量 n = ( 2 ? sin A, A) ,若 | m + n |= 2 .
(1)求角 A 的大小; (2)若 b = 4 2 ,且 c =
2

2a ,求 ?ABC 的面积. 2 ? sin A) 2 + (sin A + cos A) 2

解: (1) | m + n | = (cos A +

= 4 + 2 2 (cos A ? sin A)

= 4 + 4 cos(

π
4

+ A)

∴ cos(

π
4

=4 + A) = 0 ∴

∵ A ∈ (0, π )

π
4

+A=
2

π
2
2

,A =
2

π
4

(2)由余弦定理知: a = b + c ? 2bc cos A



a 2 = (4 2 ) 2 + ( 2a ) 2 ? 2 × 4 2 × 2a cos
∴c = 8

π
4

解得 a = 4 2

∴ S ?ABC =

1 2 × 4 2 ×8× = 16 2 2 .

18.已知数列

{an }

满足

a1 = 1, a2 = 3, an + 2 = 3an +1 ? 2an (n ∈ N ? )
是等比数列;



(I)证明:数列 (II)求数列

{an +1 ? an }

{an }

的通项公式;

(Ⅲ) 若数列 和为

{bn }

的首项

b1 = 1

, 且满足

4 bn +1 = (a n + 1) 2bn (n ∈ N ? )

, 求数列

{bn }

的前 n 项

Sn



(I)证明:

∵ an + 2 = 3an +1 ? 2an ,
……………………………………… 2分

∴ an + 2 ? an +1 = 2(an +1 ? an )

∵ a1 = 1, a2 = 3
∴ a2 ? a1 = 2 ≠ 0

∴{an +1 ? an }

是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. ……………………… 4 分

(II)解:由(I)得

an +1 ? an = 2n (n ∈ N * ),

……………………………… …………………… 9分

5分 7分

∴ an = (an ? an ?1 ) + (an ?1 ? an ? 2 ) + ... + (a2 ? a1 ) + a1 = 2 n ?1 + 2n ? 2 + ? + 2 + 1 = 2n ? 1
(III)因为 且由(II)知, 所以 所以

……………………………… , ………………………… …………………………

4 bn +1 = (a n + 1) 2bn (n ∈ N ? )

bn +1 = bn

10 分 11 分

{bn }

是首项为 1 的常数数列

S n = n( n ∈ N ? )

……………………………………………… 13 分

3 2 19 . 函 数 f ( x ) = x + ax + bx + c , 过 曲 线 y = f (x ) 上 的 点 P (1, f (1)) 的 切 线 方 程 为

y = 3x + 1 ;
(1)若 y = f (x ) 在 x = ?2 时有极值,求 f ( x ) 的表达式; (2)在(1)的条件下,求 y = f ( x ) 在 [? 3,1] 上的最大值; (3)若函数 y = f ( x ) 在区间 [? 2,1] 上单调递增,求 b 的取值范围。 19、分值安排(5,5,4)
3 2 2 ′ 解: (1)由 f ( x ) = x + ax + bx + c 求导数得 f ( x ) = 3x + 2ax + b 过 y = f ( x ) 上点

P (1, f (1)) 的切线方程为:

y ? f (1) = f ′(1)( x ? 1),即y ? (a + b + c + 1) = (3 + 2a + b)( x ? 1) ,

而过 y = f ( x ) 上点 P (1, f (1)) 的切线方程为 y = 3 x + 1



?3 + 2a + b = 3 ?2 a + b = 0 ? ? c?a =3 ? c?a =3 即?

