高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案新人教A版选修2_3

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1.3.2

“杨辉三角”与二项式系数的性质

教学目标 知识与技能 1.利用二项式定理得出二项式系数的一些性质; 2.能运用二项式系数的性质解决一些简单问题. 过程与方法 1.熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论; 2.熟练运用赋值法求一些代数式的值. 情感、态度与价值观 1.培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力. 2.通过学习“杨辉三角”的有关知识,了解我们国家悠久的文化传统,陶冶学生的爱 国主义情操,进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气,提升学生学习数学的兴趣. 重点难点 教学重点: 了解“杨辉三角”的结构与规律, 掌握二项式系数的一些性质, 掌握赋值法. 教学难点:二项式系数性质的得到和证明,利用二项式系数的性质解决有关问题. 教学过程 引入新课 前面我们学习了二项式定理,请回顾: n * (1)(a+b) =__________________(n∈N ), 这个公式表示的定理叫做二项式定理, 公式 n r 右 边 的 多 项 式 叫 做 (a + b) 的 __________________ , 其 中 C n (r = 0,1,2 , … , n) 叫 做 ____________,通项是指展开式的第________________项,展开式共有______________项. (2)什么是二项式系数?什么是系数? 活动设计:学生先独立回忆,然后独立发言,其他同学进行补充,必要时可以看书. 活动结果:(答案展示) n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 r n-r r n n (1)(a+b) =Cna +Cna b+Cna b +…+Cna b +…+Cnb (n∈N )、展开式、二项式 r 系数、r+1、n+1.(2)二项式系数是 Cn,系数是变量前的常数. 设计意图:通过复习二项式定理的有关知识,为发现杨辉三角的有关性质打下基础,形 成知识储备,引出本节课要研究的内容. n 提出问题:计算(a+b) 展开式的二项式系数并填入下表 n 展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 7

1

活动设计:通过学案或者投影展示表格,学生填空,学生之间可以交流,教师指导.

2

活动成果: n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 1 4 10 20 1 5 15 1 6 1

设计意图:当二项式的次数不大时,可借助它直接写出各项的二项式系数.通过计算填 表,让学生发现其中的规律. 探究新知 提出问题:当表示形式为“三角形”时,该表格有什么规律? 活动设计:学生自主解决,自由发言,自主探究. 活动成果: (这个表在我国南宋数学家杨辉在 1261 年所著的《详解九章算法》一书中就出现了,称 为杨辉三角.但是在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表称 为帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学 的成就是非常值得中华民族自豪的)

设计意图: 为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉, 要求学 生填表,观察表格,探索规律,体会“表示形式的变化有时能帮助我们发现规律”这句话的 深刻哲理与方法,由学生自己说说其中的规律. 理解新知 提出问题 1:观察杨辉三角的每一行,正数第 1 个数与倒数第 1 个数,正数第 2 个数与 倒数第 2 个数, 正数第 3 个数与倒数第 3 个数, …它们有什么样的等量关系?你能把你的想 法概括成一句话吗? 活动设计:通过展示表格与杨辉三角,让学生自己观察,发现结论,踊跃发言,勇于探 索. 活动成果:正数第 1 个数与倒数第 1 个数相等,正数第 2 个数与倒数第 2 个数相等,正 数第 3 个数与倒数第 3 个数相等,… (板书)二项式系数的性质 m (1)对称性:在二项展开式中,与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等,即 Cn= n-m Cn . 设计意图:引导学生猜想,猜想是发现的开始.通过杨辉三角得到“对称性”,进一步 加深学生对二项式系数性质的掌握,这条性质实际上是组合数的一个性质. 提出问题 2:观察杨辉三角的相邻两行,看看下一行中除了“1”之外的数与上一行中
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的数有什么关系? 活动设计:学生独立思考,自由发言,可以小组讨论. 活动成果:表中任一不为 1 的数都等于它肩上的两个数的和,即 r r-1 r (板书)(2)Cn+1=Cn +Cn. 设计意图:通过新发现(杨辉三角),重新验证旧知识,能够提升学生对此公式的理解与 掌握,加深学生对二项式系数性质的理解,能够在最大程度上提升学生的认知水平,这条性 质实际上是组合数的另外一个性质. 提出问题 3:观察每一行中的二项式系数的大小变化情况,有单调性吗?有最值吗? 活动设计:学生未必一下能说清楚,尽量鼓励学生说,让他们积极参与.教师始终是引 导者,学生始终是课堂的主体.引导学生从多个方面分析二项式系数的大小关系,如利用特 殊值法观察归纳、利用函数图象画图观察等等.先由学生独立完成,然后组织全班讨论,学 生之间可以相互求助. 活动成果:因为 n(n-1)(n-2)…(n-k+1) k Cn= (k-1)!k =Cn
k-1

