广东省深圳市罗湖区翠圆中学2014-2015学年高二第二学期期末数学复习试卷(文科)(二) Word版含解析

2014-2015 学年广东省深圳市罗湖区翠圆中学高二(下)期末数 学复习试卷(文科) (二)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.已知集合 A={x|x+1>0},B={x|x ﹣x<0},则 A∪B=( ) A. {x|x>﹣1} B. {x|﹣1<x<1} C. {x|0<x<1} D. {x|﹣1<x<0} 2.角α的终边过点(﹣1,2) ,则 cosα的值为( A. B. C. ﹣ D. ﹣ )
2

3. (文)设 a∈R,则 a>1 是 <1 的(



A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的几何体是( )

A.

B.

C.

D. 5. 一个容量为 n 的样本, 分成若干组, 已知某组频数和频率分别为 36 和 0.25, 则 n= ( A. 9 B. 36 C. 72 D. 144 6.已知函数 y=xlnx,则其在点 x=1 处的切线方程是( A. y=2x﹣2 B. y=2x+2 C. y=x﹣1 D. y=x+1 ) )

7.已知向量 =(2,1) , + =(1,k) ,若 ⊥ ,则实数 k 等于( A. B. 3 C. ﹣7 D. ﹣2



8.已知等差数列{an}的公差为﹣2,且 a2,a4,a5 成等比数列,则 a2 等于( A. ﹣4 B. ﹣6 C. ﹣8 D. 8 9.若函数 f(x)=x +2x+3a 没有零点,则实数 a 的取值范围是( A. B. C. D.
2





10.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若 △ABF2 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分,其中 11-13 题是必做题,14-15 题是选做题,考生只能选做一题,两题都答的,只计算前一题得分) 11.若函数 y=sin(ωx+ ) (ω>0)的最小正周期是 ,则ω= .

12.定义运算

,复数 z 满足

,则复数 z=



13.在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α,β,则有 cos 2 α+cos β= .类比到空间,在长方体中,一条对角线与从某一顶点出发的三条 棱所成的角分别是α,β,γ则有正确的式子是 .

2

【极坐标与参数方程选做题】 14.在极坐标系中,ρ=4sinθ是圆的极坐标方程,则点 A(4, 是 . )到圆心 C 的距离

【几何证明选讲选做题】 15. (几何证明选讲选做题)如图,MN 是圆 O 的直径,MN 的延长线与圆 O 上过点 P 的切线 PA 相交于点 A,若∠M=30°,切线 AP 长为 ,则圆 O 的直径长为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.设函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)﹣1 将函数 f(x)的图象向左平移 a 个单位,得到 函数 y=g(x)的图象. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 0<a< ,且 g(x)是偶函数,求 a 的值.

17.已知集合 A={﹣2,0,1,3},在平面直角坐标系中,点 M 的坐标(x,y)满足 x∈A,y ∈A. (Ⅰ)请列出点 M 的所有坐标; (Ⅱ)求点 M 不在 y 轴上的概率;

(Ⅲ)求点 M 正好落在区域

上的概率.

18. 如图 (1) 所示, 正△ABC 的边长为 2a, CD 是 AB 边上的高, E, F 分别是 AC, BC 的中点. 现 将△ABC 沿 CD 翻折,使翻折后平面 ACD⊥平面 BCD(如图(2) ) , (1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求三棱锥 C﹣DEF 的体积.

19. 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 离心率为

, 且椭圆经过圆 C: x +y ﹣4x+2

2

2

y=0

的圆心 C. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切,求直线 l 的方程.

20.已知函数 f(x)=

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)求函数 f(x)的零点.

21.数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{cn}满足



,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

(Ⅲ)张三同学利用第(Ⅱ)题中的 Tn 设计了一个程序流程图,但李四同学认为这个程序 如果被执行会是一个“死循环” (即程序会永远循环下去,而无法结束) .你是否同意李四同 学的观点?请说明理由.

2014-2015 学年广东省深圳市罗湖区翠圆中学高二(下) 期末数学复习试卷(文科) (二)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.已知集合 A={x|x+1>0},B={x|x ﹣x<0},则 A∪B=( ) A. {x|x>﹣1} B. {x|﹣1<x<1} C. {x|0<x<1} D. {x|﹣1<x<0} 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出两集合的并集即可. 解答: 解:由 A 中不等式解得:x>﹣1,即 A={x|x>﹣1}, 由 B 中不等式变形得:x(x﹣1)<0, 解得:0<x<1,即 B={x|0<x<1}, 则 A∪B={x|x>﹣1}, 故选:A. 点评: 此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 2.角α的终边过点(﹣1,2) ,则 cosα的值为( A. B. C. ﹣ D. ﹣ )
2

考点: 专题: 分析: 解答:

任意角的三角函数的定义. 计算题. 先求出 x=﹣1,y=2,r= ,利用 cosα的定义,求出 cosα的值. 解:∵角α的终边过点(﹣1,2) , ,cosα= = =﹣ ,

∴x=﹣1,y=2,r=

故选 D. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用.