① ②

∵ y = f ( x ) 在 x=-2 时有极值,故 f ′( ?2) =0 ∴?4a + b = ?12
3 2



由①②③式联立解得 a = 2, b = ?4, c = 5 ,∴ f ( x ) = x + 2 x ? 4 x + 5
2 2 ′ (2) f ( x ) = 3x + 2ax + b = 3x + 4 x ? 4 = (3x ? 2)( x + 2)

x
f ′( x ) f ( x)

[ ?3 ? 2)
+ ↗

-2 0 极大

2 ( ?2, ) 3
— ↘ ,

2 3
0 极小

2 ( ,1] 3
+ ↗

f ( x )极大 = f ( ?2) = ( ?2)3 + 2( ?2) 2 ? 4( ?2) + 5 = 13

f (1) = 13 + 2 × 1 ? 4 × 1 + 5 = 4 ,∴ f ( x ) 在[-3,1]上最大值为 13。
2 ′ (3) y = f ( x ) 在区间 [-2,1]上单调递增,又 f ( x ) = 3x + 2ax + b , 2 ′ 由(1)知 2a + b = 0 ,∴ f ( x ) = 3x ? bx + b 2 ′ ′ 依题意 f ( x ) 在[-2,1]上恒有 f ( x ) ≥ 0,即3 x ? bx + b ≥ 0 在[-2,1]上恒成立。



x=

b ≥1 f ′( x )小 = f ′(1) = 3 ? b + b > 0 ∴ b ≥ 6 6 时, ,
b ≤ ?2 f ′( x )小 = f ′( ?2) = 12 + 2b + b ≥ 0 ∴ b ∈? 6 时, , b 12b ? b 2 ≤1 f ′( x )小 = ≥0 6 12 时, ,∴0≤b≤6



x=

③当

?2 ≤

综合上述讨论可知,所求参数 b 取值范围是:b≥0。

20. 已知函数 y = f ( x ), x ∈ N , f ( x ) ∈ N ,满足:对任意 x1 , x 2 ∈ N , x1 ≠ x 2 , 都有

x1 f ( x1 ) + x 2 f ( x 2 ) > x1 f ( x 2 ) + x 2 f ( x1 ) ;

(1)试证明: f (x ) 为 N 上的单调增函数; (2) ?n ∈ N ,且 f (0) = 1 ,求证: f (n) ≥ n + 1 ;

(3)对任意 m, n ∈ N ,有 f ( n + f ( m)) = f ( n) + 1 ,证明:
*

∑ f (3
i =1

n

1
i

? 1)

<

1 4.

证明: (1)由①知,对任意 a, b ∈ N , a < b ,都有 ( a ? b)( f ( a ) ? f (b)) > 0 ,
* 由于 a ? b < 0 ,从而 f (a ) < f (b) ,所以函数 f ( x) 为 N 上的单调增函数.

----- 3 分

(2)由(1)可知 ?n ∈ N 都有 f(n+1)>f(n),则有 f(n+1) ≥ f(n)+1----- 5 分

∴ f(n+1)-f(n) ≥ 1 ,

∴ f(n)-f(n-1) ≥ 1 ??? ∴ f(2)-f(1) ≥ 1 ∴ f(1)-f(0) ≥ 1
由此可得 f(n)-f(0) ≥ n ∴ f(n) ≥ n+1 命题得证-------------------------------------8 分 (3)令 m=0,可得出 f(0)=1-----------------------------------10 分 则 f(n+1)=f(n)+1,则 f(n)=n+1--------------------------------------12 分

1 1 (1? n ) 1 1 1 1 1 1 1 3 ∑ f (3i ?1) = 3 + 32 +???+ 3n = 3 1 = 2 (1? 3n ) < 2 i =1 1? 3 --------14 分
n


相关文档

高三数学-【数学】北京市顺义牛栏山第一中学高三月考试题(理) 精品
北京市顺义牛栏山第一中学高三月考考试
2019年北京市顺义区牛栏山第一中学高三9月月考数学试题
【全国百强校】北京市顺义区牛栏山第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题
北京市顺义区牛栏山第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题带答案
北京市顺义区牛栏山第一中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
2020届北京市顺义区牛栏山第一中学高三9月月考数学试题(解析版)
北京市顺义区牛栏山第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题
北京市顺义区牛栏山第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
北京市顺义区牛栏山第一中学高三上学期期中考试物理试题
电脑版