高考知识点立体几何中的向量方法(二)——求空间角

第8节 立体几何中的向量方法(二)——求空间角 最新考纲 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的 计算问题;2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 知 识 梳 理 1.异面直线所成的角 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则 a 与 b 的夹角 β 范围 求法 (0,π ) a· b cos β=|a||b| l1 与 l2 所成的角 θ π? ? ?0, ? 2? ? |a· b| cos θ =|cos β |=|a||b| 2.求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角为 θ, |a· n| 则 sin θ =|cos〈a,n〉|=|a||n|. 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD 是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角 → ,CD → 〉. 的大小 θ=__〈AB (2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二 面角的大小 θ 满足|cos θ |=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角). [常用结论与微点提醒] 1.线面角 θ 的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n 所成角的余弦值的 绝对值,即 sin θ =|cos〈a,n〉|,不要误记为 cos θ =|cos〈a,n〉|. 2.二面角与法向量的夹角:利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平 面 α,β 的法向量 n1,n2 时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,来确 定二面角与向量 n1,n2 的夹角是相等,还是互补. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( ) ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( ) π? π? ? ? (4)两异面直线夹角的范围是?0, ?,直线与平面所成角的范围是?0, ?,二面 2 2? ? ? ? 角的范围是[0,π ].( 解析 ) (1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角; (2)直线的 方向向量 a,平面的法向量 n,直线与平面所成的角为 θ,则 sin θ=|cos a,n|; (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(选修 2-1P104 练习 2 改编)已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0, 1,1),则两平面所成的二面角为( A.45° B.135° ) C.45°或 135° D.90° m· n 1 2 解析 cos〈m,n〉=|m||n|= = 2 ,即〈m,n〉=45°. 1· 2 ∴两平面所成二面角为 45°或 180°-45°=135°. 答案 C 3.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量,若 cos〈m,n〉 1 =-2,则 l 与 α 所成的角为________. 1 1 解析 设 l 与 α 所成角为 θ,∵cos〈m,n〉=-2,∴ sin θ=| cos〈m,n〉|=2, ∵0°≤θ≤90°,∴θ=30°. 答案 30° 4.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 如图所示,则直线 B1D 和 CD1 所成的角为________. → ,AD → ,AA → 分别为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标 解析 以 A 为原点,AB 1 → =(-1,0,1),B → 系,设正方体棱长为 1,则CD 1 1D=(-1,1,-1),cos 1+0-1 → B =0. 1D = 2× 3 所以两直线所成的角为 90°. 答案 90° 5.(2018· 郑州预测)过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD, 若 AB=PA, 则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为________. 解析 如图,建立空间直角坐标系,设 AB=PA=1,则 A(0, 0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由题意,AD⊥平面 PAB, 设 E 为 PD 的中点,连接 AE,则 AE⊥PD, 又 CD⊥平面 PAD, 1 1? → =(0,1,0),AE → =? ?0,2,2?分别是平面 ∴CD⊥AE,从而 AE⊥平面 PCD.所以AD ? ? → ,AE → 〉=45°. PAB,平面 PCD 的法向量,且〈AD 故平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角为 45°. 答案 45° →, CD 1 考点一 用空间向量求异面直线所成的角 【例 1】 (1)(一题多解)(2017· 全国Ⅱ卷)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC =120°, AB=2, BC=CC1=1, 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( 3 A. 2 15 B. 5 10 C. 5 3 D. 3 ) (2)(2018· 湖南五市联考)有公共边的等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直, 则异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为________. 解析 (1)法一 以 B 为原点,建立如图(1)所示的空间直角坐标系. 图(1) 则 B(0,0,0),B1(0,0,1),C1(1,0,1). 图(2) 又在△ABC 中,∠ABC=120°,AB=2,则 A(-1, 3,0). → =(1,- 3,1),BC → =(1,0,1), 所以AB 1 1 → ·BC → AB 1 1 → → 则 cos〈AB1,BC1〉= → |·|BC →| |AB 1 1 (1,- 3,1)· (1,0,1) 2 10 = = = , 5 5· 2 5· 2 10 因此,异面直线 A

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