2012高中数学4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2_图文

4.2

直线、圆的位置关系

2019/4/9

1

一.复习回顾
Ax ? By ? C ? ( 0 A、B不同时为0) 1.直线的一般式方程是

2.圆的标准方程是

( x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? r 2

其中圆心坐标为 (a,b) 3.圆的一般方程为

半径为

r

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0)
D E ? ) 其中圆心坐标为 ( ? 2 , 2
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1 D 2 ? E 2 ? 4F 半径为 2
2

4、点和圆的位置关系有几种?
(1)d<r
d (2)d=r

点在圆内
点在圆上

r

(3)d>r

点 在圆外

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3

5、“大漠孤烟直,长河落日圆” 是唐朝诗人王维的诗句, 它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。如果我们把太 阳看成一个圆,地平线看成一条直线, 那你能想象一下,直线和圆的位置关系有几种?

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4

思考:我们怎样判别直线与圆的关系?
位置关系 ?直线与圆相交 ?直线与圆相切 ?直线与圆相离 判别方法 2个交点 1个交点 没有交点

问题:如何用直线和圆的方程判断它 们之间的位置关系?
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直线与圆的位置关系的判定方法: 直线l:Ax+By+C=0

圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关 系判断: aA ? bB ? C

d?

A ?B
2

2

d>r
d=r
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直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
6

d<r

(2) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断:

? Ax ? By ? C ? 0 设方程 组 ? 2 2 2 ?( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 的解的 个数为 n
△<0
△=0 △>0
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n=0

直线与圆相离

n=1
n=2

直线与圆相切
直线与圆相交
7

例1、如图,已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关 系;如果相交,求它们的交点坐标。
解法一:
? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( 5 ) 2 ? 其圆心C(0,1), 半径长为 5
y
l B A

d?

| 3? 0 ?1? 6 | 3 ? 12
2

5 ? ? 5 10

C. O

x

所以,直线l与圆相交,有两个公共点.
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例1、如图,已知直线l:3x+y-6和圆心为C的 圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系; 如果相交,求它们的交点坐标。 解法二:由直线l与圆的方程,得 y

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 2 2 ? x ? y ? 2x ? 4 ? 0
消去y,得

l

B A

C. O

x ? 3x ? 2 ? 0
2

x

? ? ? (?3)2 ? 4 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ? 直线l与圆相交 , 有两个公共点
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例1、如图,已知直线l:3x+y-6和圆心为C的 圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系; 如果相交,求它们的交点坐标。

由x ? 3 x ? 2 ? 0, 得
2

y
l B A

x1 ? 2 , x2 ? 1
把x1 ? 2代入方程, 得y1 ? 0

把x2 ? 1代入方程, 得y2 ? 3

C. O

x

所以,直线l与圆有两个公共点,它 们的坐标分别是A(2,0),B(1,3).
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练习
1、求以c(1、3)为圆心,并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.
Y

r ?3
? x ? 1?
2

C(1、3)

? ? y ? 3? ? 9
2

0

X

3x-4y-6=0

2、判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0 的位置关系.

相切

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例2、已知过点M(-3,-3)的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5,求直线l的 方程。
解:因为直线l 过点M,可设所 求直线l 的方程为:

y

y ? 3 ? k ( x ? 3) 即 : kx ? y ? 3k ? 3 ? 0
2 2

对于圆: x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 25 ? 圆心坐标为(0, ?2), 半径r ? 5 如图: TF ? 4 5
EF ? 2 5

T

M

. .
E

O

x

F

, OE ? 5

OE ?

| 2 ? 3k ? 3 | k2 ? 1

?

| 2 ? 3k ? 3 | k2 ? 1

? 5

解得: 所求直线为:

1 k ? 2或k ? ? 2

x ? 2 y ? 9 ? 0 或 2x ? y ? 3 ? 0

问题:一艘轮船在沿直线返回港口的 途中, 接到气象台的台风预报:台风中心位于 轮船正 西70km处,受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域,已知港口位于台风中心正北40km处,如 果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风 (0,4) 的影响? l 分析:以台风中心为原点O,东 (7,0) 西方向为x轴,建立如图所示 的直角坐标系,其中,取10km 为单位长度. 问题归结为圆O与直线l 是否有交点
圆C : x 2 ? y 2 ? 9 x y 直线l : ? ? 1 ? 4 x ? 7 y ? 28 ? 0 7 4

作业: P132习题4.2
1、2、3、5
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