3. (文)设 a∈R,则 a>1 是 <1 的(



A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 不等关系与不等式;充要条件. 专题: 计算题. 分析: 根据 由 a>1,一定能得到 从而得到结论. <1.但当 <1 时,不能推出 a>1 (如 a=﹣1 时) ,

解答: 解:由 a>1,一定能得到

<1.但当

<1 时,不能推出 a>1 (如 a=﹣1 时) ,

故 a>1 是 <1 的充分不必要条件, 故选 B. 点评: 本题考查充分条件、必要条件的定义,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命 题不正确,是一种简单 有效的方法. 4.如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的几何体是( )

A.

B.

C.

D. 考点: 由三视图还原实物图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据题意,B、D 两项的视图中都应该有对角线为虚线的矩形,故不符合题意;C 项 的正视图矩形的对角线方向不符合,也不符合题意,而 A 项符合题意,得到本题答案. 解答: 解:对于 A,该几何体的三视图恰好与已知图形相符,故 A 符合题意; 对于 B,该几何体的正视图的矩形中,对角线应该是虚线,故不符合题意; 对于 C,该几何体的正视图的矩形中,对角线应该是从左上到右下的方向,故不符合题意; 对于 D,该几何体的侧视图的矩形中,对角线应该是虚线,不符合题意 故选:A 点评: 本题给出三视图,要求我们将其还原为实物图,着重考查了对三视图的理解与认识, 考查了空间想象能力,属于基础题. 5. 一个容量为 n 的样本, 分成若干组, 已知某组频数和频率分别为 36 和 0.25, 则 n= ( A. 9 B. 36 C. 72 D. 144 考点: 频率分布表. )

专题: 计算题. 分析: 根据一个容量为 n 的样本,某组频数和频率分别为 36 和 0.25,写出这三者之间的 关系式,得到关于 n 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵一个容量为 n 的样本, 某组频数和频率分别为 36 和 0.25, ∴0.25= ∴n=144 故选 D. 点评: 本题考查频率分布表,本题解题的关键是知道频率,频数和样本容量之间的关系, 这三者可以做到知二求一. 6.已知函数 y=xlnx,则其在点 x=1 处的切线方程是( A. y=2x﹣2 B. y=2x+2 C. y=x﹣1 D. y=x+1 )

考点: 导数的几何意义. 分析: 运用求导公式计算 x=1 时的斜率,再结合曲线上一点求出切线方程. 解答: 解:y=xlnx y'=1×lnx+x? =1+lnx y'(1)=1 又当 x=1 时 y=0∴切线方程为 y=x

﹣1 故选 C. 点评: 此题主要考查导数的计算,比较简单.

7.已知向量 =(2,1) , + =(1,k) ,若 ⊥ ,则实数 k 等于( A. B. 3 C. ﹣7 D. ﹣2



考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 先根据 + =(1,k) , ⊥ ,求出 坐标,再代入 + =(1,k) ,即可求出 k 值. 解答: 解:设 =(x,y) ,则 ∴2+x=1,1+y=k ∵ ,∴ =0,即 2x+y=0,∴y=2,∴k=3 =(2+x,1+y)=(1,k) ,

故选 B 点评: 本题考查向量加法的坐标运算,以及向量的数量积判断两个向量的垂直关系,考查 计算能力,是基础题. 8.已知等差数列{an}的公差为﹣2,且 a2,a4,a5 成等比数列,则 a2 等于( A. ﹣4 B. ﹣6 C. ﹣8 D. 8 考点: 等差数列的通项公式. )

专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列与等比数列的通项公式与性质,列出方程,求出且 a2 的值. 解答: 解:等差数列{an}的公差为﹣2,且 a2,a4,a5 成等比数列, ∴ 即 =a2? a5, =a2?(a2﹣6) ,

解得 a2=8. 故选:D. 点评: 本题考查了等差与等比数列的通项公式与应用问题,是基础题目. 9.若函数 f(x)=x +2x+3a 没有零点,则实数 a 的取值范围是( A. B. C. D.
2