n-k+1 , k

n-k+1 k k- 1 所以 Cn相对于 Cn 的增减情况由 决定.由 k n-k+1 n+1 >1 ? k< k 2 n+1 可知,当 k< 时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小 2 n 的,且在中间取得最大值.当 n 是偶数时,中间的一项取得最大值,即 C n 最大;当 n 是奇 2 n-1 n+1 n-1 n+1 数时,中间的两项相等,且同时取得最大值,即 C n=C n,即 C n,C n 最大. 2 2 2 2 (板书)(3)增减性与最大值: 二项式系数由两边向中间增大, 并且在中间取得最大值. 当 n n 是偶数时,中间的一项取得最大值,即 C n 最大;当 n 是奇数时,中间的两项相等,且同 2 n-1 n+1 时取得最大值,即 C n=C n 最大. 2 2 设计意图: 由于二项式系数组成的数列是一个离散函数, 所以我们应该引导学生从函数 的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质. 这样处理便于建立知识的前后联系, 使学 生体会用函数知识研究问题的方法, 体会由特殊到一般的化归思想. 难点是需要根据 n 的奇 n 偶性确定相应的分界点,教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是 k= ,从而学生可以 2 比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到. 提出问题 4:计算“杨辉三角”中每一行的和,观察其规律,并写出其公式. 活动设计:学生自主探究,归纳整理,踊跃发言,教师应该多加鼓励,但是不能代替学 生,自始至终都要保护学生的积极性,保持学生的主体性,教师仅仅是一名导演而已. 活动成果:已知 n 0 1 2 2 r r n n (1+x) =Cn+Cnx+Cnx +…+Cnx +…+Cnx , 令 x=1,则

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2 =Cn+Cn+Cn+…+Cn+…+Cn. n 即二项式系数之和等于 2 . 我们把这样的方法称为赋值法,赋值法是一类解决二项式系数的性质的优越办法. (板书)(4)各二项式系数的和: 0 1 2 r n n Cn+Cn+Cn+…+Cn+…+Cn=2 . 设计意图: 本环节的设置与本节的大环境一致, 都是通过特殊的例子发现最一般的结论, 提高学生的认知能力、观察能力及化归能力,加深对二项式系数性质的掌握与应用.实际上 这条性质,我们在组合数或者集合的子集中遇到过,教师也可以从这方面入手进行引导,能 够进一步加深学生对这一部分知识的理解与掌握, 让学生体会到数学知识的前后联系, 能够 最大限度地达到教学目标. 运用新知 例 1 下面的二项展开式中,哪些项的二项式系数最大?是多少?填在相应的横线上. 20 (1)(a+b) 第________________项的二项式系数最大,是______________________; 19 (2)(a+b) 第________________项的二项式系数最大,是______________________. 思路分析:根据二项式系数的性质(3)即可解决,但要分清 n 的奇偶性. 解:(1)若 n=20,则当 r=10 时,二项式系数最大,所以第 11 项的二项式系数最大, 10 是 C20. (2)若 n=19,则当 r=9 或 10 时,二项式系数最大,所以第 10 或 11 项的二项式系数 9 10 最大,是 C19=C19. 点评:通过 n 的奇偶性的不同,考查了二项式系数的性质(3),但是要注意这是二项式 系数的最大值,不一定就是系数的最大值. 【巩固练习】 n (1+2x) 的展开式中第 5 项与第 8 项的二项式系数相等, 求展开式中二项式系数最大的 项. 4 7 解:由题意 Cn=Cn,所以 n=4+7=11,从而展开式中二项式系数最大的项是中间两项, 即第 6 项与第 7 项. n 例 2 证明:在(a+b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数 的和. 0 2 4 1 思路分析:奇数项的二项式系数的和为 Cn+Cn+Cn+…,偶数项的二项式系数的和为 Cn 3 5 n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 r n-r r n n +Cn+Cn+…,由于(a+b) =Cna +Cna b+Cna b +…+Cna b +…+Cnb (n∈N )中的 a, b 可以取任意实数,因此我们可以通过对 a,b 适当赋值来得到上述两个系数和.这一点可 以从性质(4)的推导来获得. n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 r n-r r n n 证明:在展开式(a+b) =Cna +Cna b+Cna b +…+Cna b +…+Cnb (n∈N )中,令 n 0 1 2 3 n n 0 2 1 3 a=1,b=-1,则得(1-1) =Cn-Cn+Cn-Cn+…+(-1) Cn,即 0=(Cn+Cn+…)-(Cn+Cn 0 2 1 3 n +…),所以 Cn+Cn+…=Cn+Cn+…,即在(a+b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和. 点评: 赋值法是解决二项式定理与二项式系数的一种很重要的方法, 凡是与二项式系数 和或者系数和有关的问题, 都有可能通过赋值法获得解决. 实际上我们还可以利用函数思想 解决这个问题,即令 0 1 2 2 r r n n f(x)=Cn+Cnx+Cnx +…+Cnx +…+Cnx , 由 f(-1)=0,即可很容易地得到要证明的结果. 【巩固练习】 1 2 3 7 C7+C7+C7+…+C7=__________ 0 1 2 3 7 7 解:因为 C7+C7+C7+C7+…+C7=2 =128,所以

