2014全国高中数学优质课课件圆锥曲线起始课(湖北龙泉中学叶俊杰)_图文

《圆锥曲线与方程》起始课
湖北省荆门市龙泉中学 叶俊杰

《圆锥曲线与方程》起始课
荆门市龙泉中学 叶俊杰

本章引言
我们知道,用一个垂直于圆锥的轴 的平面截圆锥,截口曲线(截面与圆锥 侧面的交线)是一个圆.如果改变平面与 圆锥轴线的夹角,会得到什么图形呢? 如图,用一个不垂直于圆锥的轴的 平面截圆锥,当截面与圆锥的轴夹角不 同时,可以得到不同的截口曲线,它们 分别是椭圆、抛物线、双曲线.我们通常 把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆 锥曲线.

本章引言
我们知道,用一个垂直于圆锥的轴 的平面截圆锥,截口曲线(截面与圆锥 侧面的交线)是一个圆.如果改变平面与 圆锥轴线的夹角,会得到什么图形呢? 名称由来 如图,用一个不垂直于圆锥的轴的 --是什么? 平面截圆锥,当截面与圆锥的轴夹角不 同时,可以得到不同的截口曲线,它们 分别是椭圆、抛物线、双曲线.我们通常 把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆 锥曲线.

Apollonius(约前 262-前 190),古希腊 数学家。他的著作《圆锥曲线论》是古代 世界光辉的科学成果。当时阿波罗尼奥斯 对圆锥曲线已做了系统性的研究,并几乎 将其性质网罗殆尽,使后人难以有新的发
阿波罗尼奥斯

现. 他和欧几里得、阿基米德合称为古希 腊三大数学家。

本章引言 圆锥曲线与科研、生产以及人类 生活有着紧密的关系.早在16、17世 纪之交,开普勒就发现行星绕太阳运 行的轨道是一个椭圆;探照灯反射镜 面是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛 物面;发电厂冷却塔的外形线是双曲 线……为什么圆锥曲线有如此巨大的 作用呢?我们可以从它的几何特征 及 其性质 中找到答案.

本章引言 圆锥曲线与科研、生产以及人类 生活有着紧密的关系.早在16、17世 纪之交,开普勒就发现行星绕太阳运 应用广泛 行的轨道是一个椭圆;探照灯反射镜 --为什么学? 面是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛 物面;发电厂冷却塔的外形线是双曲 线……为什么圆锥曲线有如此巨大的 作用呢?我们可以从它的几何特征 及其 中找到答案 . 性质

天文、物理

浩瀚宇宙

天文、物理

鹿林彗星(轨道为双曲线)

天文、物理
v=16.7km/s

第三宇宙速度
v=11.2km/s

第二宇宙速度 第一宇宙速度
v=7.9km/s

11.2km/s>v>7.9km/s

生产、生活、建筑
荆门热电厂通风塔

巍巍高塔

橄榄球

探照灯

旋转椭圆面

抛物面

光学性质

史海钩沉

杰尼西亚的耳朵
很久以前,叙拉古国暴君杰 尼西亚把一些囚犯关在西西里 的一个山洞里. 囚犯们多次密谋 越狱,但每次计划都被发现 . 起 初大家认为有内奸,但始终未发 现告密者. 后来他们察觉到山洞 形状古怪,洞壁把囚犯们的话都 反射到狱卒耳朵里去了 . 于是囚 犯们诅咒这个山洞为“杰尼西亚 的耳朵”.

史海钩沉

原来,囚洞的剖面近似于椭圆(如 图) ,犯人聚居的地方恰好在椭圆的一 个焦点附近,狱卒在另一个焦点处偷 听. 无论囚犯们怎样压低嗓门,他们 的声音照样被狱卒听得一清二楚.

生产、生活、建筑

抛物面形天线

双曲线形建筑

生产、生活、建筑

炫彩喷泉

生产、生活、建筑

中国国家大剧院

互动探究
1.绳子一端固定在平整的草地上,另一 端拴着一只羊,小羊活动的最大边界是什么 曲线?

2.绳子两端都固定在草地上(绳长大于两 固定点间的距离),绳上套个小环,环上拴 一只羊,小羊活动的最大边界是什么曲线?

定义引出
平面内与两定点F1 , F2的距离的和等于常数2a (大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。两个定点F1 , F2叫做椭圆 的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c。

即{ M | MF1 | ? | MF2 |? 2a(2a ? 2c )}

互动探究
?

?