考点: 函数的零点;二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 函数 f(x)=x +2x+3a 没有零点,等价于方程 x +2x+3a=0 无解,由根的判别式能求 出结果. 解答: 解:∵函数 f(x)=x +2x+3a 没有零点, 2 ∴x +2x+3a=0 无解, ∴△=4﹣12a<0, ∴a> . 故选 C. 点评: 本题考查函数的零的求法和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行 等价转化. 10.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若 △ABF2 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.
2 2 2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由△ABF2 是等腰直角三角形可知|AF1|=|F1F2|,即 心率. 解答: 解:由△ABF2 是等腰直角三角形可知|AF1|=|F1F2|,∴ 又∵c =a ﹣b 2 2 ∴a ﹣c ﹣2ac=0 2 ∴e +2e﹣1=0 解之得:e= ﹣1 或 e=﹣
2 2 2

=2c,由此推导出这个椭圆的离

=2c

﹣1 (负值舍去) .

故选 C 点评: 题主要考查了椭圆的简单性质.椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目.应 熟练掌握圆锥曲线中 a,b,c 和 e 的关系. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分,其中 11-13 题是必做题,14-15 题是选做题,考生只能选做一题,两题都答的,只计算前一题得分) 11.若函数 y=sin(ωx+ ) (ω>0)的最小正周期是 ,则ω= 6 .

考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的周期为 解答: 解:函数 y=sin(ωx+ ,可得结论. = ,则ω=6,

) (ω>0)的最小正周期是

故答案为:6. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的周期性,利用了函数 y=Asin(ωx+φ)的周 期为 ,属于基础题.

12.定义运算

,复数 z 满足

,则复数 z= 2﹣i .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 新定义. 分析: 根据给出的定义把 解答: 解:由 ,得 化简整理后,运用复数的除法运算求 z. .

故答案为 2﹣i. 点评: 本题考查了复数的代数形式的乘除运算,复数的除法采用分子分母同时乘以分母的 共轭复数,是基础题. 13.在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α,β,则有 cos 2 α+cos β= 1 .类比到空间,在长方体中,一条对角线与从某一顶点出发的三条棱所成 2 2 2 的角分别是α,β,γ则有正确的式子是 cos α+cos β+cos γ=1 .
2

考点: 类比推理. 专题: 探究型. 分析: 本题考查的知识点是类比推理,由在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两 条边所成的角分别是α,β,则有 cos α+cos β=1,我们根据平面性质可以类比推断出空 间性质,我们易得答案. 解答: 解:我们将平面中的两维性质,类比推断到空间中的三维性质. 由在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α,β,
2 2

则有 cos α+cos β=1, 我们楞根据平面性质可以类比推断出空间性质, 即在长方体中,一条对角线与从某一顶点出发的三条棱所成的角分别是α,β,γ, 则有 cos α+cos β+cos γ=1. 2 2 2 故答案为:1,cos α+cos β+cos γ=1 点评: 本题考查的知识点是类比推理, 在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时, 常用的思路有: 由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质, 由平面图形中线的性 质类比推理出空间中面的性质, 由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质, 或是将 平面中的两维性质,类比推断到空间中的三维性质. 【极坐标与参数方程选做题】 14. 在极坐标系中, ρ=4sinθ是圆的极坐标方程, 则点 A (4, ) 到圆心 C 的距离是 2 .
2 2 2

2

2

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 把极坐标化为直角坐标,利用两点之间的距离公式即可得出. 解答: 解:由ρ=4sinθ化为ρ =4ρsinθ,∴x +y =4y,化为 x +(y﹣2) =4,可得圆心 C (0,2) . 点 A(4, )化为 A . =2 .
2 2 2 2 2

∴点 A 到圆心 C 的距离 d=

故答案为:2 . 点评: 本题考查了把极坐标化为直角坐标、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 【几何证明选讲选做题】 15. (几何证明选讲选做题)如图,MN 是圆 O 的直径,MN 的延长线与圆 O 上过点 P 的切线 PA 相交于点 A,若∠M=30°,切线 AP 长为 ,则圆 O 的直径长为 4 .

考点: 与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明. 专题: 计算题;压轴题;直线与圆. 分析: 连接 PN,由题设条件推导出△MPN 中,ON=r,PM=2 ,MN=2r,∠MPN=90°,由此 能求出圆 O 的直径长. 解答: 解:连接 PN, ∵MN 是圆 O 的直径,MN 的延长线与圆 O 上过点 P 的切线 PA 相交于点 A, ∠M=30°,切线 AP 长为 ,

∴∠MPN=∠APO=90°, ∠PNO=∠PON=60°, ∴∠A=30°,PM=2 , ∴△MPN 中,ON=r,PM=2 ,MN=2r,∠MPN=90°, 2 2 2 ∴(4r) =r +(2 ) , 解得 r=2. ∴圆 O 的直径长为 4. 故答案为:4.