n

0

1

2

r

n

5

C7+C7+C7+…+C7=128-1=127. 【变练演编】 0 1 2 r n 1.当 Cn+Cn+Cn+…+Cn+…+Cn=2 048 时,n=________. 0 2 4 2.当 Cn+Cn+Cn+…=2 048 时,n=________. x y * 3.当 Cn=Cn时,其中 n≥x,n≥y,x,y,n∈N ,则 x,y 所满足的关系式是__________. n 4.当(1+2x) 的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大时,n=________________. 请将你所能想到的所有答案都一一列举出来. n 11 1.解:由 2 =2 048=2 ,得 n=11. n-1 11 2.解:由 2 =2 048=2 ,得 n=12. 3.解:由题意 x=y 或 x+y=n. n 4.解:由性质(3)知, +1=7,所以 n=12. 2 设计意图:本环节的设计源于一种非常好的教学方法:变练演编.这种开放性的设计, 不仅有助于训练同学们的常规思维, 还能培养同学们的逆向思维. 一堂好的数学课必须让学 生创新,使得学生有所收获.通过这种方式的训练,让学生去创造题目,解决问题,增加了 中学生学习数学的兴趣,进一步掌握了“杨辉三角”的有关性质,能力得到了提高. 【达标检测】 1 2 10 10 1.展开式 1+2C10+4C10+…+2 C10=________. 1 13 2.(x y- y x) 展开式的中间项是__________. 2 1 n 3 3.已知(x + 2) 的展开式中,只有第六项的二项式系数最大,求展开式中不含 x 的项. x 1.解:在(1+x) = 10 C10x 中,
?

1

2

3

7

10

r

r

r=0

令 x=2,得 1+2C10+4C10+…+2 C10=(1+2) =3 =59 049. 429 10 19 429 10 19 2.解:中间项是第 7、8 项,即 x y 、- y x . 16 2 32 2 3.解:由题意 n=10,展开式的通项为 C10x ,所以当 r=6 时,不含 x 的项是 210. 课堂小结 活动设计:给学生 2 分钟的时间,让学生总结出本节课所学的主要知识、方法与技能, 教师尽量不要代劳,能让学生说的教师绝不可以“越俎代庖”. 活动成果:(板书) 1.知识收获:杨辉三角的发现,二项式系数的四个主要性质. 2.方法收获:如何求二项式系数的最大值以及理解赋值法的实质及其应用. 3.思维收获:增强爱国主义情感,使学生对我们国家古代的伟大数学成就有所了解, 进一步增强其民族自豪感; 通过杨辉三角的发现, 体会推理—猜想的重要性, 体会函数思想、 化归思想. 设计意图:学生能自己表达的就让他自己表达,学生能自己解决的就让他自己解决,学 生能自己总结的就让他自己总结, 通过让学生自己总结本节课的学习内容与方法, 不但可以 使学生更好地掌握本节所学,而且还能提高学生学习的主动性,提高学生学习数学的兴趣, 久而久之, 学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高! 这样不但能充分体现新课程 的理念,还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神,真正体现了学生的主体地位. 补充练习 【基础练习】
r 30-5r