?

?

椭圆

双曲线

抛物线

Germinal Pierre Dandelin (April 12, 1794 - February 15, 1847) ,丹迪林,法国 著名数学家,工程学教授。

丹迪林

互动探究
Dandelin在截面的两侧分别放置一个球, 使它们都与截面相切(切点分别为F1,F2), 且分别与圆锥的侧面相切(两球与侧面的公 共点分别构成圆O1和圆O2).设点M是平面 与圆锥侧面的截线上任一点,过M点作圆锥 的一条母线分别与两个球切于P,Q两点。
V O2 F2

Q

= = 故MF ? MF ___ MP ? MQ = ___ PQ =
? MF1 ____ MP MF2 ____ MQ
1 2

F1 M O1 P

本章引言
圆锥曲线具有怎样的几何特征?如何研究圆锥曲 线的性质? 事实上,圆锥曲线的发现与研究始于古希腊 .当 时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关 的曲线,它们的几何性质是圆的几何性质的自然推 广.17世纪初期, 笛卡尔 发明了坐标系,人们开始在 坐标系的基础上,用代数方法研究圆锥曲线.本章我 们继续采用必修课程《数学2》中研究直线与圆所用 的坐标法,在探索圆锥曲线几何特征的基础上,建立 它们的方程,通过方程研究它们的简单性质,并用坐 标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际 问题,进一步感受数形结合的基本思想.

本章引言
圆锥曲线具有怎样的几何特征?如何研究圆锥曲 线的性质? 事实上,圆锥曲线的发现与研究始于 古希腊 .当 时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关 的曲线,它们的几何性质是圆的几何性质的自然推 研究方法 笛卡尔 发明了坐标系,人们开始在 广. 17世纪初期, 坐标系的基础上,用代数方法研究圆锥曲线.本章我 --怎样学? 们继续采用必修课程《数学2》中研究直线与圆所用 的坐标法,在探索圆锥曲线几何特征的基础上,建立 它们的方程,通过方程研究它们的简单性质,并用坐 标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际 问题,进一步感受数形结合的基本思想.

温故知新
René Descartes(1596 年 3 月 31 日-1650 年 2 月 11 日) ,法国著名的哲学家、数学家、 物理学家。他对现代数学的发展做出了卓越的 贡献,因将几何坐标体系公式化而被认为是解 析几何之父。

笛卡尔

笛卡尔手稿

温故知新

1.直线及其方程
y

点斜式
y ? y1 ? k ( x ? x1 )

斜截式
o
x

位置关系及
相关性质

y ? kx ? b

一般式
Ax ? By?C ? 0 ( A2 ? B 2 ? 0)

如何证 明 l1
y

l2 ?
l1 l2

几何:? ? ? ( 或 ? ? ? )

o

?

?
?

? k1 ? k2 代数:? x ? b1 ? b2

l1:y ? k1 x ? b1 l2:y ? k2 x ? b2

温故知新

2.圆及其方程
标准方程

(x ? a ?( ) ?r x) ? yy ? ?br
22 2
2

2

一般方程

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

( D ? E ? 4F ? 0)
2 2

位置关系及相关性质

温故知新

Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 (*)
2 2

(探究)(*)式能表示圆锥曲线的方程吗?

温故知新

1 y? x

温故知新

温故知新

温故知新
例如:y ? ? c(a ? 0) y? ? ax ax ( abx ? 0)
2 2

?

温故知新
Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(*)

1 y ? ? xy ? 1 x 2 2 y ? ax ? bx ? c ? ax ? bx ? y ? c ? 0 满足(*)式方程的形式吗?
当(*)方程中的系数满足一定条件时就 可以表示不同的圆锥曲线,所以圆锥曲线也称 为二次曲线。

课堂练习

2a ? 4 2c ? 2
建系 设点 列式

方案一

y
M ( x , y)

方案二 y
M ( x , y)

F1 ( ?1,0)

o

F2 (1, 0)

x

F1 (0,0)

F2 (2, 0)

x

化简 方程
3 x 2 ? 4 y2 ? 12 ? 0 3 x 2 ? 4 y2 ? 6 x ? 9 ? 0

小结
广泛 应用
定义

圆锥 曲线

曲线

坐标法

方程

几何 性质

数学 文化

课后作业

1.已知?ABC中,BC 长为6,周长为16,那么顶点A在怎样的曲线 上运动?

2.查找Dandelin研究截口曲线分别为双曲线、抛物线的相关资料。

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