点评: 本题考查与圆有关的比例线段的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地 进行等价转化. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.设函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)﹣1 将函数 f(x)的图象向左平移 a 个单位,得到 函数 y=g(x)的图象. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 0<a< ,且 g(x)是偶函数,求 a 的值.

考点: 三角函数的周期性及其求法;函数奇偶性的性质;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变 换. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)利用降次以及两角和的正弦,化简为一个角的一个三角函数的形式,求函数 f (x)的最小正周期; (2)0<a< ,化简 g(x)利用它是偶函数,根据 0<a<
2

,求 a 的值.

解答: 解: (1)∵f(x)=2sinxcosx+2cos x﹣1 =sin2x+cos2x = sin(2x+ )

∴f(x)的最小正周期 T= (2)g(x)=f(x+a)= = sin(2x+2α+ )

=π sin[2(x+α)+ ]

g(x)是偶函数,则 g(0)=± ∴2α+ α= ∵0<a< =kπ+ ,k∈Z

=

sin(2α+



( k∈Z) ,∴α=

点评: 本题考查三角函数的周期性及其求法,函数奇偶性的应用,函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象变换,考查计算能力,逻辑思维能力,是基础题. 17.已知集合 A={﹣2,0,1,3},在平面直角坐标系中,点 M 的坐标(x,y)满足 x∈A,y ∈A. (Ⅰ)请列出点 M 的所有坐标; (Ⅱ)求点 M 不在 y 轴上的概率;

(Ⅲ)求点 M 正好落在区域

上的概率.

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)根据题意,依次列举符合条件的 M 即可, (Ⅱ)由(Ⅰ)列举的结果,分析可得在 y 轴的点有 4 个,即可得不在 y 轴上的点的个数, 由等可能事件的概率公式,计算可得答案;

(Ⅲ)由(Ⅰ)列举的结果,验证可得符合不等式

组的点的个数,由等可能事

件的概率公式,计算可得答案. 解答: 解: (Ⅰ)根据题意,符合条件的点 M 有: (﹣2,﹣2) 、 (﹣2,0) 、 (﹣2,1) 、 (﹣2, 3) 、 (0,﹣2) 、 (0,0) 、 (0,1) 、 (0,3) 、 (1,﹣2) 、 (1,0) 、 (1,1) 、 (1,3) 、 (3,﹣2) 、 (3,0) 、 (3,1) 、 (3,3) ;共 16 个; (Ⅱ)其中在 y 轴上,有(﹣2,0) 、 (0,0) 、 (1,0) 、 (3,0) ,共 4 个, 则不在 y 轴的点有 16﹣4=12 个, 点 M 不在 y 轴上的概率为 = ;

(Ⅲ)根据题意,分析可得,满足不等式

组的点有(1,1) 、 (1,3) 、 (3,1) ,

共 3 个;

则点 M 正好落在区域

上的概率为



点评: 本题考查等可能事件的概率计算,关键是用列举法得到符合条件的点的个数,注意 (Ⅲ)中是古典概型,而不是几何概型. 18. 如图 (1) 所示, 正△ABC 的边长为 2a, CD 是 AB 边上的高, E, F 分别是 AC, BC 的中点. 现 将△ABC 沿 CD 翻折,使翻折后平面 ACD⊥平面 BCD(如图(2) ) , (1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求三棱锥 C﹣DEF 的体积.

考点: 平面与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与平面之间的位置 关系. 专题: 计算题. 分析: (1)判断:AB∥平面 DEF,再由直线与平面平行的判定定理进行证明. (2)过点 E 作 EM⊥DC 于点 M,由面 ACD⊥面 BCD,面 ACD∩面 BCD=CD,而 EM? 面 ACD,知 EM 是三棱锥 E﹣CDF 的高,由此能求出三棱锥 C﹣DEF 的体积. 解答: 解: (1)判断:AB∥平面 DEF, (2 分) 证明:因在△ABC 中,E,F 分别是 AC,BC 的中点, ∴EF∥AB, (5 分) 又因 AB? 平面 DEF, ∴EF? 平面 DEF, (6 分) 所以 AB∥平面 DEF, (7 分) (2)过点 E 作 EM⊥DC 于点 M, ∵面 ACD⊥面 BCD,面 ACD∩面 BCD=CD,而 EM? 面 ACD 故 EM⊥平面 BCD 于是 EM 是三棱锥 E﹣CDF 的高, (9 分) 又△CDF 的面积为 S△CDF= = = = ,

EM=

, (11 分)