1

2

10 10

10

10

6

1.C10+C10+C10+C10+C10=______________. 1 2 3 4 5 2.C11+C11+C11+C11+C11=________________________. n 3.若(a+b) 的展开式中,各项的二项式系数和为 8 192,则 n 的值为( ) A.16 B.15 C.14 D.13 4.一串装饰彩灯由灯泡串联而成,每串有 20 个灯泡,只要有一个灯泡坏了,整串灯泡 就不亮,则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为( ) 19 A.20 B.2 20 20 C.2 D.2 -1 【答案或解答】 1.512 2 2.利用对称性,原式为 -1=1 023 2 3.D 4.D 【拓展练习】 5.若( 3 1 5 1 n + 2) 的展开式中,所有奇数项的系数之和为 1 024,求它的中间项. x x
lgx 8 11

1

3

5

7

9

6.已知(2x+x ) 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1 120,求 x 的值. n-1 答案:5.解:系数之和即为二项式系数之和,由 2 =1 024,得 n=11,所以展开式 61 -4 的中间项为第 6、7 项,分别为 462x 、462x- . 15 6.解:依题意 T5=C8(2x) (x ) =1 120, 4(1+lgx) 整理得 x =1,两边取对数,得 2 lg x+lgx=0,解得 lgx=0 或 lgx=-1. 1 ∴x=1 或 x= . 10 设计说明 二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一,教材从传授知识的角度出发,有它 的合理性,但教学过程中不能照本宣科平铺直叙.经过认真探索,发现从杨辉三角去探索二 项式系数性质有助于学生掌握这部分知识, 提高其数学能力. 同时还能发挥教材中史情内容 的教育功能,唤起民族的自尊心、自信心和爱国主义热情,并转化为学习数学的动力而发奋 学习. 这样设计这堂课,主要有以下几个原因: 第一,二项式定理这部分内容比较枯燥,需要记忆的知识点也比较多,要求教师不断地 挖掘规律,简化学生的记忆负担.即使如此,学生的学习仍处于被动状态,所以这节课,要 想充分发挥学生的积极性,化被动为主动,因此引入了杨辉三角,利用图表的直观性很容易 发现规律,这个规律是由学生自己发现的,当然也就容易记忆. 第二, 以往我们处理二项式系数的性质这一节时, 总是将性质用定论的形式直接呈现在 学生面前,然后自己再说出证明方法,紧接着就是上例题做练习.这样,似乎是开门见山, 直截了当,节约时间,但忽视了很重要的一点.数学教学的实质是思维过程的教学,“直截 了当”则掩盖了“思维过程”, 把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前, 而是作为 结果抛给学生,这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养.长此以往,学生的数学素 质很难得到提高. 第三,教与学是一对矛盾,它是一个已知教未知和未知求新知的过程,两者对立统一、
4 4 lgx 4

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辩证发展.现代教育学强调:“在教学过程中,应自始至终地确立学生的主体地位及教师在 教学中的主导作用.”那么在“以教师为主导,学生为主体”的教学思想指导下,如何来发 挥“主导与主体”作用呢?我们认为一定要突出“引”和“放”, 即在教师正确引导下, 放 开让学生积极参与教学,而不是简单地接收、模仿.这里关键在于教师设法创造良好的教学 环境,思路一起探索,疑难一同解决,规律共同发现,结论一起获得,错误一起纠正,师生 密切配合才能提高学生的学习效果,促进其个性健康发展. 第四,要充分发挥“以教师为主导、学生为主体”的作用,首先要深入研究教材,结合 教材具体内容及学生实际情况和需求(学生感兴趣), 创设适合学生思维水平的教学环境, 贯 彻启发性原则, 激发学习动机, 引起学习兴趣, 使学习成为自觉需求才能吸引学生积极参与, 突出“引”与“放”.本课如果照本宣科则平淡无奇,对学生思维能力的培养毫无作用.上 述做法使大多数学生在教师引导下“跳一跳,能摸到”,促进学生思维能力的提高. 第五,引导学生积极参与的内容要防止两种情形.一是过易,不能充分发挥学生的主体 作用.二是过难,学生摸不着头绪就没兴趣参与.教师要在充分了解学生的原有认知结构的 前提下,确立一个相对较低的起点,难度高的还要适当铺设台阶,多层次展开问题,使每个 层次的学生在我们引导下都能积极参与,做到一分耕耘一分收获. 第六,要重视并加强对学生数学思想方法的培养,善于揭示教材的内隐性.像杨辉三角 教学中,它的德育、美育功能具有外露性,智力功能比较内隐,如果不是精心研究,并去揭 示三角数阵的结构,以及它与二项式系数性质相联系的规律,不去展开观察、分析、类比和 归纳等思维过程,就不能够发展学生的智能,其他功能也会受影响.只有当学生从被动上升 到主动去应用这些数学思想和方法,才能形成能力,培养学生只学会还不够,教师培养学生 的目标是使之会学,那将是受益终身的财富. 备课资料 伟大的数学家——杨辉

