2018高考数学(文科)习题 第八章 立体几何 8-4 Word版含答案

1.若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列 结论一定正确的是( ) 点击观看解答视频 A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 答案 D 解析 由 l1⊥l2,l2⊥l3 可知 l1 与 l3 的位置不确定, 若 l1∥l3,则结合 l3⊥l4,得 l1⊥l4,所以排除选项 B、C, 若 l1⊥l3,则结合 l3⊥l4,知 l1 与 l4 可能不垂直,所以排除选项 A.故选 D. 2. 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将 四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 P-ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,点 E 是 PC 的中点, 连接 DE,BD,BE. (1)证明: DE⊥平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑, 若是, 写出其每个面的直角(只 需写出结论);若不是,请说明理由; (2)记阳马 P-ABCD 的体积为 V1,四面体 EBCD 的体积为 V2,求 的值. 解 (1)证明:因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥BC. V1 V2 由底面 ABCD 为长方形,有 BC⊥CD,而 PD∩CD=D, 所以 BC⊥平面 PCD.DE? 平面 PCD,所以 BC⊥DE. 又因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,所以 DE⊥PC. 而 PC∩BC=C,所以 DE⊥平面 PBC. 由 BC⊥平面 PCD,DE⊥平面 PBC,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形, 即四面体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB. (2)由已知,PD 是阳马 P-ABCD 的高, 1 1 所以 V1= SABCD·PD= BC·CD·PD; 3 3 由(1)知,DE 是鳖臑 D-BCE 的高,BC⊥CE, 1 1 所以 V2= S△BCE·DE= BC·CE·DE. 3 6 在 Rt△PDC 中,因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点, 所以 DE=CE= 1 2 CD, 2 BC·CD·PD V1 3 2CD·PD 于是 = = =4. V2 1 CE·DE BC·CE·DE 6 3.如图,在三棱锥 V-ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△VAB 为等边三角形,AC⊥BC 且 AC=BC= 2,O,M 分别为 AB,VA 的中点. (1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB; (3)求三棱锥 V-ABC 的体积. 解 (1)证明:如图,因为 O,M 分别为 AB,VA 的中点,所以 OM∥VB. 又因为 VB?平面 MOC, 所以 VB∥平面 MOC. (2)证明:因为 AC=BC,O 为 AB 的中点,所以 OC⊥AB. 又因为平面 VAB⊥平面 ABC,且 OC? 平面 ABC,所以 OC⊥平面 VAB. 所以平面 MOC⊥平面 VAB. (3)在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC= 2,所以 AB=2,OC=1,所以 S△VAB= 3,又 因为 OC⊥平面 VAB, 1 3 所以 VC-VAB= OC·S△VAB= . 3 3 又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等,所以三棱锥 V-ABC 的体积 为 3 . 3 π 1 4.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中 2 2 点, O 是 AC 与 BE 的交点. 将△ABE 沿 BE 折起到图 2 中△A1BE 的位置, 得到四棱锥 A1-BCDE. (1)证明:CD⊥平面 A1OC; (2)当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时,四棱锥 A1-BCDE 的体积为 36 2,求 a 的值. 解 1 π (1)证明:在题图 1 中,因为 AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中点,∠BAD= ,所以 2 2 BE⊥AC. 即在题图 2 中,BE⊥A1O,BE⊥OC, 从而 BE⊥平面 A1OC, 又 CD∥BE,所以 CD⊥平面 A1OC. (2)由已知,平面 A1BE⊥平面 BCDE, 且平面 A1BE∩平面 BCDE=BE, 又由(1),A1O⊥BE,所以 A1O⊥平面 BCDE, 即 A1O 是四棱锥 A1-BCDE 的高. 由题图 1 知,A1O= 2 2 AB= a,平行四边形 BCDE 的面积 S=BC·AB=a2. 2 2 1 1 2 2 3 2 3 2 从而四棱锥 A1-BCDE 的体积为 V= ×S×A1O= ×a × a= a ,由 a =36 2,得 3 3 2 6 6 a=6. 5.如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD. (1)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥 E-ACD 的体积为 解 (1)证明:因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 6 ,求该三棱锥的侧面积. 3 因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE.故 AC⊥平面 BED. 又 AC? 平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED. (2)设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3 x x,GB=GD= . 2 2 3 x. 2 2 x. 2 因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可得 EG= 由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 BE= 1 1 6 3 6 由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE-ACD= × AC·GD·BE= x = ,故 x=2. 3 2 24 3 从而可得 AE=EC=ED= 6. 所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积

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