故三棱锥 C﹣DEF 的体积

=

=



点评: 本题考查直线与平面的位置关系的判断,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真 审题,仔细解答,注意合理地化空间问题为平面问题.
2 2

19. 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 离心率为

, 且椭圆经过圆 C: x +y ﹣4x+2

y=0

的圆心 C. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切,求直线 l 的方程. 考点: 椭圆的标准方程;直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: (1)把圆 C 的方程化为标准方程,进而求得圆心和半径,设椭圆的标准方程,根据 题设得方程组求得 a 和 b,则椭圆的方程可得. (2)跟椭圆方程求得焦点坐标,根据两点间的距离求得|F2C|小于圆的半径,判断出 F2 在圆 C 内,过 F2 没有圆 C 的切线,设直线的方程,求得点 C 到直线 l 的距离进而求得 k,则直线 方程可得. 解答: 解: (1)圆 C 方程化为: (x﹣2) +(y+
2

) =6,圆心 C(2,﹣

2

) ,半径 r=

设椭圆的方程为

=1(a>b>0) ,则

所以所求的椭圆的方程是:

=1.

(2)由(1)得到椭圆的左右焦点分别是 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) , |F2C|= = <

∴F2 在 C 内,故过 F2 没有圆 C 的切线,设 l 的方程为 y=k(x+2) ,即 kx﹣y+2k=0 点 C(2,﹣ )到直线 l 的距离为 d= ,由 d= 得 =

解得:k=

或 k=﹣

,故 l 的方程为

x﹣5y+2

=0 或

x+y+2

=0

点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程.考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力.

20.已知函数 f(x)=

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)求函数 f(x)的零点. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.

分析: (1)当 x> 时,对函数 f(x)求导,令导函数大于 0 求 x 的范围;当 x≤ 时根 据二次函数的图象和性质可得答案. (2)当 x> 时根据函数的单调性与极值点可求出零点;当 x≤ 时对函数判别式进行分析 可得答案. 解答: 解(1)当 x> 时,f′(x)=1﹣ = 由 f′(x)>0 得 x>1. ∴f(x)在(1,+∞)上是增函数. 当 x≤ 时,f(x)=x +2x+a﹣1=(x+1) +a﹣2, ∴f(x)在 上是增函数
2 2

∴f(x)的递增区间是(﹣1, )和(1,+∞) . (2)当 x> 时,由(1)知 f(x)在( ,1)上递减,在(1,+∞)上递增且 f′(1) =0. ∴f(x)有极小值 f(1)=1>0, 此时 f(x)无零点.当 x≤ 时,f(x)=x +2x+a﹣1,△=4﹣4(a﹣1)=8﹣4a. 当△<0,即 a>2 时,f(x)无零点. 当△=0,即 a=2 时,f(x)有一个零点﹣1. 当△>0,且 f( )≥0 时,
2





时 f(x)有两个零点:

x=

或 x=

,即 x=﹣1+

或 x=﹣1﹣

当△>0 且 f( )<0,即

∴a<﹣ 时,f(x)仅有一个零点﹣1﹣

点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数零点的求法.属中 档题.

21.数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{cn}满足



,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

(Ⅲ)张三同学利用第(Ⅱ)题中的 Tn 设计了一个程序流程图,但李四同学认为这个程序 如果被执行会是一个“死循环” (即程序会永远循环下去,而无法结束) .你是否同意李四同 学的观点?请说明理由.

考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用,a1=S1;当 n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1 可求 (Ⅱ)根据题意需要分类讨论:当 n 为偶数和 n 为奇数两种情况,结合等差数列与等比数列 的求和公式可求 (Ⅲ) 记 dn=Tn﹣P,结合(II)中的求和可得 dn,进而可判断 dn 的单调性,分 n 为偶数, 奇数两种情况讨论 dn 的范围,结合所求 dn 可判断其循环规律,从而可知判断 解答: 解: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=S1=2; 当 n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n+1,则 (Ⅱ)当 n 为偶数时,

当 n 为奇数时,n﹣1 为偶数,



(Ⅲ) 记 dn=Tn﹣P 当 n 为偶数时, .

所以从第 4 项开始,数列{dn}的偶数项开始递增,而且 d2,d4,…,d10 均小于 2012,d12> 2012, 则 dn≠2012(n 为偶数) . 当 n 为奇数时, .

所以从第 5 项开始,数列{dn}的奇数项开始递增,而且 d1,d3,…,d11 均小于 2012,d13> 2012, 则 dn≠2012(n 为奇数) .故李四同学的观点是正确的. 点评: 本题以程序框图为载体综合考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及数列 的和的求解,体现了分类 讨论思想的应用,


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