杨辉(约 1238 年~约 1298 年), 字谦光, 钱塘(今浙江杭州)人, 是中国南宋时的数学家. 杨 辉生于宋理宗嘉熙二年(1238 年),卒于元成宗大德二年(1298 年),是中国南宋末年的数学 家、数学教育家,大约在 13 世纪中叶活动于苏杭一带.杨辉的数学著作甚多,他编著的数 学书共五种二十一卷,著有《详解九章算法》十二卷(1261 年)、 《日用算法》 二卷(1262 年)、 《乘除通变本末》三卷(1274 年)、 《田亩比类乘除算法》二卷(1275 年)、 《续古摘奇算法》 二卷(1275 年).在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法.杨辉 可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了构成规律的数学家.除此成就之 外,他还有一项重大贡献,就是“杨辉三角”. 大家认识杨辉的名字,基本上都是从“杨辉三角形”上来的.其实,所谓的“杨辉三角 形”,并不是杨辉首创,而是北宋的贾宪在他的著作《黄帝九章算经细草》中提出的.此书 成于公元 1050 年左右,其中的“开方做法本源图”就是杨辉三角形的原型,所以也被称为 n “贾宪三角形”.这个三角形的每一行,对应的是二项式(a+b) 展开式的系数. 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面. 杨辉对筹算乘除捷算法进行了总 结和发展,有的还编成了歌诀,如“九归”口诀.杨辉创“纵横图”之名,在《续古摘奇算

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法》 中介绍了各种形式的纵横图及有关的构造方法. 垛积术, 是杨辉继沈括“隙积术”之后, 关于高阶等差级数的研究.杨辉的“纂类”中,是将《九章算术》246 个题目按解题方法由 浅入深的顺序,重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等 九类.杨辉是一位杰出的数学教育家,重视数学的普及,在《算法通变本末》中,杨辉为初 学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的一项重要文献. 另一方面, 他在宋度宗咸淳 年间的两本著作里, 亦有提及当时南宋的土地价格. 这些资料亦对后世史学家了解南宋经济 发展有很重要的帮助. 在 《乘除通变算宝》 中, 杨辉创立了“九归”口诀, 介绍了筹算乘除的各种速算法等等. 在 《续古摘奇算法》中,杨辉列出了各式各样的纵横图(幻方),它是宋代研究幻方和幻圆的最 重要的著述.杨辉对中国古代的幻方,不仅有深刻的研究,而且还创造了一个名为攒九图的 四阶同心幻圆和多个连环幻圆.杨辉在数学上的另一个重要的贡献是提出了幻方的构造方 法.所谓的幻方,就是指在 N×N 的格子中填入 1 到 N 平方的自然数,使每一行每一列的和 都相等.三阶幻方是最简单的幻方,又叫九宫图或者洛书,写成数字的形式,就是: 四 九 二 三 五 七 八 一 六 还有一个口诀:“二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央.”传说是黄 帝时代,洛水中浮起一只大龟,背上刻着这样的图案.洛书配上八卦,用在风水学上,被称 为洛书轨迹,用在奇门遁甲中,则形成了“休死伤杜开惊生景”八门.诸葛亮最擅长的八阵 图就是源于此. 杨辉收集整理了很多不同阶的幻方,称其为“纵横图”,并写到了自己的著作《续古摘 奇算法》 一书中, 可以说是世界上第一个给出如此多的幻方并讨论了它们的组成规律的数学 家.幻方的构造可以按照一个固定的规律,按奇数阶和偶数阶的不同,构造的方法也不一 样. 奇数阶的构造很容易. 首先从最后一行的中间开始填起, 从一开始递增, 向斜下方延伸. 如 果超出了边界,就从相对边的位置继续.如果遇上已经填过的格子,就从填过的格子上方的 格子继续.大家可以对照三阶幻方来看出这个规律.对于偶数阶幻方,如果是四的倍数,很 容易,只要首先把从 1 到 N 平方的数字先按照行的方向填好,变成下面的样子: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 然后除了对角线上面的数字不动以外,其他的数字跟中心对称位置的数字对调: 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 这样就构造好了.对于阶数是 4m+2 的幻方,构造的方法比较复杂.不过步骤是先构造 好中心的幻方,然后在周围加上一圈数字就可以了. 由于杨辉在数学上的杰出成就,他和秦九韶,李冶,朱世杰一起被后人并称为“宋元数 学四大家”.

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