衡水一中试题


衡水中学 2013—2014 学年度第一学期高二年级五调考试
数学试卷(理科)

第I卷

选择题 (共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意.) 1. 当

2 ? m ? 1 时,复数 m (3 ? i ) ? (2 ? i ) 在复平面内对应的点位于( ) 3
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 2. 已知 2 ?

2 2 3 3 4 4 a a ?2 ?4 , 3? ? 3 , 4? ,?,若 6 ? ? 6 (a , b ? R ) , 3 3 8 8 15 15 b b
D、a=5, b=35
3

则( ) A、a=5, b=24 B、a=6, b=24 C、a=6, b=35 3.某人进行了如下的“三段论”推理:

如 果 f ' ( x0 ) ? 0 , 则 x ? x0 是 函 数 f ( x) 的 极 值 点 , 因 为 函 数 f ( x) ? x 在 x ? 0 处 的 导 数 值

f ' (0) ? 0 ,所以 x ? 0 是函数 f ( x) ? x3 的极值点。你认为以上推理的(
A. 小前提错误 B.大前提错误 C. 推理形式错误



D. 结论正确

4.设 f ? x ? 是定义在正整数集上的函数,且 f ? x ? 满足:“当 f ?k ? ? k 2 成立时,总可推出
f ?k ? 1? ? ?k ? 1?2 成立”,那么,下列命题总成立的是

A.若 f ?1? ? 1 成立,则 f ?10? ? 100 成立 B.若 f ?3? ? 9 成立,则当 k ? 1 时,均有 f ?k ? ? k 2 成立 C.若 f ?2? ? 4 成立,则 f ?1? ? 1 成立 D.若 f ? 4 ? ? 16 成立,则当 k ? 4 时,均有 f ?k ? ? k 2 成立 5. 已 知 结 论 : “ 在 正 ?ABC 中 , BC 中 点 为 D , 若 ?ABC 内 一 点 G 到 各 边 的 距 离 都 相 等 , 则

AG .若把该结论推广到空间,则有结论: “在棱长都相等的四面体 ABCD 中,若 ?BCD 的中 ? 2” GD AO 心为 M ,四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等,则 ?( ) OM
A.1 B.2 C. 3
·1 ·

D.4

6.设定点 F1 ? 0, ?3? , F2 ? 0,3 ? ,动点 P ? x, y ? 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ?a > 0 ? ,则动点 P 的轨迹 是( ). A. 椭圆 7. 下列说法: ①命题“存在 B. 线段
x

C. 不存在

D.椭圆或线段或不存在

x ? R, 2

?0

” 的否定是“对任意的

x ? R,2

x

?0

” ;

②关于 x 的不等式 ③函数

a ? sin 2 x ?

2 sin 2 x 恒成立,则 a 的取值范围是 a ? 3 ;
为奇函数的充要条件是 a ? b ? 0 ; C.1 D.0 ,f
,

f ( x) ? a log 2 | x | ? x ? b

其中正确的个数是( ) A.3 B.2 8.函数 f (x ) ? sin x ? 2xf ?
,

?? ? ? ?3?

?x ? 为 f(x)的导函数,令 a=-1 ,b=log 2,则下列关 2
3

系正确的是(

) B.f(a)<f(b) D.f(|a|)<f(b)

A.f(a)>f(b) C.f(a)=f(b)

9.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),设其导函数为 f′(x),当 x∈(-∞,0]时,恒有 xf′(x)<f(-

x),令 F(x)=xf(x),则满足 F(3)>F(2x-1)的实数 x 的取值范围是(
A.(-2,1) 1? ? B.?-1, ? 2? ? D.(-1,2)

)

?1 ? C.? ,2? ?2 ?
10.设 a>0,b>0.

( B.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a<b
a b



A.若 2 C.若 2

a

? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b

a

? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b

D.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a<b
a b

x2 y2 ? ?1 9 11.已知椭圆 16 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上. 若 P、 F1 、 F2 是一个直角
三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( )

9 A. 5

9 7 B. 7

9 C. 4

9 9 7 D. 4 或 7


/ 12.已知 f ( x) 为定义在 (??, ??) 上的可导函数,且 f ( x) ? f ( x) 对于 x ? R 恒成立,则(

·2 ·

A. f (2) ? e2 f (0), f (2011) ? e2011 f (0) C. f (2) ? e2 f (0), f (2011) ? e2011 f (0)

B. f (2) ? e2 f (0), f (2011) ? e 2011 f (0) D. f (2) ? e2 f (0), f (2011) ? e2011 f (0)

第Ⅱ卷

非选择题

(共 90 分)

二、填空题 (本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 13. 若复数 m ? 5m ? 6 ? m ? 3m i 是纯虚数,则 m=
2 2
2

?

? ?

?

.

14.过抛物线 x ? 2 py ? p ? 0 ? 的焦点 F 作倾斜角为 30°的直线,与抛物线分别交于 A、B 两点(点 A 在 y 轴左侧),则

AF = FB

15.计算

?

?1 ?e

1 dx = x
x y y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上斜率为 1 的弦的中点在直线 2 ? 2 ? 0 上,类比 2 2 a b a b
y2 ? ? 1(a, b ? 0) 上斜率为 1 的弦的中点在直线 a 2 b2 x2


16. 椭圆中有如下结论:椭圆

x2

上述结论得到正确的结论为:双曲线 17. 将正整数排成下表:

………………………….

则数表中的 2008 出现在第
3 2

行.

18. 对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 给出定义: 设 f ?( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数, f ??( x) 是函数 f ?( x) 的导数,

·3 ·

若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”,某同学经过探究发 现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。 给 定 函 数

1 1 5 , 请 你 根 据 上 面 探 究 结 果 , 计 算 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 x ? 3 2 12 1 2 3 2 0 1 2 . f( ? ) f ( ?) f ( ? ) ? f . . = . ( ) 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3

三、解答题(共 5 个小题,每题 12 分,共 60 分) 19. 用数学归纳法证明等式:

n2 12 22 n2 ? n ? ??? = 对于一切 n ? N ? 都成立. (2n ? 1)(2n ? 1) 4n ? 2 1? 3 3 ? 5

20. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ,

AB ? 2 AD , E 是线段 PD 上的点, F 是线段 AB 上的点,且

PE BF ? ? ? (? ? 0). ED FA

(Ⅰ)当 ? ? 1 时,证明 DF ? 平面 PAC ; (Ⅱ) 是否存在实数 ? , 使异面直线 EF 与 CD 所成的角为 60 ? ?若存在, 试求出 ? 的值; 若不存在, 请说明理由.

21.已知 a∈R,函数 f(x)=(-x +ax)e (x∈R,e 为自然对数的底数). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递增区间;
·4 ·

2

x

(2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围.

22. 已知曲线

C1 :

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, x ? 0)和曲线C2:x 2 ? y 2 ? r 2 ( x ? 0) 都 2 a b
3 . 2

过点 A(0,-1) ,且曲线 C1 所在的圆锥曲线的离心率为 (Ⅰ)求曲线 C1 和曲线 C2 的方程;

(Ⅱ)设点 B,C 分别在曲线 C1 , C 2 上, k1 , k 2 分别为直线 AB,AC 的斜率,当 k2 ? 4k1 时,问直线 BC 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

·5 ·

23.已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) . x

(1) 判断函数 f(x)在(0, ?? ) 上单调性; (2) 若 f ( x) ?

k 恒成立, 求整数 k 的最大值; x ?1
2 n ?3

(3) 求证: (1 ? 1? 2)(1 ? 2 ? 3)?[1 ? n(n ? 1)] ? e

.

·6 ·


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