山东省实验中学2015届高三上学期第一次诊断性考试数学(理)试题及答案

第 I 卷(共 50 分) 一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项 符合题意) ...... 1.设 i 是虚数单位,复数 A. ?2 B.2 a?i 是纯虚数,则实数 a ? 2?i 1 1 C. ? D. 2 2 2.已知集合 A ? y y ? x ? 1, x ? R , B ? x x ? 2 ,则下列结论正确的是 A. ?3 ? A B. 3 ? B C. A ? B ? B D. A ? B ? B ? ? ? ? 3.已知函数 f ? x ? ? A cos ??x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0,? ? R ? , 则 “ f ? x ? 是奇函数” 是 “? ? 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ? 2 ” 4.已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1, a ? 1, a ? 4, 则an ? ?3? A. 4 ? ? ? ?2? n ?2? B. 4 ? ? ? ?3? n ?3? C. 4 ? ? ? ?2? n ?1 ?2? D. 4 ? ? ? ?3? n ?1 5.右图给出的是计算 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个框图,其中菱形判断横 2 4 6 20 应填入的条件是 A. i ? 10 B. i ? 10 C. i ? 11 D. i ? 11 6.函数 f ? x ? ? log 2 x ? A. 1 的零点所在的区间为 x C. ? 0,1? B. ?1, 2 ? ? 2,3? D. ? 3, 4? 7.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边 界) ,则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为 A. ? 3 B. 3 3 4? C. 3 4 D. 以上全错 8. 已知双曲线 C1 : x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2 ,若抛物线 a 2 b2 C2 : x2 ? 2 py ? p ? 0? 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 A. x ? 2 8 3 y 3 O B. x ? 2 16 3 y 3 ABC C. x2 ? 8 y D. x 2 ? 16 y P 满 足 9. 已 知 uu u r uuu r uu u r uur AB AC ) ? ? ? ? 0? ,则 P 点轨迹一定通过三角形 ABC 的 O P ? O ?? A ( uu ? uuu u r r AB sin B AC sin C B.外心 C.垂心 D.重心 是 三 角 形 所 在 平 面 内 一 定 点 , 动 点 A.内心 10.已知函数 f ? x ? 对任意 x ? R , 都有 f ? x ? 6? ? f ? x ? ? 0, y ? f ? x ?1? 的图像关于 ?1,0 ? 对称,且 f ? 2? ? 4, 则 f ? 2014? ? A.0 B. ?4 C. ?8 D. ?16 第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本题包括 5 小题,共 25 分) 11.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m)则该几何体的体积为________ m 3 1? ? 4 12.在二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中,含 x 的项的系数是________ x? ? 13.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第 n 个等式为_______. 2 14.若点 P 在直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 上,过点 P 的直线 l2 与曲线 C : ? x ? 5 ? ? y ? 16 只有一 2 5 个公共点 M,则 PM 的最小值为_________. ?x ? y ? 1 ? 15. 已知 x、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 7,则 3 4 ? 的最小值为_________. a b 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? ? sin ? x, cos ? x ? , b ? cos ? x, 3 cos ? x ?? ? 0 ? , 函数 f ? x ? ? a ? b ? r r ? ? r r 3 的最小正周期为 ? . 2 (I)求函数 f ? x ? 的单调增区间; 、 c所 对 的 角 分 别 为 A 、 B 、 C , 且 满 足 ( II ) 如 果 △ ABC 的 三 边 a、 b b2 ? c2 ? a2 ? 3bc,求f ? A? 的值. 17.(本小题满分 12 分)甲、乙两篮球运动员进行定点投篮,每人各投 4 个球,甲投篮命中 的概率为 1 2 ,乙投篮命中的概率为 . 2 3 (I)求甲至多命中 2 个且乙至少命中 2 个的概率; (II)若规定每投篮一次命中得 3 分,未命中得 ?1 分,求乙所得分数? 的概率分布和数学期 望. 18. (本小题满分 12 分)如图,在多面体 ABC ? A 1B 1C1 中,四边形 ABB 1A 1 是正方形, AC=AB=1, A1C ? A1 B ? BC , B1C1 / / BC , B1C1 ? (I)求证: AB1 / /面AC 1 1C ; (II)求二面角 C ? AC 1 1 ? B 的余弦值的大小. 1 BC . 2 19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 ,

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